歷年天津理工大學(xué)高數(shù)期末考試試卷及答案

5#4、A、C、5、(C)J4dxJx4、A、C、5、(C)J4dxJxf(x,y)dy；0x2(D)J1dxJxf(x,y)dy.02x設(shè)L為O(0,0)到A(4,3)的直線段，則曲線積分J(x-y)ds=(B).L43J4(x-x)dx；04J3(3y-y)dy；函數(shù)y=3，y=3+x2，1239B、J4(x一4x)(l+16dx；D、y-y)」1+—dy.16丁3=3+x2+ex是微分方程y"+p(x)y'+q(x)y=f(x)(其中f(x)豐0,p(x),q(x),f(x)是連續(xù)函數(shù))的三個(gè)特解，則方程的通解是(D)A、y=Cx2+C3；B、A、y=Cx2+C3；B、y=Cx2+Cex；C、y=x2+ex+3；13126、下列級(jí)數(shù)條件收斂的是(A)D、y=Cx2+Cex+3.12A、n=1(—1)n+1、.:nB、(-1)nn(n+1)9n=1C、蘭cos1；nn=1D、芳1nn=17、已知函數(shù)7、已知函數(shù)y=y(x)滿足方程xydx二2-x2dy，且y⑴=1,則y(-1)=(A)A、1；BA、1；B、e；C、-1；D、e-1解：分離變量，積分J號(hào)解：分離變量，積分J號(hào)，y=Ce」2一x2，代入y(1)=1，得C=e，y=e—2一x2，y(-1)=1，選(A).8、A、C、已知冪級(jí)數(shù)無(wú)8、A、C、已知冪級(jí)數(shù)無(wú)axnnn=0在x=-6處級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂在x=-4處級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂在x=6處發(fā)散,則下列結(jié)論正確的是(B)B、在x=8處級(jí)數(shù)發(fā)散；D、在x=-6處級(jí)數(shù)條件收斂.9、方程xy'-y=x2的通解為(BA.y=A.y=Cx；B.y=Cx+x2；C.y=Cx-x2+—x3；D.y=Cx+—x3.22解：方程xy'-解：方程xy'-y=x2化為y'--y=xx，通解為y=eJ；dxxe-J；dxdx+c)=x(x+C).選(B).xy10、設(shè)fxy10、設(shè)f(x,y)=<x2+y20x2+y2豐0，則以下結(jié)論正確的是(D)x2+y2=0解：A、f(0,0)二0解：A、f(0,0)二0,f(0,0)不存在;xyC、f(0,0)，f(0,0)皆不存在;xyB、f(0,0)二0,f(0,0)不存在;yxD、f(0,0)二f(0,0)二0.xyAx-0—0f(0,0)=lim(Ax)2+02xAxT0Ax=0，類似f(0,0)二0，故選(D).y二、填空題(每空3分，共30分)1、設(shè)區(qū)域D是由x=0,y=0,x+y=a(a>0)圍成，二重積分JJdxdy-2，則a=2,解：JJdxdy解：JJdxdy—a2=2,a—2.2、若函數(shù)f(x,y)-2x2—ax+xy2+2y在點(diǎn)(1,—1)處取得極值，則常數(shù)a-5,解：函數(shù)f(x,y)-2x2—ax+xy2+2y在點(diǎn)(1,—1)處取得極值，f(1,—1)-(4x—a+y2)-4—a+1-0，a-5.x1(1,-1)3、函數(shù)u=xyz在點(diǎn)(5,1,2)處沿點(diǎn)(5,1,2)到點(diǎn)(9,4,14)的方向的方向?qū)?shù)是解：QuIQx1(5」,2)=鞏5,1,2)=2'解：QuIQx1(5」,2)=鞏5,1,2)=2'QuIQy〔(5,1,2)-xz—10，(5,1,2)QuIQzI(5,1,2)-xy-5，(5,1,2)方向向量AB-(4,3,12)，則AB°-(cosa,cos4312卩,C0S丫)=(13,13,13)，方向?qū)?shù)QuIQnL5’1'2)2■—+10-13丄+5?12131398134、設(shè)l取圓周x2+y2-4的負(fù)向，則曲線積分J(2xy—2y)dx+(x2—4x)dy-8兀.解：J(2xy—解：J(2xy—2y)dx+(x2—4x)dy-—l一4一(2x一2)]dxdy—2A—8兀lD5、設(shè)f(x)是周期為2的周期函數(shù)，且f(x)=|x211：;1，它的傅立葉級(jí)數(shù)的和函數(shù)為S(x)，則S⑷-1.(-2[f(0+)+f(2-)]-1)TOC\o"1-5"\h\z5356、若級(jí)數(shù)2T丄n收斂，則p應(yīng)滿足的范圍是p>-.(p——>1np>―)np—1222n=17、設(shè)冪級(jí)數(shù)丄x+—x2+—x3+…+—^xn+…，其收斂半徑R=3.1-32-323-33n-3n—

