最短路徑課件

最短路徑課件第一頁，共21頁。第十三章軸對稱13.4課題學(xué)習(xí)最短路徑問題第二頁，共21頁。如圖所示，從A地到B地有三條路可供選擇，你會選走哪條路最近？你的理由是什么？兩點(diǎn)之間,線段最短①②③第三頁，共21頁。(Ⅰ)兩點(diǎn)在一條直線異側(cè)

已知：如圖A，B在直線L的兩側(cè)，在L上求一點(diǎn)P，使得PA+PB最小。

P連接AB,線段AB與直線L的交點(diǎn)P，就是所求。第四頁，共21頁。思考？？？為什么這樣做就能得到最短距離呢？根據(jù)：兩點(diǎn)之間線段最短.第五頁，共21頁。如圖，要在燃?xì)夤艿繪上修建一個(gè)泵站，分別向A、B兩鎮(zhèn)供氣，泵站修在管道的什么地方，可使所用的輸氣管線最短？P所以泵站建在點(diǎn)P可使輸氣管線最短應(yīng)用第六頁，共21頁。

1.如圖，A.B兩地在一條河的兩岸，現(xiàn)要在河上建一座橋MN，橋造在何處才能使從A到B的路徑AMNB最短？（假設(shè)河的兩岸是平行的直線，橋要與河垂直）

A·BMN第七頁，共21頁。

1.如圖，A.B兩地在一條河的兩岸，現(xiàn)要在河上建一座橋MN，橋造在何處才能使從A到B的路徑AMNB最短？（假設(shè)河的兩岸是平行的直線，橋要與河垂直）

A·BMNE第八頁，共21頁。作法：1.將點(diǎn)B沿垂直與河岸的方向平移一個(gè)河寬到E，2.連接AE交河對岸與點(diǎn)M,則點(diǎn)M為建橋的位置，MN為所建的橋。證明：由平移的性質(zhì)，得BN∥EM且BN=EM,MN=CD,BD∥CE,BD=CE,所以A.B兩地的距:AM+MN+BN=AM+MN+EM=AE+MN,若橋的位置建在CD處，連接AC.CD.DB.CE,則AB兩地的距離為：AC+CD+DB=AC+CD+CE=AC+CE+MN,在△ACE中，∵AC+CE＞AE,

∴AC+CE+MN＞AE+MN,即AC+CD+DB＞AM+MN+BN所以橋的位置建在CD處，AB兩地的路程最短。A·BMNECD第九頁，共21頁。ABl

B/P點(diǎn)P的位置即為所求.M作法：①作點(diǎn)B關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)B/.

②連接AB/,交直線l于點(diǎn)P.(Ⅱ)兩點(diǎn)在一條直線同側(cè)已知：如圖,A、B在直線L的同一側(cè)，在L上求一點(diǎn)，使得PA+PB最小.為什么這樣做就能得到最短距離呢？MA+MB′>PA+PB′即MA+MB′>PA+PB

三角形任意兩邊之和大于第三邊第十頁，共21頁。

問題：如圖所示，要在街道旁修建一個(gè)奶站，向居民區(qū)A、B提供牛奶，奶站應(yīng)建在什么地方，才能使從A、B到它的距離之和最短．練習(xí)請你自己動手試一試！第十一頁，共21頁。只有A、C、B在一直線上時(shí)，才能使AC+BC最?。鼽c(diǎn)A關(guān)于直線“街道”的對稱點(diǎn)A′，然后連接A′B，交“街道”于點(diǎn)C，則點(diǎn)C就是所求的點(diǎn)．

第十二頁，共21頁。(Ⅲ)一點(diǎn)在兩相交直線內(nèi)部已知：如圖A是銳角∠MON內(nèi)部任意一點(diǎn)，在∠MON的兩邊OM，ON上各取一點(diǎn)B，C，組成三角形，使三角形周長最小.BCDE分析：當(dāng)AB、BC和AC三條邊的長度恰好能夠體現(xiàn)在一條直線上時(shí)，三角形的周長最小

第十三頁，共21頁。(Ⅲ)一點(diǎn)在兩相交直線內(nèi)部已知：如圖A是銳角∠MON內(nèi)部任意一點(diǎn)，在∠MON的兩邊OM，ON上各取一點(diǎn)B，C，組成三角形，使三角形周長最小.分別作點(diǎn)A關(guān)于OM，ON的對稱點(diǎn)A′，A″；連接A′，A″，分別交OM，ON于點(diǎn)B、點(diǎn)C，則點(diǎn)B、點(diǎn)C即為所求第十四頁，共21頁。

2.如圖，A、B是兩個(gè)蓄水池，都在河流a的同側(cè)，為了方便灌溉作物，要在河邊建一個(gè)抽水站，將河水送到A、B兩地，問該站建在河邊什么地方，可使所修的渠道最短，試在圖中確定該點(diǎn)。作法：作點(diǎn)B關(guān)于直線a的對稱點(diǎn)點(diǎn)C,連接AC交直線a于點(diǎn)D，則點(diǎn)D為建抽水站的位置。證明：在直線a上另外任取一點(diǎn)E，連接AE.CE.BE.BD,∵點(diǎn)B.C關(guān)于直線a對稱,點(diǎn)D.E在直線a上，∴DB=DC,EB=EC,∴AD+DB=AD+DC=AC,

AE+EB=AE+EC在△ACE中，AE+EC＞AC,即AE+EC＞AD+DB所以抽水站應(yīng)建在河邊的點(diǎn)D處，

··CDABEa第十五頁，共21頁。3.某班舉行晚會，桌子擺成兩直條(如圖中的AO，BO)，AO桌面上擺滿了桔子，OB桌面上擺滿了糖果，坐在C處的學(xué)生小明先拿桔子再拿糖果，然后回到座位，請你幫助他設(shè)計(jì)一條行走路線，使其所走的總路程最短？

作法：1.作點(diǎn)C關(guān)于直線

OA的對稱點(diǎn)點(diǎn)D,2.作點(diǎn)C關(guān)于直線OB的對稱點(diǎn)點(diǎn)E,

3.連接DE分別交直線OA.OB于點(diǎn)M.N，則CM+MN+CN最短AOBＣ.

.EDMNGH第十六頁，共21頁。

證明：在直線OA上另外任取一點(diǎn)G，連接…∵點(diǎn)D,點(diǎn)C關(guān)于直線OA對稱，點(diǎn)G.H在OA上，∴DG=CG,DM=CM,同理NC=NE，HC=HE,∴CM+CN+MN=DM+EN+MN=DE,CG+GH+HC=DG+GH+HE,∵DG+GH+HE＞DE（兩點(diǎn)之間，線段最短），即CG+GH+HC＞CM+CN+MN

即CM+CN+MN最短AOBＣ.

.EDMNGH第十七頁，共21頁。如圖，A為馬廄，B為帳篷，牧馬人某一天要從馬廄牽出馬，先到草地邊某一處牧馬，再到河邊給馬喝水，然后回到帳篷，請你幫助他確定這一天的最短路線。第十八頁，共21頁。ABA/B/PQ最短路線：APQBlMN第十九頁，共21頁。證明：在直線OA上另外任取一點(diǎn)G，連接…∵點(diǎn)F,點(diǎn)C關(guān)于直線OA對稱，點(diǎn)G.M在OA上，∴GF=GC,FM=CM,同理HD=HE，ND=NE,∴CM+MN+ND=FM+MN+NE=FE,CG+GH+HD=FG+GH+HE,