科大力學講義第五章

力學第五章楊維纮中國科學技術大學近代物理系第五章角動量定理第五章角動量定理

在描述轉動的問題時，我們需要引進另一個物理量——角動量。這一概念在物理學上經歷了一段有趣的演變過程。18世紀在力學中才定義和開始利用它，直到19世紀人們才把它看成力學中的最基本的概念之一，到20世紀它加入了動量和能量的行列，成為力學中最重要的概念之一。角動量之所以能有這樣的地位，是由于它也服從守恒定律，在近代物理學中其運用是極為廣泛的。

中國科學技術大學楊維纮第五章角動量定理第五章角動量定理§5.1孤立體系的角動量守恒§5.2質點系角動量定理§5.3質心系的角動量定理§5.4萬有引力

§5.5關于萬有引力的討論§5.6質點在有心力場中的運動中國科學技術大學楊維纮第五章角動量定理§5.1孤立體系的角動量守恒

第三章我們介紹了與平動相聯系的守恒量——動量，對于轉動我們希望能找到這樣一個物理量——角動量，它具備以下的條件：若質點關于空間某一點作平動，它取值為零，它取非零值表示質點關于該空間點作轉動；對于孤立體系，它保持守恒。下面我們在孤立體系中尋找這樣的物理量。中國科學技術大學楊維纮第五章角動量定理5.1.1單質點孤立體系和掠面速度5.1.2兩個質點的孤立體系和角動量

§5.1孤立體系的角動量守恒中國科學技術大學楊維纮5.1.1單質點孤立體系和掠面速度第五章角動量定理

單質點的孤立體系就是不受外力作用的自由質點，它作勻速直線運動（我們取慣性參考系，且靜止看成是勻速直線運動的特例）。

如圖5.1，設該質點位于P點，沿直線AB從A向B方向運動，在相等的時間間隔⊿t的位移是⊿s=v⊿t。

我們在AB上取一個參考點Q，隨著P點的運動，由于QP的方向不發(fā)生改變，故P點相對于Q點沒有轉動。但如果參考點取不在AB上的點，譬如O點，由于OP的方向（即r的方向）在不斷改變，故P點相對于O點有轉動。我們現在來尋找守恒量。中國科學技術大學楊維纮5.1.1單質點孤立體系和掠面速度第五章角動量定理

由圖可見，各時間間隔⊿t內矢徑r掃過的那些小三角形具有公共的高線OH，因而有相等的面積，于是我們找到的守恒量是：矢徑r在單位時間內掃過的面積S，我們稱該面積S為質點P的掠面速度。設矢徑r與AB線的夾角為θ，故對單質點的孤立體系有：

該式也可以換一種表達法，即掠面速度對時間的微商為零：中國科學技術大學楊維纮5.1.1單質點孤立體系和掠面速度第五章角動量定理

當然，上面所考慮的只是平面運動的情況，對于單個的自由質點，它只可能在某個平面上運動。但是我們接下來要考慮多個質點，僅考慮某一個平面就不行了，我們可以利用矢量運算法則，將掠面速度定義為與該平面垂直的矢量。即：

這樣，對于單質點的孤立體系，我們找到的守恒量是掠面速度矢量S。當然，它與參考點的選擇有關，若參考點選在直線AB上，則掠面速度為零。中國科學技術大學楊維纮5.1.2兩個質點的孤立體系和角動量第五章角動量定理

對于兩個質點的孤立體系，它們雖然不受外力作用，但兩個質點之間是有作用力的。我們現在來尋找守恒量，首先我們能想到的是它們每個質點掠面速度的和。為此，在空間建立慣性參考系，如圖5.2，兩個質點的質量分別為m1,m2，其位矢和速度分別為r1,

r2和v1,

v2

。設其掠面速度分別為S1,

S2

，有：中國科學技術大學楊維纮5.1.2兩個質點的孤立體系和角動量第五章角動量定理而掠面速度對時間的微商為：其中i=1,2。為了對上式中的i求和，我們列出質點運動的牛頓方程：因m1,m2可以為任意值，故中國科學技術大學楊維纮5.1.2兩個質點的孤立體系和角動量第五章角動量定理但從前幾式可看出：其中利用了牛頓第三定律：f的方向沿兩質點m1,m2的連線，即f//(r1﹣r2)。于是我們找到了守恒量：中國科學技術大學楊維纮5.1.2兩個質點的孤立體系和角動量第五章角動量定理稱為單個質點對于原點的角動量或動量矩；定義：稱為體系對于原點的角動量或動量矩。由上述的推導可知：兩個質點孤立體系的角動量守恒。

對于多質點孤立體系同樣可以得出角動量守恒的結論，我們在下一節(jié)介紹。中國科學技術大學楊維纮幾點說明：第五章角動量定理角動量是矢量，單個質點的角動量是r和p的矢積，因而既垂直于r，又垂直于p，即垂直于r和p所確定的平面，其指向由右手定則決定。單個質點的角動量與其掠面速度成正比，比例系數為其質量的兩倍。角動量是相對給定的參考點定義的，且參考點在所選的參考系中必須是固定點，對不同的參考點體系的角動量是不同的。通常我們把參考點取為坐標原點，這時的角動量的定義才如(5.1.12)、(5.1.13)式所示。角動量的單位是千克·米2/秒，量綱為ML2T-1

中國科學技術大學楊維纮第五章角動量定理5.2.1質點角動量定理5.2.2質點系角動量定理5.2.3角動量守恒定律與空間各向同性§5.2質點系角動量定理中國科學技術大學楊維纮§5.2質點系角動量定理5.2.1質點角動量定理第五章角動量定理

我們知道，質點動量的變化等于外力的沖量。質點的角動量如何隨外力變化呢？這可以從牛頓運動定律得到。在慣性參考系中考慮一個受力為F的質點，設其矢徑為r，動量為p，角動量為l，有：角動量對時間的變化率為：定義：M=r×F稱為力F對于原點的力矩。中國科學技術大學楊維纮5.2.1質點角動量定理第五章角動量定理于是(5.2.2)式又可寫為：即質點對任一固定點的角動量的時間變化率等于外力對該點的力矩。這就是質點角動量定理的微分形式。對上式積分，得：力矩對時間的積分稱為沖量矩。上式表示質點角動量的增量等于外力的沖量矩，這就是質點角動量定理的積分形式。

