初中數(shù)學二次函數(shù)知識點梳理匯總

一、定義與定義表達式一般地，自變量x和因變量y之間存在如下關(guān)系：y=ax2+bx+c（a，，c為常數(shù)，a≠0，且a決定函數(shù)的開口方向，a>0時，開口方向向上，a<0時，開口方向向下，a還可以決定開口大小，IaI越大開口就越小，II越小開口就越大）則稱y為x的二次函數(shù)。二次函數(shù)表達式的右邊通常為二次三項式。二、二次函數(shù)的三種表達式一般式：y=ax2+bx+ca，b，c為常數(shù)，a≠0）頂點式：y=ax-)2+k拋物線的頂點P（h，k交點式：y=a(xx?)(x-x)[僅限于與x軸有交點x，0）和（x，0）的拋物線注：在3種形式的互相轉(zhuǎn)化中，有如下關(guān)系：h-b/2ak=(4c-b2/4a

x,x=(-b±b-4ac)/2a三、二次函數(shù)的圖像在平面直角坐標系中作出二次函數(shù)y=x^2的圖像，可以看出，二次函數(shù)的圖像是一條拋物線。四、拋物線的性質(zhì)1.拋物線是軸對稱圖形。對稱軸為直線x=-2a對稱軸與拋物線唯一的交點為拋物線的頂點特別地，當b=0時，拋物線的對稱軸是y軸（即直線x=0）。2.拋物線有一個頂點P，坐標為：P(-b/2a，(4ac-b2)/4a)。當-b/2a0時，P在y軸上；當Δ=b2-4ac0時，P在x軸上。3.二次項系數(shù)a決定拋物線的開口方向和大小。當a0時，物線向上開口；當a＜0時，拋物線向下開口。|a|越大，則拋物線的開口越小。4.一次項系數(shù)b和二次項系數(shù)a共同決定對稱軸的位置。

當a與b同號時（即ab＞0），對稱軸在y軸左；當a與b異號時（即ab＜0），對稱軸在y軸右。5.常數(shù)項c決定拋物線與y軸交點。物線與y軸交于（0c）6.拋物線與x軸交點個數(shù)：Δ=b2-4ac＞0時，拋物線與x軸有2個交點。Δ=b2-4ac=0時，拋物線與x軸有1個交點。Δ=b2-4ac＜0時物線與x軸沒有交點的取值是虛x=-b±√b24ac的值的相反數(shù)，乘上虛數(shù)i，整個式子除以2a五、二次函數(shù)與一元二次方程特別地，二次函數(shù)（以下稱函數(shù)）y=ax2+bx+c。當y=時，二次函數(shù)為關(guān)于x的一元二次方程（以下稱方程），即ax+bx+c=0。此時，函數(shù)圖像與x軸有無交點即方程有無實數(shù)根。函數(shù)與x軸交點的橫坐標即為方程的根。

1.二次函數(shù)yx2，=a(xh)2，y=a(x-)2+ky=ax2+bx+c各式中，a≠0)的圖象形狀相同，只是位置不同。它們的頂點坐標及對稱軸如下表：當h>0時，y=a(x-h)2的圖象可由拋物線y=ax2向右平行移動h個單位得到。當h<0時，則向左平行移動|個單位得到。當h>0，k>0時，將拋物線yax向右平行移動個單位，向上移動k個單位，就可以得到y(tǒng)=ax-h)2+k的圖象。當h>0，k<0時，將拋物線y=ax右平行移動個單位，向下移動||個單位可得到y(tǒng)=(x-h)2+k的圖象。當<0，k>0時，將拋物線向左平行移動|h|個單位，再向上移動k個單位可得到y(tǒng)=(x-h)2+k的圖象。

當<0,k<0時，將拋物線向左平行移動|h個單位，再向下移動|k個單位可得到y(tǒng)=a(x-h)2+k的圖象。因此，研究拋物線y=axbx+c(a≠0)的圖象，通過配方，將一般式化為y=a(x-)2+k的形式，可確定其頂點坐標、稱軸，拋物線的大體位置就很清楚了．這給畫圖象提供了方便．2.拋物線y=ax2+bx+c(a≠)的圖象：當a>0時，開口向上，當a<0時開口向下，對稱軸是直線x=-b/a，頂點坐標是(-b/，[4ac-b2]/4a)．3.拋物線y=ax2+bx+c(a≠)，若a>0，當≤-b/2a時，y隨x的增大而減小；當x≥-b/2a時，y隨的增大而增大．若a0，當x≤-b/2a時，y隨x的增大而增大；當x≥b/a時，y隨x的增大而減小．4.拋物線y=ax2+bx+c的圖象與坐標軸的交點：(1)圖象與軸一定相交，交點坐標為(0，c)；

(2)當△=b^24ac>0，圖象與軸交于兩點A(x，0)(x?，0)其中的x1x2是一元二次方程ax2bx+c=0(a≠0)的兩根兩點間的距離A|x?-x|。當△=0．圖象與x軸只有一個交點；當△<0．圖象與x軸沒有交點．當a0時，圖象落在x軸的上方，x為任何實數(shù)時，都有y>0當a0時，圖象落在x軸的下方，x為任何實數(shù)時，都有y<05.拋物線y=ax2+bx+c的最值：如果a>0(a<0)，當x=-b/時，y最小(大)值=(4ac-b2)/4a．頂點的橫坐標，取得最值時的自變量值，頂點的縱坐標，是最值的取值．6.用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式(1)當題給條件為已知圖象經(jīng)過三個已知點或已知xy的三對對應值時，可設解析式為一般形式：y=ax2+bx+c(a≠0．(2)當題給條件為已知圖象的頂點坐標或?qū)ΨQ軸時，可設解析式為頂點式：y=a(x-h)2+k(a0

(3)當題給條件為已知圖象與x軸的兩個