2023屆山東省棗莊市薛城區(qū)奚仲中學(xué)數(shù)學(xué)七下期末經(jīng)典試題含解析

2023年七下數(shù)學(xué)期末模擬試卷注意事項(xiàng)1．考生要認(rèn)真填寫考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無(wú)效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本大題共12個(gè)小題，每小題3分，共36分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1．方程2x+y=6的正整數(shù)解有（）組．A．1組 B．2組 C．3組 D．無(wú)數(shù)組2．如圖，已知是三角形內(nèi)一點(diǎn)，，，是的平分線，是的平分線，與交于點(diǎn)，則等于（）A．100° B．90° C．85° D．95°3．肥皂泡的厚度為，這個(gè)數(shù)用科學(xué)計(jì)數(shù)法表示為()A． B． C． D．4．2019年7月某日，某市的最高氣溫是32℃最低氣溫是24℃，則當(dāng)天該市氣溫t（℃）的變化范圍是（）A．t32 B．t24 C．24t32 D．24t325．下列調(diào)查中，適合用普查的是（）A．調(diào)查我國(guó)中學(xué)生的近視率 B．調(diào)查某品牌電視機(jī)的使用壽命C．調(diào)查我校每一位學(xué)生的體重 D．調(diào)查長(zhǎng)江中現(xiàn)有魚的種類6．若點(diǎn)Pm+3,m-1在x軸上，則P點(diǎn)的坐標(biāo)為（A．0,4 B．4,0 C．0,4 D．-4,07．下列事件中必然發(fā)生的事件是（）A．一個(gè)圖形平移后所得的圖形與原來(lái)的圖形不全等B．不等式的兩邊同時(shí)乘以一個(gè)數(shù)，結(jié)果仍是不等式C．200件產(chǎn)品中有5件次品，從中任意抽取6件，至少有一件是正品D．隨意翻到一本書的某頁(yè)，這頁(yè)的頁(yè)碼一定是偶數(shù)8．下列圖形中，由∠1=∠2≠90°，能得到AB∥CD的是（）A．B．C．D．9．下面的計(jì)算正確的是（）A．3x2?4x2=12x2 B．x3?x5=x15 C．x4÷x=x3 D．（x5）2=x710．如圖，在5×5方格紙中，將圖①中的三角形甲平移到圖②中所示的位置，與三角形乙拼成一個(gè)矩形，那么，下面的平移方法中，正確的是（）A．先向下平移3格，再向右平移2格B．先向下平移3格，再向右平移1格C．先向下平移2格，再向右平移1格D．先向下平移2格，再向右平移2格11．已知方程組，則x﹣y值是()A．5 B．﹣1 C．0 D．112．已知關(guān)于x的不等式組-x≥ax-1≥-b的解集在數(shù)軸上表示如圖，則baA．﹣16 B．116 C．﹣8 D．二、填空題（每題4分，滿分20分，將答案填在答題紙上）13．已知是方程組的解，則__________.14．如圖，將一條兩邊沿互相平行的紙帶折疊，若，則__________．15．若ax＝4，ay＝7，則ax﹣y＝_____．16．如圖，的三條角平分線交于點(diǎn)O，O到AB的距離為3，且的周長(zhǎng)為18，則的面積為______．17．如圖，在中，，是的外角，的平分線交于點(diǎn)，若，，則_______.三、解答題（本大題共7小題，共64分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.）18．（5分）“六一”兒童節(jié)那天，小強(qiáng)去商店買東西，看見每盒餅干的標(biāo)價(jià)是整數(shù)，于是小強(qiáng)拿出10元錢遞給商店的阿姨，下面是他倆的對(duì)話：小強(qiáng)：“阿姨，我有10元錢，想買一盒餅干和一袋牛奶．”阿姨：“小朋友，本來(lái)你用10元錢買一盒餅干是有錢多的，但要再買一袋牛奶錢就不夠了．