不論角動量定理的微分形式還是積分形式，都可以寫成分量形式。中國科學技術大學楊維纮5.2.1質點角動量定理第五章角動量定理例5-1：討論行星運動性質解：取太陽為原點建立坐標系，設太陽和行星的質量分別為m2，m1，利用第四章4.4.3節(jié)中引入的約化質量μ=m1

m2/(m1+m2)，就可以將該參考系視為慣性系，則行星受到的力矩為M=r×F=0，故l=r×μv=不變量，或掠面速度S=r×v/2=不變量。故有：行星軌道是一條平面曲線。（因S的方向不變）行星與太陽的連線單位時間掃過的面積為常量。（因S的大小不變）中國科學技術大學楊維纮5.2.2質點系角動量定理第五章角動量定理設體系有n個質點。令分別表示體系內第i個質點的角動量和所受的外力矩表示第j個質點對第i個質點的內力產生的力矩中國科學技術大學楊維纮5.2.2質點系角動量定理第五章角動量定理用ri×(5.2.5)的第i個方程，得：由牛頓第三定律知：于是可得：將(5.2.6)式對求和，并利用(5.2.7)式可得：令：則L為體系的總角動量，M為體系所受的總外力矩。于是(5.2-9)為：中國科學技術大學楊維纮5.2.2質點系角動量定理第五章角動量定理即質點系對給定點的角動量的時間變化率等于作用在體系上所有外力對該點力矩之和。這就是體系角動量定理的微分形式。對(5.2.10)式積分，可得體系角動量定理的積分形式：

體系角動量定理指出：只有外力矩才對體系的角動量變化有貢獻。內力矩對體系的角動量變化無貢獻，但對角動量在體系內的分配是有作用的。

角動量守恒定律：當外力對給定點的總外力矩之和為零時，體系的角動量守恒。中國科學技術大學楊維纮幾點說明：

第五章角動量定理關于總外力矩M=0的三種不同情況：對孤立體系，體系不受外力作用Fi=0，當然有總外力矩M=0。但一般講來，當體系受外力作用時，即使外力的矢量和為零，外力矩的矢量和未必為零，力偶就是這種情況。所有的外力通過定點，關于該點每個外力的力矩皆為零，因而總外力矩M=0，但體系所受外力的矢量和未必為零。每個外力的力矩不為零，但總外力矩M=0。如重力場中重力對質心的力矩。中國科學技術大學楊維纮幾點說明：

第五章角動量定理角動量守恒定律是一個獨立的規(guī)律，并不包含在動量守恒定律或能量守恒定律中。角動量守恒定律是矢量式，它有三個分量，各分量可以分別守恒。

當Mx=0，則Lx=常量；

當My=0，則Ly=常量；

當Mz=0，則Lz=常量；中國科學技術大學楊維纮幾點說明：

第五章角動量定理4.角動量守恒定律可以解釋星系的圓盤形結構。

我們知道，銀河系呈扁平的圓盤形結構。觀察表明，還有許多星系也呈圓盤形。這可能與角動量守恒有關。銀河系最初可能是球形的，由于某種原因（如與其它星系的相互作用）而具有一定的角動量。正是這個角動量的存在，使球形的銀河系不會在引力作用下凝聚（坍縮）成一團，而只能形成具有一定半徑的圓盤形結構。這是因為在凝聚過程中，角動量守恒（r2ω=常量）要求轉速隨r的減小而增大ω∝r

-2，因而使離心力增大（離心力∝v2/r=rω2∝r-3），它往往比引力增大（引力∝r-2）得更快，最終引力會和離心力相互平衡，即角動量守恒限制了星系在垂直于轉軸方向的進一步坍縮。但角動量守恒并不妨礙星系沿轉軸方向的坍縮，因為對這種坍縮，角動量守恒不要求增加轉速。故星系最終坍縮成圓盤狀，在沿軸向坍縮過程中減少的引力勢能將以輻射的形式釋放掉。中國科學技術大學楊維纮5.2.3角動量守恒定律與空間各向同性第五章角動量定理

如第四章4.7.3節(jié)里一樣，我們仍考慮一對粒子A和B。固定B，將A沿以B為圓心的圓弧⊿s移動到A/（如圖5.4），從而相互作用勢能改變：

空間各向同性意味著，兩粒子之間的相互作用勢能只與它們的距離有關，與二者之間聯線在空間的取向無關。所以上述操作不應改變它們之間的勢能，從而⊿V=0，即相互作用力的切向分量：或者說，“兩粒子之間的相互作用力沿二者的聯線”。這說法與“角動量守恒”是等價的。于是，我們從空間的各向同性推出了角動量守恒定律。中國科學技術大學楊維纮第五章角動量定理5.3.1質心系的角動量定理5.3.2體系的角量與質心的角動量

§5.3質心系的角動量定理中國科學技術大學楊維纮§5.3質心系的角動量定理5.3.1質心系的角動量定理第五章角動量定理

由于角動量定理的推導過程中應用了牛頓定律，所以角動量定理在慣性系中才成立。當在質心系中考慮體系相對質心的角動量隨時間的變化時，質心是固定點。如果質心系是慣性系，角動量定理當然適用。如果質心系是非慣性系，只要加上慣性力，牛頓定律仍然成立。因此只要加上慣性力的力矩，角動量守恒定理也仍然成立。中國科學技術大學楊維纮5.3.1質心系的角動量定理第五章角動量定理

設LC為質心系中體系對質心的角動量，MC為外力對質心的力矩，MC慣為慣性力對質心的力矩。則有：

由于質心系是平動系，作用在各質點上的慣性力與質量成正比，方向與質心加速度相反，對質心的力矩為：即：不論質心系是慣性系還是非慣性系，在質心系中，角動量定理仍然適用。

中國科學技術大學楊維纮5.3.1質心系的角動量定理第五章角動量定理

在這里我們再一次看到質心系的獨特優(yōu)越性。行星繞太陽運動時，把太陽看成靜止是一種近似。利用第四章4.4.3節(jié)的約化質量雖然精確，但是只能處理兩體問題。對于多體問題，當行星的質量與太陽質量相比不能忽略，或者我們求解問題要求高精度時，都應該考慮太陽的運動，在這種情況下用質心系就能顯示其優(yōu)點了。中國科學技術大學楊維纮5.3.2體系的角量與質心的角動量第五章角動量定理

雖然在質心系中角動量定理仍然適用，但體系在質心系中相對質心的角動量與體系在慣性系中相對原點的角動量并不相同。這一點應該是肯定的，因為即使在慣性系中相對不同的點的角動量都不相同，何況質心往往還是一個運動的點。中國科學技術大學楊維纮5.3.2體系的角量與質心的角動量第五章角動量定理

設在慣性系K中，體系相對原點的角動量為L。在質心系KC中，體系相對于質心的角動量為LC，則有：令：稱為質心角動量稱為體系相對于質心的角動量則有：即：體系的角動量等于質心的角動量與體系相對于質心的角動量之和。中國科學技術大學楊維纮第五章角動量定理§5.4萬有引力

在西方，一些物理學家提出這樣的問題：如果一個人未讀過莎士比亞的著作，會被人認為沒有教養(yǎng)；但是一個人不知道牛頓、愛因斯坦的理論，卻不被看做沒有文化。這不奇怪嗎？于是他們仿照“藝術欣賞”、“歌劇欣賞”那樣，在大學文科開設起“科學欣賞”、“物理欣賞”課來。

