行列式的性質(zhì)行列式展開

關于行列式的性質(zhì)行列式展開第一頁，共六十一頁，編輯于2023年，星期三一、行列式的性質(zhì)2、性質(zhì)1

行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等.行列式稱為行列式的轉(zhuǎn)置行列式.1、記第二頁，共六十一頁，編輯于2023年，星期三例如：對這個行列式進行轉(zhuǎn)置第三頁，共六十一頁，編輯于2023年，星期三3、性質(zhì)2

互換行列式的兩行(列),行列式變號.互換行列式的二、三行例4、推論如果行列式有兩行（列）完全相同，則此行列式為零.證明互換相同的兩行，有第四頁，共六十一頁，編輯于2023年，星期三5、性質(zhì)3

行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一數(shù)，等于用數(shù)乘此行列式.即行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符號的外面．第五頁，共六十一頁，編輯于2023年，星期三6、性質(zhì)4

行列式中如果有兩行(列)元素成比例，則此行列式為零．證明第六頁，共六十一頁，編輯于2023年，星期三7、性質(zhì)5

若行列式的某一列(行)的元素都是兩數(shù)之和.則D等于下列兩個行列式之和：例如第七頁，共六十一頁，編輯于2023年，星期三8、性質(zhì)6把行列式的某一列(行)的各元素乘以同一數(shù)后加到另一列(行)對應的元素上去，行列式不變．例如第八頁，共六十一頁，編輯于2023年，星期三例2.1二、應用舉例計算行列式常用方法：利用運算把行列式化為三角形行列式，從而算得行列式的值．

方法二：三角形法第九頁，共六十一頁，編輯于2023年，星期三解第十頁，共六十一頁，編輯于2023年，星期三第十一頁，共六十一頁，編輯于2023年，星期三第十二頁，共六十一頁，編輯于2023年，星期三第十三頁，共六十一頁，編輯于2023年，星期三第十四頁，共六十一頁，編輯于2023年，星期三例2.2

計算n階行列式解:將第都加到第一列得技巧1：行和相同，全部加到某一列第十五頁，共六十一頁，編輯于2023年，星期三技巧2:相同元素很多，化0（或者化為三角形）.第十六頁，共六十一頁，編輯于2023年，星期三例2.3計算第十七頁，共六十一頁，編輯于2023年，星期三解第十八頁，共六十一頁，編輯于2023年，星期三提取第一列的公因子，得第十九頁，共六十一頁，編輯于2023年，星期三第二十頁，共六十一頁，編輯于2023年，星期三

評注本題利用行列式的性質(zhì)，采用“化零”的方法，逐步將所給行列式化為三角形行列式．化零時一般盡量選含有１的行（列）及含零較多的行（列）；若沒有１，則可適當選取便于化零的數(shù)，或利用行列式性質(zhì)將某行（列）中的某數(shù)化為1；若所給行列式中元素間具有某些特點，則應充分利用這些特點，應用行列式性質(zhì)，以達到化為三角形行列式之目的．第二十一頁，共六十一頁，編輯于2023年，星期三(行列式中行與列具有同等的地位,行列式的性質(zhì)凡是對行成立的對列也同樣成立).

計算行列式常用方法：(1)利用定義;(2)利用性質(zhì)把行列式化為上三角形行列式，從而算得行列式的值．三、小結(jié)行列式的6個性質(zhì)第二十二頁，共六十一頁，編輯于2023年，星期三§1.4行列式按行(列)展開一、余子式與代數(shù)余子式二、行列式按行(列)展開法則三、關于代數(shù)余子式的重要性質(zhì)四、行列式的計算方法小結(jié)五、思考與練習題第二十三頁，共六十一頁，編輯于2023年，星期三例如一、余子式與代數(shù)余子式第二十四頁，共六十一頁，編輯于2023年，星期三在階行列式中，把元素所在的第行和第列劃去后，留下來的階行列式叫做元素的余子式，記作叫做元素的代數(shù)余子式．例如第二十五頁，共六十一頁，編輯于2023年，星期三第二十六頁，共六十一頁，編輯于2023年，星期三引理一個階行列式，如果其中第行所有元素除外都為零，那末這行列式等于與它的代數(shù)余子式的乘積，即．例如第二十七頁，共六十一頁，編輯于2023年，星期三性質(zhì)３行列式等于它的任一行(列)的各元素與其對應的代數(shù)余子式乘積之和，即證二、行列式按行（列）展開法則第二十八頁，共六十一頁，編輯于2023年，星期三第二十九頁，共六十一頁，編輯于2023年，星期三例3.1方法三：用降階法第三十頁，共六十一頁，編輯于2023年，星期三第三十一頁，共六十一頁，編輯于2023年，星期三例3.2計算解第三十二頁，共六十一頁，編輯于2023年，星期三第三十三頁，共六十一頁，編輯于2023年，星期三第三十四頁，共六十一頁，編輯于2023年，星期三第三十五頁，共六十一頁，編輯于2023年，星期三