1a(n+1)-3n+1R==liml1a(n+1)-3n+1R==liml=lim=3)Pnsansn*3nn+18、二重積分的值,dxJx2xydy=丄.004解：J1dxJx2xydy=J1xy2xdx=J1x3dx=1.000""9、曲線r:x=t,y=2t，z=3t在其上t=0對(duì)應(yīng)點(diǎn)處切線方程為x=2=310、設(shè)L為上半圓周x2+y2=R2(y>0)，則曲線積分JGxy2±1)ds=-x2+y2RL解：J()ds=——J(xy2+1)ds=——x2+y2R2R2LL

三、計(jì)算題(每小題6分，共30分)Jds=RLCuCu1、設(shè)z=f(2x+3y,xy)，f具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求亍，—CxCyC2uCxCyCuCu解:C=2f1+yf2，cy=3f1+fC2u碩=2(3f11+xf12)+f+y[3f21+xf22]=6f11+(2x+3y)f12+嘰+f2-2、求冪級(jí)數(shù)藝匕比的收斂域及其和函數(shù)5nn=1解：和函數(shù)藝gh一.八(x-1)/解：和函數(shù)藝gh=丄(5==，收斂域?yàn)?n(x-1)6—xn=11—53、求微分方程y"+y'=xex的通解.解：特征方程r2+r=0,r=0,r=—1，對(duì)應(yīng)齊次方程通解y=C+Ce-x1212f〃設(shè)特解為y*=(ax+b)ex.y*=(ax+a+b)ex，y*=(ax+2a+b)ex代入原方程有\(zhòng)o"CurrentDocument"1313(2ax+3a+2b)ex=xex，解得a=了b=—才，y*=(二x—才0，原方程通解為y=C+Ce-x+(丄x—3)ex.

4、計(jì)算二重積分JJsin(x2+y2)dxdy.解：JJsin(x2+y2)dxdy=J2Kd0Jsinp2?pdp=—-2兀?(-cosp2)\0%2兀<x2+y2<2兀四、解下列各題(每小題7分，共14分)1、計(jì)算J卜xdydz+ydxdz+zdxdy，其中x是球面x2+y2+z2=a2的外側(cè).解：利用高斯公式，原式二一Jt-xdydz+ydxdz+zdxdy=丄JJJ3dxdydz=—a3=4兀.a3a3a33xV2、已知曲線積分I=J(my+1-excosy)dx+(exsiny一x)dy,L(1)求常數(shù)m，使積分I與路徑無(wú)關(guān)；(2)若L為(x-3)2+y2二4上沿下半圓周從點(diǎn)A(5,0)到點(diǎn)B(1,0)的一段弧，在(1)的條件下計(jì)算曲線積分I的值.解:⑴當(dāng)f-f=exsiny一1-m一exsiny=一—一m=0，即m=-—時(shí)，積分1與路徑無(wú)關(guān).(2)積分I與路徑無(wú)關(guān)，I=J(-y+1-excosy)dx+(exsiny-x)dyL=J(1,0)d(x—xy—excosy)=(x—xy—excosy)(1,0)=e5—e—4.(5,0)(5,0)五、證明題(本題6分)若f(u)為連續(xù)可微函數(shù)，f(0)=0，證明:lim-JJf(x2+y2若f(u)為連續(xù)可微函數(shù)，f(0)=0，證明:tT04兀t5Q(t)其中0(t)={(x,y,z)Ix2+y2+z2<t2}解：JJJf(x2+y2+z2)dxdydz=J2Kd0JKd^J\f(r2)r2sinQdr=4兀J丁(r2)r