在我國，情況可能更是這樣。在一般人心目中，物理是那樣枯燥，那樣難懂，難道還有什么可欣賞的？其實物理學是優(yōu)美的，它的美表現在基本物理規(guī)律的簡潔和普適性。然而這些規(guī)律的外在表現（各種物理現象）卻往往非常復雜。物理學的規(guī)律是有層次的，層次越深，則規(guī)律越基本，就越簡單，其適用性也越廣泛，但也越不容易被揭示出來。

物理學的簡潔性是隱蔽的，它所具有的是深奧而含蓄的內在美。不懂得它的語言，是很難領會到的。天文學先于物理學，事實上物理學的發(fā)端始于對理解星體運行的追求。萬有引力定律的發(fā)現堪稱一部逐步揭示物理規(guī)律簡潔美的壯麗史詩，讓我們從開普勒談起。

中國科學技術大學楊維纮第五章角動量定理5.4.1開普勒的行星運動三定律5.4.2牛頓的理論5.4.3引力的線性疊加性§5.4萬有引力中國科學技術大學楊維纮5.4.1開普勒的行星運動三定律第五章角動量定理

在牛頓之前，人類研究得最多也最清楚的運動現象就是行星的運行。肉限可以看到五顆行星：水、金、火、木、土。對這五顆行星的運動有過長期的觀察，特別是丹麥天文學家第谷（TyehoBrahe,1546~1601）連續(xù)進行了二十年的仔細觀測、記錄，他的學生開普勒（KeplerJohamnes,1571~1630）則花費了大約二十年的時間分析這些數據。開普勒前后總結出三條行星運動的規(guī)律：所有行星都沿著橢圓軌道運行，太陽則位于這些橢圓的一個焦點上。這稱為軌道定律。任何行星到太陽的連線在相同的時間內掃過相同的面積。這稱為面積定律。任何行星繞太陽運動的周期的平方與該行星的橢圓軌道的半長軸的立方成正比，即：T∝r3/2(式中，T是行星運動的周期；r是橢圓軌道的半長軸。這稱為周期定律。中國科學技術大學楊維纮5.4.1開普勒的行星運動三定律第五章角動量定理

開普勒本人在得到上述的行星運動的規(guī)律之后，也曾企圖尋找運動的原因，來解釋行星運動的現象。但是他并不著眼于力，而是著眼于對稱性。開普勒首先要解釋各行星半長軸為什么取某些特定值。他認為這是宇宙的對稱和和諧的表現。他設計了一個由正多面體構成的宇宙。中國科學技術大學楊維纮5.4.1開普勒的行星運動三定律第五章角動量定理如圖5.5所示，土星的軌道在最外的一個大圓上；

在該球內作一內接的正六面體，木星軌道在該六面體的內切球面上；

在這球內再作一正四面體，火星軌道則在該四面體的內切球面上；相繼地，再在這球面內作一內接正十二面體，地球軌道在這十二面體的內切球面上；

再繼續(xù)作一內接的正二十面體，金星軌道就在二十面體的內切球面上；

最后，作內接的正八面體，其內切球面就是水星的軌道所在之處。

中國科學技術大學楊維纮5.4.1開普勒的行星運動三定律第五章角動量定理

我們知道，正多面體的種類是不多的，只有5種，所以開普勒相信行星只有6顆，用上述的一系列正多面體的套裝，開普勒能給出符合觀測的行星軌道半徑之間的比例（只是水星和木星的情況有顯著的偏差），不能不說這是一個很有意義的嘗試。

雖然現在已經證明，開普勒的解釋并不正確，但是這個事例告訴我們，“從運動的現象去研究對稱性”確是一種有價值的方法。在一些現代物理的研究中往往是首先著眼于對稱性的。

中國科學技術大學楊維纮5.4.1開普勒的行星運動三定律第五章角動量定理

開普勒獲此結果欣喜若狂，他不加掩飾他說：“十六年了，我立志要探索一件事，所以我和第谷結合起來，……我終于走向光明，認識到的真理遠超出我最熱切的期望。如今木已成舟，書已完稿。至于是否現在就有讀者，抑或將留待后世？正像上帝已等了觀察者六千多年那樣，我也許要整整等上一個世紀才會有讀者。對此我毫不在意?！?/p>

中國科學技術大學楊維纮5.4.1開普勒的行星運動三定律第五章角動量定理

把20余年里觀測的幾千個數據歸納成這樣簡潔的幾條規(guī)律，開普勒是應該為此而感到自豪的。只是開普勒尚不理解，他所發(fā)現的三大定律已傳達了重大的“天機”。

我們知道，角動量正比于矢徑的掠面速度，開普勒的面積定律意味著角動量守恒，即行星受到的是有心力；而軌道定律告訴我們該有心力為引力；至于力的大小，開普勒的周期定律給出了定量的描述。

開普勒的行星運動三定律蘊涵著更為簡潔、更為普遍的萬有引力定律，其中的奧秘直到牛頓才被破譯出來。中國科學技術大學楊維纮5.4.2牛頓的理論第五章角動量定理

牛頓在他的劃時代的著作《自然哲學的數學原理》中寫道：我奉獻這一作品，作為哲學的數學原理，因為哲學的全部責任似乎在于——從運動的現象去研究自然界中的力，然后從這些力去說明其他的現象。中國科學技術大學楊維纮1.引力的表達式第五章角動量定理

由開普勒軌道定律，為了簡便，可把行星軌道看作圓形。這樣，根據面積定律，行星應作勻速圓周運動，只有向心加速度a=v2/r,其中v是行星的速率；r是圓軌道的半徑。根據開普勒第三定律：T∝r3/2，而v=2πr/T，故于是：其中m是行星的質量。取比例系數為k，則得：顯然，k應取決于太陽的性質。由此，牛頓得到第一個重要結果：如果太陽引力是行星運動的原因，則這種力應和的平方成反比。

中國科學技術大學楊維纮1.引力的表達式第五章角動量定理

在牛頓之前，也有人提出過引力應遵循平方反比律，但那并不是基于力的明確定義而得到的，只是一種猜測，或者是從幾何類比推出。在牛頓體系中，力具有定量的定義，由運動學規(guī)律及太陽是行星運動原因的假設，平方反比律就是必然的結論了。中國科學技術大學楊維纮2.認為這種引力是萬有的、普適的、統(tǒng)一的

第五章角動量定理

進一步，牛頓認為這種引力是萬有的、普適的、統(tǒng)一的，即所有物體之間都存在這種引力作用，稱之為萬有引力。這一步是關鍵性的。我們一再強調，尋找各種不同運動的統(tǒng)一原因，是物理學的追求，引力的萬有性就是基于這種統(tǒng)一觀的一種猜測。