評注本題是利用行列式的性質(zhì)將所給行列式的某行（列）化成只含有一個非零元素，然后按此行（列）展開，每展開一次，行列式的階數(shù)可降低1階，如此繼續(xù)進行，直到行列式能直接計算出來為止（一般展開成二階行列式）．這種方法對階數(shù)不高的數(shù)字行列式比較適用．第三十六頁，共六十一頁，編輯于2023年，星期三方法四:用數(shù)學歸納法例4.1證明第三十七頁，共六十一頁，編輯于2023年，星期三證對階數(shù)n用數(shù)學歸納法第三十八頁，共六十一頁，編輯于2023年，星期三第三十九頁，共六十一頁，編輯于2023年，星期三評注第四十頁，共六十一頁，編輯于2023年，星期三

證用數(shù)學歸納法例4.2證明范德蒙(Vandermonde)行列式數(shù)學歸納法第四十一頁，共六十一頁，編輯于2023年，星期三第四十二頁，共六十一頁，編輯于2023年，星期三n-1階范德蒙行列式第四十三頁，共六十一頁，編輯于2023年，星期三推論

行列式任一行(列)的元素與另一行(列)的對應元素的代數(shù)余子式乘積之和等于零，即第四十四頁，共六十一頁，編輯于2023年，星期三三、關于代數(shù)余子式的重要性質(zhì)第四十五頁，共六十一頁，編輯于2023年，星期三方法五:利用范德蒙行列式計算例5計算利用范德蒙行列式計算行列式，應根據(jù)范德蒙行列式的特點，將所給行列式化為范德蒙行列式，然后根據(jù)范德蒙行列式計算出結(jié)果。第四十六頁，共六十一頁，編輯于2023年，星期三解第四十七頁，共六十一頁，編輯于2023年，星期三上面等式右端行列式為n階范德蒙行列式，由范德蒙行列式知第四十八頁，共六十一頁，編輯于2023年，星期三

評注本題所給行列式各行（列）都是某元素的不同方冪，而其方冪次數(shù)或其排列與范德蒙行列式不完全相同，需要利用行列式的性質(zhì)（如提取公因子、調(diào)換各行（列）的次序等）將此行列式化成范德蒙行列式．第四十九頁，共六十一頁，編輯于2023年，星期三例6

計算

階行列式解：先將

添上一行一列，變成下面的

階行列式方法六：加邊法第五十頁，共六十一頁，編輯于2023年，星期三顯然,將的第一行乘以

后加到其余各行，得注意：此為爪形行列式，記住解此行列式的方法。因,將第列的倍加到第一列,得第五十一頁，共六十一頁，編輯于2023年，星期三注：此題也可不加邊，直接利用倍加及爪形行列式方法第五十二頁，共六十一頁，編輯于2023年，星期三例7證明:第五十三頁，共六十一頁，編輯于2023年，星期三證明:第五十四頁，共六十一頁，編輯于2023年，星期三第五十五頁，共六十一頁，編輯于2023年，星期三

四、行列式的計算方法小結(jié)(3)降階法(參見例3.1，例3.2)(最常用)(2)三角形法(參見例2.1，例2.2)

利用行列式的運算性質(zhì)運算把行列式化為上（下）三角形行列式，從而算得行列式的值．(4)數(shù)學歸納法(參見例4.1,例4.2)(5)利用范德蒙行列式(參見例5)(6)加邊法(參見例6)(7)遞推法(參見課本例1.17)(1)用行列式的逆序數(shù)定義計算（證明）第五十六頁，共六十一頁，編輯于2023年，星期三計算行列式的方法比較靈活，同一行列式可以有多種計算方法；有的行列式計算需要幾種方法綜合應用．