一元二次方程的整數(shù)整數(shù)解含答案

第第#頁競賽輔導一元二次方程的整數(shù)整數(shù)解在數(shù)學課外活動中，在各類數(shù)學競賽中，一元二次方程的整數(shù)解問題一直是個熱點，它將古老的整數(shù)理論與傳統(tǒng)的一元二次方程知識相結合，涉及面廣，解法靈活，綜合性強，備受關注，解含參數(shù)的一元二次方程的整數(shù)解問題的根本策略有：從求根入手，求出根的有理表達式，利用整除求解；從判別式手，運用判別式求出參數(shù)或解的取值范圍，或引入?yún)?shù)（設△=k2），通過窮舉，逼近求解；從韋達定理入手，從根與系數(shù)的關系式中消去參數(shù)，得到關于兩根的不定方程，借助因數(shù)分解、因式分解求解；從變更主元入人，當方程中參數(shù)次數(shù)較低時，可考慮以參數(shù)為主元求解．注：一元二次方程的整數(shù)根問題，既涉及方程的解法、判別式、韋達定理等與方程相關的知識，又與整除、奇數(shù)、偶數(shù)、質數(shù)、合數(shù)等整數(shù)知識密切相關．【例題求解】【例1】假設關于X的方程（6.k）（9_k）x2_（117_15k）x+54:0的解都是整數(shù)，那么符合條件的整數(shù)是的值有個.思路點撥用因式分解法可得到根的簡單表達式，因方程的類型未指明，故須按一次方程、二次方程兩種情形討論，這樣確定是的值才能全面而準確．注：系數(shù)含參數(shù)的方程問題，在沒有指明是二次方程時，要注意有可能是一次方程，根據(jù)問題的題設條件，看是否要分類討論．【例2】a、b為質數(shù)且是方程%2_13%+c=0的根，那么%a的值是ab( )A.127 B125 C123D12122 22 22 22思路點撥由韋達定理a、b的關系式，結合整數(shù)性質求出a、b、c的值．【例3】試確定一切有理數(shù)「，使得關于％的方程b2+(,+2)1+r-1=0有根且只有整數(shù)根．思路點撥由于方程的類型未確定，所以應分類討論.當「豐0時，由根與系數(shù)關系得到關于r的兩個等式，消去r,利用因式(數(shù))分解先求出方程兩整數(shù)根．【例4】當m為整數(shù)時，關于1的方程(2m-1)12-(2m+1)i+1:0是否有有理根?如果有，求出m的值；如果沒有，請說明理由.思路點撥整系數(shù)方程有有理根的條件是為完全平方數(shù)．設△=&m+1)2-4(2m-1)=4m2-4m+5=(2m-1)2+4=n2(n為整數(shù))解不定方程，討論m的存在性.注：一元二次方程ai2+bi+c=0(aW0)而言，方程的根為整數(shù)必為有理數(shù)，而△=b2-4ac為完全平方數(shù)是方程的根為有理數(shù)的充要條件．【例5】假設關于1的方程ai2-2(a-3)1+(a-13)=0至少有一個整數(shù)根，求非負整數(shù)a的值.思路點撥因根的表示式復雜，從韋達定理得出的a的兩個關系式中消去〃也較困難，又因〃的次數(shù)低于x的次數(shù)，故可將原方程變形為關于.的一次方程.學歷訓練.關于x的方程(a_1)x2+2x一a一1-0的根都是整數(shù)，那么符合條件的整數(shù)a有―..方程x2.1999x+m=0有兩個質數(shù)解，那么m=..給出四個命題：①整系數(shù)方程ax2+bx+c=0(aW0)中，假設△為一個完全平方數(shù)，那么方程必有有理根；②整系數(shù)方程ax2+bx+c=0(aW0)中，假設方程有有理數(shù)根，那么△為完全平方數(shù)；③無理數(shù)系TOC\o"1-5"\h\z數(shù)方程ax2+bx+c=0(aN0)的根只能是無理數(shù)；④假設a、b、c均為奇數(shù)，那么方程ax2+bx+c=0沒有有理數(shù)根，其中真命題是 ..關于x的一元二次方程x2+(2a-1)x+a2=0Q為整數(shù))的兩個實數(shù)根是x、x，那么、x一：Tx x xx1 2 '1 '25.設rn為整數(shù)，且4。＜40，方程x2-2(2m-3)x+4m2-14m+8=0有兩個整數(shù)根，求m的值及方程的根6.方程ax2-(3a2-8a)x+2a2-13a+15=0(aN。)至少有一個整數(shù)根，求°的值.7.求使關于x的方程kx2+(k+1)x+k-1=0的根都是整數(shù)的k值.8.當n為正整數(shù)時，關于x的方程2x2-8nx+10x-n2+35n-76二0的兩根均為質數(shù)，試解此方程.9.設關于x的二次方程(k2-6k+8)x2+(2k2-6k-4)x+k2=4的兩根都是整數(shù)，

試求滿足條件的所有實數(shù)k的值.10?試求所有這樣的正整數(shù)a，使得方程,*2+2（20_1）%十價一3）二0至少有一個整數(shù)解．.〃為質數(shù)，使二次方程%2_2「%+p2_5p_i:0的兩根都是整數(shù)，求出p的所有可能值．.方程x2+bx+c-0及x2+cx+b.0分別各有兩個整數(shù)根x、x及x，、x，，xxcxcx xxxx>0.且xx>0.且xx>0，x'x,12 12⑴求證：x<0,1c所有可能的值.x<0，x，<0，x，<0;(2)求證：b_1<c<b