如何來檢驗這一猜測呢？既然引力是普適的，那么，地球和月亮之間也應當存在這類力，月亮之所以繞地球運動，應當是地球施于月亮的吸引力，就象太陽有吸引行星的力那樣。中國科學技術大學楊維纮2.認為這種引力是萬有的、普適的、統(tǒng)一的

第五章角動量定理地球對月亮的吸引力應為：其中r月為月亮繞地球公轉的半徑，m月為月球的質量，k地應取決于地球的性質。地球對月亮的吸引力提供了月亮繞地球公轉所需的向心力，即：其中，v月為月球的公轉速度，T為月亮繞地球的公轉周期（交點月）。而對于地面上的物體，所受到的引力應為：其中，m是物體的質量，R是地球半徑，于是得：中國科學技術大學楊維纮2.認為這種引力是萬有的、普適的、統(tǒng)一的

第五章角動量定理于是得：即：該式就是從引力普適性得出的預言。在這個關系式中，所有量都是可測量的，因此，可以用實驗加以檢驗。中國科學技術大學楊維纮2.認為這種引力是萬有的、普適的、統(tǒng)一的

第五章角動量定理其中有關量的數值為：R=6400千米，g=9.8米/秒2，T=27天7小時43分或27.3215天，r月=384000千米，這些測量結果能很好地滿足該式，這就驗證了萬有引力假設的正確性。

早在1665年，牛頓就得到了該式，當時的測量數據是：古希臘的天文學家伊巴谷（Hipparchus）通過觀測月全食持續(xù)的時間（即月球通過地球陰影的時間），相當精確地估算出月亮與地球之間的距離是地球半徑的60倍；地球表面大圓弧上一度為60mile（1mile=1609.3米，這是當時海員們通用的計算方法），得到地球半徑為3500mile，即5632公里；牛頓發(fā)現這些數據并不滿足上式。因而，牛頓并沒有及時發(fā)表他的成果。中國科學技術大學楊維纮2.認為這種引力是萬有的、普適的、統(tǒng)一的

第五章角動量定理

直到后來，天文學家重新測定了地球半徑，發(fā)現以前的觀測值錯了。牛頓用新的數據再進行計算，所得結果完全符合(5.4.9)式。這可能是牛頓推遲于1685年發(fā)表他的萬有引力理論的一個原因。

牛頓的上述論證說明，地上物體的運動規(guī)律與月亮運動的規(guī)律實質上是一樣的。這個結果的意義很重大，它打破了亞里士多德關于天上運動和地面運動是本質不同的兩類運動的基本觀念。按照牛頓的理論，天體運動與地面運動之間并無根本的差別，也沒有不可渡過的界限。

中國科學技術大學楊維纮2.認為這種引力是萬有的、普適的、統(tǒng)一的

第五章角動量定理

牛頓曾描述過在高山頂上用大炮發(fā)射炮彈的運動情形，我們知道，炮彈作拋體運動。按牛頓理論，只要炮彈的初速度足夠大，炮彈就能繞地球運動，而不再落回地面，成為地球的衛(wèi)星。因此落體或拋體運動與地球衛(wèi)星的運動之間的差別，只不過是初速度不同。今天看來，這些結果已沒有什么希奇，因為已經成功地發(fā)射了很多人造地球衛(wèi)星。但在三百多年前，就認為原則上我們可制造天體那樣的運動，是一個非常大膽的想法。

上面的討論我們只利用了開普勒的第二、第三定律，還應當證明萬有引力定律(5.4-4)式也符合開普勒的軌道定律。牛頓在1677年完成了這個證明，使萬有引力理論形成了完整的體系。中國科學技術大學楊維纮2.認為這種引力是萬有的、普適的、統(tǒng)一的

第五章角動量定理

牛頓在他的小傳中，總結過自己這一段的工作，他說：“在1665年開始……我從開普勒關于行星的周期是和行星到軌道中心的距離的3/2次方成比例的定律，推出了使行星保持在它們的軌道上的力必定和它們與繞行中心之間的距離平方成反比；爾后，把使月球保持在它軌道上所需要的力和地球表面上的重力作了比較，并發(fā)現它們近似相同。所有這些發(fā)現都是在1665和1666的鼠疫年代里作出來的……最后在1676和1677年之間的冬季，我發(fā)現了一個命題，那就是——一個行星必然要作一個橢圓形的運動，力心在橢圓的一個焦點上，同時，它所掃過的面積（從力心算起）的大小和所用的時間成正比?！睆倪@個總結中，我們可以看到，“從運動現象研究力，再從力去說明其它現象”的完整過程。這種物理的研究方法一直沿用到今天。中國科學技術大學楊維纮3.引力常數第五章角動量定理

利用萬有引力的普適性，可以確定(5.4.5)式中的k地值。由(5.4.5)，地球對月亮的引力為：同理，由萬有引力的普適性，月亮對地球的引力應為：其中m地為地球的質量，k月是和月亮有關的常數。根據牛頓第三定律由上兩式得：中國科學技術大學楊維纮3.引力常數第五章角動量定理上式左邊只與地球有關，而右邊只與月亮有關，且兩邊相等，故其值是一個與地球和月亮都無關的普適常數，設其為G，有：于是地月之間引力為：中國科學技術大學楊維纮3.引力常數第五章角動量定理

普適的萬有引力定律：任何具有質量m1和m2、相距為r的兩質點之間的引力，總是沿著兩質點之間的連線方向，其引力的大小為：式中G是對所有質點都具有相同數值的常數，稱為萬有引力常數。m1和m2稱為兩質點的引力質量。為了和引力質量相區(qū)別，我們以前定義的質量稱為慣性質量。由上式可知G的量綱為：中國科學技術大學楊維纮5.4.3引力的線性疊加性第五章角動量定理

我們知道，牛頓的萬有引力定律(5.4.15)式是對兩個質點而言的。而牛頓在發(fā)展引力理論的過程中，重要的一步是把月亮運動和地球上的落體運動統(tǒng)一起來，其關鍵的問題是牛頓認為地球表面落體運動的加速度可以寫成：其中R是地球半徑。這里有一個很大的疑問，為什么能把地球看成質點？牛頓一開始就意識到這一點，后來，他給出了嚴格的證明。下面我們來討論多質點體系的引力問題。中國科學技術大學楊維纮5.4.3引力的線性疊加性第五章角動量定理

如圖5.6所示，在原點有一質量為m的質點，空間分布著質量分別為m1，m2，……，mn的n個質點組成的體系，它們的位置矢徑分別為r1，r2，……，rn，則我們認為該體系對質點的引力可以寫成：這在本質上是認為兩質點之間的引力作用只與這兩質點有關，而與第三者、第四者等等是否存在毫無關系，可以不加顧及。中國科學技術大學楊維纮5.4.3引力的線性疊加性第五章角動量定理

