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新課標(biāo)（SK）提分微課（五）利用“胡不歸、阿氏圓”解決“PA+n·PB”型的最值問題提分微課·思維與方法

“胡不歸”和“阿氏圓”問題都是一類解決“PA+n·PB”(n為常數(shù)且n≠1)型的最值問題.兩類問題所蘊(yùn)含的都是數(shù)學(xué)的轉(zhuǎn)化思想,即將nPB的長(zhǎng)度轉(zhuǎn)化為某條具體線段PC的長(zhǎng)度,進(jìn)而根據(jù)“垂線段最短或兩點(diǎn)之間線段最短”的原理構(gòu)造最短距離.動(dòng)點(diǎn)P在直線上運(yùn)動(dòng)的可用“胡不歸”問題模型,動(dòng)點(diǎn)P在圓周上的運(yùn)動(dòng)可用“阿氏圓”問題模型.類型一“胡不歸”問題

如圖W5-1,已知A是直線BC外一點(diǎn),A,B為定點(diǎn),P在BC上運(yùn)動(dòng),求AP+nPB(0<n<1)的最小值.圖W5-1解決方法:在B處構(gòu)造直線l,使l與BC的夾角為α,且滿足sinα=n,過P向l作垂線,垂足為Q,則PQ=nPB,過A向直線l作垂線,分別交BC,l于Pmin,Qmin兩點(diǎn),于是AP+nPB=AP+PQ≥AQmin.圖W5-2[答案]B圖W5-3圖W5-4圖W5-5

圖W5-6類型二“阿氏圓”問題如圖W5-7所示,☉O的半徑為r,點(diǎn)A,B都在☉O外,P為☉O上的動(dòng)點(diǎn),已知r=k·OB.連接PA,PB,求“PA+k·PB”的最小值.解決方法:找另一個(gè)定點(diǎn)C,使得P在圓周上運(yùn)動(dòng)時(shí),總有PC=kPB,這樣就可以將問題轉(zhuǎn)化為常見的求線段PA+PC和的最小值問題.如圖,在線段OB上截取OC,使OC=kr,則可說(shuō)明△BPO與△PCO相似,得kPB=PC.則本題求“PA+kPB”的最小值轉(zhuǎn)化為求“PA+PC”的最小值,當(dāng)A,P,C三點(diǎn)共線,且P在線段AC上時(shí)最小.圖W5-7圖W5-8[答案](1)5

5圖W5-8

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