不過(guò)今天是兒童節(jié)，餅干打九折，兩樣?xùn)|西請(qǐng)你拿好，找你8角錢．”如果每盒餅干和每袋牛奶的標(biāo)價(jià)分別設(shè)為x元，y元，請(qǐng)你根據(jù)以上信息：（1）請(qǐng)你求出x與y之間的關(guān)系式；（用含x的式子表示y）（2）請(qǐng)你根據(jù)上述條件，求出每盒餅干和每袋牛奶的標(biāo)價(jià)．19．（5分）如圖，在中，已知，點(diǎn)、、分別在、、上，且，．（1）說(shuō)明的理由；（2）說(shuō)明的理由．20．（8分）如圖，點(diǎn)C、D是半圓弧上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中保持∠COD＝90°（1）如圖1，OE平分∠AOC，OF平分∠BOD，寫出∠EOF的度數(shù)；（2）如圖2，已知∠AOC的度數(shù)為x，OE平分∠AOD，OF平分∠BOC，①直接寫出∠AOD的度數(shù)，∠BOC的度數(shù)；②求出∠EOF的度數(shù)．21．（10分）一個(gè)長(zhǎng)方形養(yǎng)雞場(chǎng)的長(zhǎng)邊靠墻，墻長(zhǎng)米，其他三邊用籬笆圍城，現(xiàn)有長(zhǎng)為米的籬笆，爸爸的設(shè)計(jì)方案是長(zhǎng)比寬多米；媽媽的設(shè)計(jì)方案是長(zhǎng)比寬多米，你認(rèn)為誰(shuí)的設(shè)計(jì)合理，為什么？并說(shuō)出設(shè)計(jì)合理的養(yǎng)雞場(chǎng)面積.22．（10分）如圖，平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)在第一象限，軸于，軸于，，且四邊形的面積為48.（1）如圖1，直接寫出點(diǎn)A、B、O、C的坐標(biāo)：（2）如圖2，點(diǎn)從出發(fā)以每秒1個(gè)單位的速度沿軸正半軸運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)從B出發(fā)，以每秒2個(gè)單位的速度沿射線運(yùn)動(dòng)，交線段于，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為，當(dāng)時(shí)，求的取值范圍；（3）如圖3，將線段平移，使點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)恰好落在軸負(fù)半軸上，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，連交軸交于，當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)。23．（12分）某學(xué)習(xí)小組發(fā)現(xiàn)一個(gè)結(jié)論：已知直線a∥b，若直線c∥a，則c∥b，他們發(fā)現(xiàn)這個(gè)結(jié)論運(yùn)用很廣，請(qǐng)你利用這個(gè)結(jié)論解決以下問(wèn)題：已知直線AB∥CD，點(diǎn)E在AB、CD之間，點(diǎn)P、Q分別在直線AB、CD上，連接PE、EQ（1）如圖1，運(yùn)用上述結(jié)論，探究∠PEQ與∠APE＋∠CQE之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；（2）如圖2，PF平分∠BPE，QF平分∠EQD，當(dāng)∠PEQ＝140°時(shí)，求出∠PFQ的度數(shù)；（3）如圖3，若點(diǎn)E在CD的下方，PF平分∠BPE，QH平分∠EQD，QH的反向延長(zhǎng)線交PF于點(diǎn)F，當(dāng)∠PEQ＝70°時(shí)，請(qǐng)求出∠PFQ的度數(shù).