這個新的物理內容是引力的一個重要性質，我們稱之為引力的線性迭加性。于是我們引入的新假定為：兩質點間的引力大小與是否存在其它質點無關。（即只有兩體作用，沒有多體作用）

并不是所有的力都有這種性質，譬如，強相互作用就沒有這種性質。

做了上述的推廣，就可以來討論牛頓所遇到的問題了。中國科學技術大學楊維纮5.4.3引力的線性疊加性第五章角動量定理

考慮一密度均勻的球殼，如圖5.7，它的厚度t比它的半徑r小得多。我們要求出它對球殼外一個質量為m的質點P的引力。

可以把球殼看成許多小塊的集合，每個小塊在點P上都有作用力，這力的大小應當與該小塊的質量成正比，而與它和P點之間的距離的平方成反比，方向沿著它們之間的連線。然后，我們再求球殼上所有部分對P點的合力。中國科學技術大學楊維纮5.4.3引力的線性疊加性第五章角動量定理

設在球殼A點處的一小塊對m的引力為F1，由球殼的對稱性，我們可以找到與A相對稱的點B，該處的一小塊對的引力為F2。由于對稱，故F1與F2這兩個力的豎直分量彼此抵消，而水平分量F1cosα與F1cosα相等。通過把球殼分為這樣一對一對的小塊，我們立刻可以看出，所有作用在m上的力的豎直分量都成對地相互抵消了。

為了求出球殼對m的合引力，我們只需考慮水平分量。

中國科學技術大學楊維纮5.4.3引力的線性疊加性第五章角動量定理這就是環(huán)帶上的物質作用在質點m上的引力。而整個球殼的作用為上式對所有環(huán)帶求和，即對x從最小值到最大值積分。1.R>r，即m在球外，x的變化范圍是：由于：得：該結果表明，一個密度均勻的球殼對球殼外一質點的引力，等效于它的所有質量都集中于它的中心時的引力。中國科學技術大學楊維纮5.4.3引力的線性疊加性第五章角動量定理2.R<r，即m在球內，x的變化范圍是：由于：得：該結果表明，一個密度均勻的球殼對球殼內任一質點的引力為零！

為什么會有這樣的結果？其原因恰恰是因為引力與兩質點之間距離的反平方關系。中國科學技術大學楊維纮5.4.3引力的線性疊加性第五章角動量定理一個密度均勻的球殼對球殼內任一質點的引力為零！

這個結果有很大的意義。若假設星際間星球分布均勻，各向同性。則考慮太陽系內情況時，來自太陽系外的引力可以不予考慮。否則難以解釋為什么可以忽略無限多的星體在局部范圍的引力效應。

現代天文觀測的確已逐步證明，宇宙在大尺度的物質分布是相當均勻的。中國科學技術大學楊維纮討論：

第五章角動量定理

應當強調，之所以有上述這些結果，是我們用了引力的迭加性和引力的距離平方反比律。因此上述結果對其他類型的力就不一定成立。

一個實心球體可當作由大量同心球殼所構成。如果各層球殼具有不同密度，但每一球殼都具有均勻密度，則同樣的論證也適用于這種實心球體。因此，對于象地球、月球或太陽這類近似于球體的天體來說，在討論它們的吸引力時，就可以把它們當作質量集中在球心的質點來處理。其實，地球并不是標準的球體，而是有點象梨的形狀，“梨”的較小一端在北半球。因此，(5.4-17)式是不嚴格的。若考慮地球的真實形狀，引力表達式將非常復雜。譬如，在地球附近運行的人造地球衛(wèi)星，明顯地偏離了開普勒定律所描述的軌道。實際上，現代的研究正是利用了這一點。我們是反過來，由人造地球衛(wèi)星實際軌道對開普勒定律的偏離，來研究地球的形狀和質量的分布。中國科學技術大學楊維纮第五章角動量定理5.5.1G的測定5.5.2引力的幾何性5.5.3逃逸速度5.5.4引力是什么

§5.5關于萬有引力的討論中國科學技術大學楊維纮5.5.1G的測定第五章角動量定理1798年，即牛頓發(fā)表萬有引力定律之后111年，英國物理學家卡文迪許（HenryCavendish，1731~1810）對做了第一次精確的測量，他所用的是扭秤裝置，如圖5.9所示，兩個質量均為的直徑5厘米的小鉛球被固定在輕桿的兩端，用一根系在桿的中點的極細石英絲把桿沿水平方向懸掛起來，細絲上固定著一面小鏡子。

小鉛球的附近對稱地安放著兩個質量為的直徑30厘米的大鉛球，這兩對大質量和小質量之間的引力使桿在水平面上轉動。當石英絲的扭轉所產生的彈性恢復力矩恰好與引力力矩平衡時，桿就停在一個平衡方向上，反射光把微小的角偏轉放大為光點相當大的位移。中國科學技術大學楊維纮5.5.1G的測定第五章角動量定理

根據石英絲扭轉的角度可以測出力的強度，從而測定了萬有引力常數的數值為G=6.754×10-11米3

/千克·秒2。他的實驗如此精巧，在八九十年間竟無人超過他的測量精度。

萬有引力常數是目前測得最不精確的一個基本物理常量，因為引力太弱，又不能屏蔽它的干擾，實驗很難做。1969年Rose測得的結果為G=6.674×10-11米3/千克·秒2。

國際科學聯盟理事會科技數據委員會1986年推薦的數值為：其不確定度為128ppm（百萬分之128，即萬分之1.28）。中國科學技術大學楊維纮5.5.1G的測定第五章角動量定理

卡文迪許把自己的實驗說成“稱地球的重量”，這是不無道理的（用現代物理教學中嚴謹的字眼，應該說是“測量地球的質量”），因為由(5.4.8)式和(5.4.13)式可得：知道G的數值后，利用地球半徑以及g

的數值即可算出地球的質量和地球的平均密度：中國科學技術大學楊維纮5.5.1G的測定第五章角動量定理

在地球上的實驗室里測量幾個鉛球之間的相互作用力，就可以稱量地球，這不能不說是個奇跡。其中的思想基礎和牛頓的月地檢驗是一致的，即相信天上人間服從共同的規(guī)律，引力常數的數值都是一樣的。要知道，在那個時代人們并不以為這一點很顯然。

有了G的數值，我們可以用同樣的道理去“稱太陽的重量”（即計算太陽的質量）。例如在(5.4.17)式中，若g是地球公轉的向心加速度，R是太陽與地球之間的距離，則所求得的就是太陽的質量。中國科學技術大學楊維纮5.5.2引力的幾何性第五章角動量定理

若用m引和m慣分別表示一個質點的引力質量和慣性質量，實驗得出：1890年實驗精度為10-8，1971年實驗精度為10-11。當然在m引和m慣取了合適的單位時，可以讓該普適常數為1。即當我們用(5.5.1)式定義G時，相當于認為該式具有深刻的物理意義，我們來作些探討。由于該式成立，下面我們不再區(qū)分引力質量和慣性質量，僅用m表示。中國科學技術大學楊維纮5.5.2引力的幾何性第五章角動量定理

考慮質點m在M的引力場中運動，如圖5.10，設M位于原點，m的矢徑為r，由運動定律和萬有引力定律可得運動方程為：即：式中不含有運動物體的質量！于是我們得到結論：在引力場中質點的運動與其質量無關。中國科學技術大學楊維纮5.5.2引力的幾何性第五章角動量定理

在引力場中的任何物體，不管其質料和質量如何，均具有相同的加速度，當初始位置和初始速度相同的情況下，必有相同的運動，包括空間軌道。

因此，在引力場中運動的動力學問題，變成與動力學性質（物性）無關，純屬時空中的幾何問題。

于是，零質量物體也會受到引力作用，因而光在引力場中傳播也會彎曲（廣義相對論的結論）。

引力場的幾何性是其它力場（如電場、磁場）沒有的，愛因斯坦把引力場的這一性質看成是純粹的時空幾何屬性，廣義相對論就是引力場的幾何理論。中國科學技術大學楊維纮5.5.3逃逸速度第五章角動量定理

在引力場中質量為m的質點的機械能為零時，該質點可以運動到無窮遠處。若質點位于質量為M，半徑為R的星體表面，則機械能為零時應有：此時質點m的速度稱為逃逸速度，用v逃

表示，由上式有：中國科學技術大學楊維纮5.5.3逃逸速度第五章角動量定理星球表面逃逸速度的不同，星球的性質會有很大的不同。1.行星表面的逃逸速度如果太小，則不可能有大氣。水星：M=0.056M地,R=0.38R地,v逃

=4.3km/s,無大氣；金星：M=0.82M地,R=0.95R地,v逃

=10.4km/s,90大氣壓；地球：M=M地,R=R地,v逃

=11.2km/s,1大氣壓；火星：M=0.108M地,R=0.53R地,v逃

=5.06km/s,0.008大氣壓；月球：M=0.012M地,R=0.27R地,v逃

=2.4km/s,無大氣；星球表面的逃逸速度如果太大，以致于達到光速，則稱為黑洞。中國科學技術大學楊維纮5.5.3逃逸速度第五章角動量定理

大約200年前，法國數學家、天文學家拉普拉斯于1796年曾預言：“一個密度如地球而直徑為太陽250倍的發(fā)光恒星，由于其引力作用，將不容許任何光線離開它。由于這個原因，宇宙中最大的發(fā)光物體也不會被我們發(fā)現?！崩绽沟乃枷肟梢岳斫鉃樵谶@個天體上，v逃

=c（光速）。將此式代入(5.5.7)式可得天體的半徑為：RS叫做天體的引力半徑或史瓦西(Schwarzchild)半徑。中國科學技術大學楊維纮5.5.3逃逸速度第五章角動量定理

拉普拉斯的預言并未受到人們的重視，漸漸也就被淡忘了。現在我們知道，按照狹義相對論，一切物體的速度都不能超過光速c，當v逃

=c時，任何物體都逃脫不掉。由廣義相對論知，光子也要受到引力的作用，在這樣的天體上就連光也傳播不出來。這種奇怪的天體就是廣義相對論所預言的“黑洞”。中國科學技術大學楊維纮5.5.4引力是什么第五章角動量定理

牛頓萬有引力定律的偉大意義不僅在于定律本身在以后年代里所起的作用，而且給人類對其它自然現象的理解指出了希望。然而，萬有引力的物理機制是什么？牛頓沒有給出任何說明，從那以后也沒有人提出過正確的機制，盡管有人試圖這樣做，最終均以失敗告終，事實上，物理定律的抽象性質是其固有的特征，能量守恒是這樣，力學中的其它重要定律也是這樣，它們僅僅是一些數學定律，無法給出起作用的機制。不過由這些定律出發(fā)我們能夠發(fā)現更多的東西。中國科學技術大學楊維纮1.引力和慣性具有相同的起因

第五章角動量定理

在牛頓的經典物理學中，引力質量和慣性質量相等，都是時空的性質，因而可以認為：引力和慣性具有相同的起因。愛因斯坦正是利用這一點提出了他的廣義相對論。

引力和慣性力都是萬有的，引力只與引力質量有關，慣性力只與慣性質量有關。它們與物質的其它特性（如電荷、磁荷）均無關。引力質量與慣性質量的嚴格相等暗示我們，這兩種質量是同一個東西。馬赫原理與等效原理又告訴我們，引力與慣性力本質上相同。等效原理還進一步告訴我們，當只有引力場與慣性場存在時，任何質點，不論質量大小，在時空中都會描出同樣的曲線。

這就是說，質點在純引力和慣性力作用下的運動，與它的質量無關。中國科學技術大學楊維纮1.引力和慣性具有相同的起因

第五章角動量定理

于是，愛因斯坦推測，引力效應可能是一種幾何效應。萬有引力不是一般的力，而是時空彎曲的表現。由于引力和慣性起源于質量，愛因斯坦認為時空彎曲起源于物質的存在和運動。

這里所說的彎曲空間是與我們所熟知的平直空間相對應的。平直時空是用歐幾里得幾何描述的，直線在其中占有重要地位。它是兩點間的最短線。我們知道，物理上若要給出“直線”的定義，必須同時給出測量方法。按照牛頓定律，我們不妨認為，自由質點沿“直線”作慣性勻速運動?；蛘吒话愕?，光線沿“直線”以光速運動。由上述引力的幾何性可知，光線在引力場中會彎曲，這實際上是時空的彎曲。彎曲時空中一般不存在直線，但是，兩點間會有最短線或最長線，統(tǒng)稱短程線或測地線。中國科學技術大學楊維纮1.引力和慣性具有相同的起因

第五章角動量定理

伽利略認為慣性運動是一種自由運動。靜止和勻速直線運動均屬于慣性運動。這一觀點毫無疑問是正確的。但伽利略又認為勻速圓周運動也屬于慣性運動。行星之所以能圍繞太陽不停地轉動，就是因為行星的運動是勻速圓周運動，因而也就是不需要外力的慣性運動。長期以來，人們一直認為這是伽利略的一個失誤。然而從廣義相對論的角度看，伽利略把行星繞日運動看作慣性運動的觀點其實是正確的。

愛因斯坦的廣義相對論認為，萬有引力不是真正的力，而是時空彎曲的表現。

中國科學技術大學楊維纮1.引力和慣性具有相同的起因

第五章角動量定理

行星繞日運動，就是彎曲時空中的自由運動（即慣性運動）。它們在四維時空中描出的軌道是測地線（即短程線）。測地線就是直線在彎曲時空中的推廣，或者說測地線就是廣義的“直線”。這種彎曲由物質的存在和運動造成。質點在萬有引力場中的運動實質上是一種沒有受到力的慣性運動。

在平直時空中，慣性運動是直線運動。彎曲時空中沒有直線，但有短程線。愛因斯坦認為，質點在萬有引力場中的運動，既然是彎曲時空中的慣性運動，就應沿彎曲時空中的“直線”（短程線）進行。廣義相對論的基本方程有兩個，一個是描述物質如何造成時空彎曲的，稱為場方程；另一個是描述質點如何在彎曲時空中運動的，稱為運動方程。

中國科學技術大學楊維纮1.引力和慣性具有相同的起因

第五章角動量定理物質告訴時空：如何彎曲時空告訴物質：如何運動中國科學技術大學楊維纮2.引力在天體領域中的主導作用第五章角動量定理

引力如此之弱，是四種基本相互作用中最弱者，但是在天文學和天體物理領域里引力作用起著主導作用。萬有引力和電磁力均屬長程作用，但由于致密混和物中存在的電磁相互作用是那樣完善地被抵消，總是試圖保持正與負的電荷最細致的平衡。這個事實一方面使物質擁有很大的強度和硬度，另一方面作為物質的星體之間的電磁作用力已被降至極其微弱的程度，萬有引力變成主宰天體運動的決定性因素。中國科學技術大學楊維纮2.引力在天體領域中的主導作用第五章角動量定理

一個星體（例如恒星），由于自身引力作用，將收縮呈球狀，同時引力勢能將轉變成熱能使其溫度升高。溫度升高最終導致恒星核心區(qū)域的熱核聚變，當物質粒子熱運動的壓力抗衡引力達平衡時收縮停止，粒子熱運動的能量來自恒星的熱核聚變。

當恒星中心部分的氫全部燃燒掉之后，恒星中部的熱核反應就停止了，這時萬有引力戰(zhàn)勝了熱排斥，星體開始收縮。由于恒星表面的溫度遠低于中心部分（例如太陽中心部分溫度為1500萬度，而表面溫度只有6000度），那里還不曾發(fā)生過氫合成氦的熱核反應。這時，隨著星體的塌縮，恒星外層的溫度開始升高，那里的氫開始燃燒，這就導致恒星外殼的膨脹。中國科學技術大學楊維纮2.引力在天體領域中的主導作用第五章角動量定理

外殼的膨脹和中心部分的收縮同時進行，中心部分在收縮中溫度升高到1億度，開始點燃那里的氦，使之合成碳，再合成氧，這些熱核反應短暫而猛烈，像爆炸一樣，稱為“氦閃”。這種過程大約經歷100萬年，在整個天體演化中，這是一個很短的“瞬間”。

此后幾億年中，恒星進入一個短暫的平穩(wěn)期。當中心部分的氦逐漸燃燒完之后，外層氫的燃燒不斷向更外部擴展，星體膨脹得越來越大，膨脹到原來的10億倍。由于外殼離高溫的中心越來越遠，恒星表面的溫度逐漸降低，從黃色變成紅色。由于體積巨大，這種紅色巨星看來很明亮，稱為紅巨星。中國科學技術大學楊維纮2.引力在天體領域中的主導作用第五章角動量定理

50億年后，我們的太陽也將演化成這樣的紅巨星，膨脹的太陽將逐步燃燒吞食掉水星、金星和地球。地球的軌道將被包在紅巨星之內，海洋將全部沸騰蒸干，地球的殘骸將繼續(xù)在紅巨星內部公轉，紅巨星外層氣體灼熱而稀薄，比我們實驗室中所能得到的最好的真空還要空，所以地球仍能存在，并繼續(xù)轉動。當然，生命已不可能在地球上生存。

中國科學技術大學楊維纮2.引力在天體領域中的主導作用第五章角動量定理

核能源進一步枯竭之后，紅巨星將拋出一些氣體，形成“行星狀星云”。一般來說，恒星在望遠鏡中看是一個點，而行星離地球近，在望遠鏡中呈現為一個圓面。所謂“行星狀星云”，實際上是恒星周圍的云狀物質，在地球上用望遠鏡看，像行星一樣是一個小圓面，其實與行星毫無關系。這個階段，紅巨星的中心部分將塌縮，形成小而高密、高溫的白矮星。白矮星溫度高，呈白色，體積小，因而亮度小。隨著熱核反應的逐漸停止，白矮星將逐漸冷卻成為黑矮星，黑矮星是一顆比鉆石還要硬的巨大星體。白矮星冷卻成黑矮星的過程十分緩慢，可能需要100億年左右。可以說，在宇宙間，至今還沒有生成一顆黑矮星。中國科學技術大學楊維纮2.引力在天體領域中的主導作用第五章角動量定理

白矮星的質量有一個上限，稱為錢德拉塞卡極限，它等于1.4倍的太陽質量。不存在大于該極限的白矮星。這是因為質量超過錢德拉塞卡極限的星體在塌縮成白矮星時，內部電子的運動速度會接近光速，成為相對論電子氣。這時電子氣的簡并壓強（即泡利不相容原理產生的排斥力）會減小，以至于抵抗不住星體自身的萬有引力，星體將進一步塌縮，電子將被壓人原子核中，與其中的質子中和生成中子，成為中子星。中子星與白矮星有些類似，它不是靠熱排斥或電磁作用來抗衡引力，而是靠中子間的簡并壓強（泡利斥力）來抗衡引力。中國科學技術大學楊維纮2.引力在天體領域中的主導作用第五章角動量定理

中子星也有一個質量上限，稱為奧本海默極限，大約為3～4倍的太陽質量。超過這一極限的中子星不穩(wěn)定，會進一步塌縮形成黑洞。這顆星從此消失，沒有任何信息可以從它的內部傳到外部世界。中國科學技術大學楊維纮3.熱與引力第五章角動量定理

熱和引力是任何物質都有的兩種最普遍的屬性。而且，只有這兩種屬性是任何物質都有的，找不出第三種。電磁相互作用只出現在帶有電荷、磁荷的物體之間，強作用只出現在強子之間，弱作用也不是任何微觀粒子之間都存在。但是，萬有引力是萬有的，任何物質都有。熱運動也是萬有的，任何物質都有。

萬有引力不可屏蔽，熱運動也不可屏蔽，所謂的絕熱壁只不過是一種想象的東西。

恒星和星系之所以能夠存在，是靠著萬有引力把物質凝聚在一起，又靠著熱運動的排斥作用，而使物質不至于在引力下無限制地塌縮。熱與引力，是維持恒星和星系生存的一對矛盾，一個起排斥作用，另一個起吸引作用，最后達到一定的平衡。

特別值得注意的是，當通常的熱運動停止下來，星體只剩下萬有引力的吸引作用而徹底塌縮時，形成的黑洞居然會有溫度出現，居然會有輻射產生。

中國科學技術大學楊維纮3.熱與引力第五章角動量定理

可見，熱與引力具有深刻的本質聯系。不能把引力與電磁力、強力、弱力等同看待，引力不是真正的力，它不僅是時空的彎曲，而且與熱不可分割。

物理學中有兩個特別值得注意的領域：一個是廣義相對論，一個是熱力學。中國科學技術大學楊維纮3.熱與引力第五章角動量定理

除去廣義相對論之外的所有物理領域（包括熱力學），都把時空看作不依賴于物質及其運動的背景和舞臺。時空永遠是平直的，像個空架子，不受物質和運動的影響。所有物質都在平直不變的時空背景下運動，展現自己的規(guī)律。只有廣義相對論，認為時空背景不能脫離物質和運動。它們之間相互影響，物質和運動會使時空彎曲。換句話說，只有廣義相對論中的時空是彎曲的，其它所有物理領域中的時空都是平直的。

中國科學技術大學楊維纮3.熱與引力第五章角動量定理

另一方面，除去熱力學之外的所有物理領域（包括廣義相對論），都不認為時間有方向，都是可逆的。時間反演成立的理論，都是絕對零度的理論。只有熱力學，它的第二定律顯示出時間箭頭，認為時間有方向，認為真實的物理過程應該是不可逆的。它的第三定律告訴我們，真實的物理過程不應該處在絕對零度。

這兩個具有鮮明特色的理論，其實存在著本質的聯系。中國科學技術大學楊維纮3.熱與引力第五章角動量定理

任何不考慮“熱”的引力研究都會碰到不可逾越的困難。廣義相對論中的奇點困難就是其中之一。廣義相對論的場方程本質上是絕對零度的方程。在不考慮熱效應的情況下，得出了奇點定理，導致了嚴重的奇點困難。廣義相對論中的另一個基本困難，引力場量子化的困難，也可能與不考慮“熱”有關。如果討論有限溫度下的引力理論，也許能同時克服奇點困難和引力場量子化中碰到的困難。中國科學技術大學楊維纮3.熱與引力第五章角動量定理

另一方面，狹義相對論的熱力學理論至今存在問題，更不用說廣義相對論的熱力學了。一個勻速運動的物體，與靜止的同種物體相比，其溫度升高。降低還是不變？現在居然有三種答案，而且誰也說服不了誰。實際上，熱學理論至今未能納入相對論的框架。愛因斯坦在1905年之后，碰到了萬有引力定律納不進相對論框架的困難。今天我們碰到了類似的困難，并且也許是更大的困難。

中國科學技術大學楊維纮3.熱與引力第五章角動量定理

在熱學中，把溫度每升高一度所需的熱量叫做物體的熱容量。研究結果表明，對于引力系統(tǒng)，需要減少能量來提高它的溫度，這就是說，它的“熱容量”是負的。負熱容的系統(tǒng)是不穩(wěn)定的，它沒有平衡態(tài)。

一個通常的熱力學系統(tǒng)處在一種較冷的介質中時會損失能量。它的溫度降低而介質的溫度升高，直到實現平衡為止，我們說這個系統(tǒng)有正熱容。量子黑洞的行為則正相反，它失去能量時溫度升高，反之亦然。如果周圍介質的溫度較高，黑洞就總是傾向于吸收能量，增大尺度，因而冷卻，直至所有可得到的能量都已被吸收為止。反過來，如果介質溫度較低，它就輻射，減小尺度，直至蒸發(fā)和消散掉自己所有的能量為止。這就是說，黑洞有著負熱容，因而它根本上是不穩(wěn)定的。中國科學技術大學楊維纮3.熱與引力第五章角動量定理

所有平衡只依賴于引力的系統(tǒng)，不論是量子系統(tǒng)與否，都是不穩(wěn)定的。例如，在圍繞地球軌道上的人造衛(wèi)星會由于大氣摩擦而損失引力能，因而沿螺旋線緩慢地朝地球下落。在這個過程中其速度和動能是增大的，所以它不能獲得一個穩(wěn)定軌道，最后只能墜落到地球上。

大家在后續(xù)的熱力學課程中會學到熱力學的第二定律，它的一個推論是“熱寂說”，這是一個無論從理智上和感情上都令人難以接受的結論。在100多年里雖遭到許多物理上和哲學上的批判，但大多沒有擊中要害?，F在我們清楚了，“熱寂說”的要害是沒有充分考慮引力的作用，宇宙是個引力系統(tǒng)，根本沒有平衡態(tài)，從而熱力學的前提對宇宙從頭起就不適用。不過，對該問題的深入探討已遠遠超出了本課程的范圍。中國科學技術大學楊維纮第五章角動量定理§5.6質點在有心力場中的運動

質點在有心力場中的運動問題是常見的，如小物體在大物體的萬有引力、庫侖力或分子力等作用下的運動問題都是質點在有心力場中的運動問題，因為此時力的中心（大物體）可近似視為固定。即使是一般的兩個物體的運動，只要它們遠離其他物體，它們之間的作用力又沿著它們的連線，且僅與兩者間距離有關，它們的運動也可以利用約化質量（參見第四章4.4.3節(jié)）化為單個物體在固定力心的有心力場中的運動問題。這樣的有心力稱為中心對稱有心力。當f(r)>0時，F為斥力；f(r)<0時，F為引力，我們主要討論質點在這種中心對稱有心力作用下的運動。為敘述簡單起見，以后我們講有心力，就是指中心對稱有心力。中國科學技術大學楊維纮第五章角動量定理5.6.1研究有心力問題的基本方程5.6.2有心力問題的定性處理，有效勢能與軌道特征5.6.3有心力問題的定量處理及軌道問題

§5.6質點在有心力場中的運動中國科學技術大學楊維纮5.6.1研究有心力問題的基本方程第五章角動量定理

設物體（視為質點）的質量為m，在有心力F作用下，其運動方程為：

由于有心力是保守力（參見第四章4.3節(jié)），故在有心力場中質點運動的一般特征為：運動必定在一個平面上。（因為角動量守恒或掠面速度守恒）質點的機械能守恒。（因為保守力場可以定義勢能）中國科學技術大學楊維纮5.6.1研究有心力問題的基本方程第五章角動量定理

顯然，討論質點在有心力場中的運動，選平面極坐標系比較方便。方程(5.6.3)沿徑向和橫向的分量式為：考慮其第二式，容易驗證，它可以改寫成：上式實際上是角動量守恒。這是因為：令：其中h是有物理意義的，它為質點掠面速度的兩倍，當然應為常量中國科學技術大學楊維纮5.6.1研究有心力問題的基本方程第五章角動量定理角動量守恒：將(5.6.10)式代入方程(5.6.4)，得：積分，得：其中U(r)為質點在保守力場中的勢能，即：中國科學技術大學楊維纮5.6.1研究有心力問題的基本方程第五章角動量定理將(5.6.10)代入(5.6.12)消去