參考答案一、選擇題：本大題共12個(gè)小題，每小題3分，共36分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1、B【解析】

先把2x移項(xiàng)，用含x的代數(shù)式表示出y，然后用枚舉法即可確定出正整數(shù)解的組數(shù)．【詳解】解：由2x+y=6，可得：y=﹣2x+6，當(dāng)x=1時(shí)，y=4；當(dāng)x=2時(shí)，y=2，∴方程的正整數(shù)解有2組，故選B．點(diǎn)睛：此題考查了求二元一次方程的特殊解，解題的關(guān)鍵是將一個(gè)未知數(shù)看做已知數(shù)表示出另一個(gè)未知數(shù)，然后用枚舉法求解．2、D【解析】

先利用三角形內(nèi)角和定理求出，的度數(shù)，進(jìn)而求出的度數(shù)，然后利用角平分線的定義求出的度數(shù)，最后利用三角形內(nèi)角和定理即可得出的度數(shù)．【詳解】，．，，．∵是的平分線，是的平分線，，，．故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查三角形內(nèi)角和定理及角平分線的定義，掌握三角形內(nèi)角和定理是解題的關(guān)鍵．3、C【解析】

絕對(duì)值小于1的正數(shù)也可以利用科學(xué)記數(shù)法表示，一般形式為a×10-n，與較大數(shù)的科學(xué)記數(shù)法不同的是其所使用的是負(fù)指數(shù)冪，指數(shù)由原數(shù)左邊起第一個(gè)不為零的數(shù)字前面的0的個(gè)數(shù)所決定．【詳解】0.0000007=7×10?7.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查科學(xué)記數(shù)法—表示較小的數(shù)，解題的關(guān)鍵是掌握科學(xué)記數(shù)法—表示較小的數(shù).4、D【解析】

根據(jù)最高氣溫和最低氣溫確定當(dāng)天該市氣溫t（℃）的變化范圍即可．【詳解】∵某市的最高氣溫是32℃最低氣溫是24℃∴當(dāng)天該市氣溫t（℃）的變化范圍是24t32故答案為：D．【點(diǎn)睛】本題考查了氣溫的變化問(wèn)題，掌握最高氣溫和最低氣溫是解題的關(guān)鍵．5、C【解析】

根據(jù)普查得到的調(diào)查結(jié)果比較準(zhǔn)確，但所費(fèi)人力、物力和時(shí)間較多，而抽樣調(diào)查得到的調(diào)查結(jié)果比較近似判斷即可．【詳解】解：A、調(diào)查我國(guó)中學(xué)生的近視率調(diào)查范圍廣適合抽樣調(diào)查，故A不符合題意；B、調(diào)查某品牌電視機(jī)的使用壽命調(diào)查具有破壞性適合抽樣調(diào)查，故B不符合題意；C、調(diào)查我校每一位學(xué)生的體重適合普查，故C符合題意；D、調(diào)查長(zhǎng)江中現(xiàn)有魚的種類無(wú)法普查，故D不符合題意；故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了抽樣調(diào)查和全面調(diào)查的選擇，選擇普查還是抽樣調(diào)查要根據(jù)所要考查的對(duì)象的特征靈活選用，一般來(lái)說(shuō)，對(duì)于具有破壞性的調(diào)查、無(wú)法進(jìn)行普查、普查的意義或價(jià)值不大，應(yīng)選擇抽樣調(diào)查，對(duì)于精確度要求高的調(diào)查，事關(guān)重大的調(diào)查往往選用普查.6、B【解析】

根據(jù)x軸上點(diǎn)縱坐標(biāo)為零列方程求出m的值，然后求解即可．【詳解】解：∵點(diǎn)P（m＋3，m?1）在x軸上，∴m?1＝0，解得m＝1，所以，m＋3＝1＋3＝4，所以，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（4，0）．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了點(diǎn)的坐標(biāo)，熟記x軸上點(diǎn)縱坐標(biāo)為零是解題的關(guān)鍵．7、C【解析】

直接利用隨機(jī)事件、必然事件、不可能事件分別分析得出答案．【詳解】A、一個(gè)圖形平移后所得的圖形與原來(lái)的圖形不全等，是不可能事件，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、不等式的兩邊同時(shí)乘以一個(gè)數(shù)，結(jié)果仍是不等式，是隨機(jī)事件，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、200件產(chǎn)品中有5件次品，從中任意抽取6件，至少有一件是正品，是必然事件，故此選項(xiàng)正確；D、隨意翻到一本書的某頁(yè)，這頁(yè)的頁(yè)碼一定是偶數(shù)，是隨機(jī)事件，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選C．【點(diǎn)睛】此題主要考查了隨機(jī)事件、必然事件、不可能事件，正確把握相關(guān)定義是解題關(guān)鍵．8、B【解析】試題分析：根據(jù)平行線的判定定理分別進(jìn)行分析即可．解：A、∠1和∠2互補(bǔ)時(shí)，可得到AB∥CD，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、∠1=∠2，可得∠1=∠2的對(duì)頂角，根據(jù)同位角相等兩直線平行可得AB∥CD，故此選項(xiàng)正確；C、∠1=∠2，根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角相等兩直線平行可得AD∥CB，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；D、∠1=∠2不能判定AB∥CD，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選：B．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了平行線的判定，關(guān)鍵是掌握平行線的判定定理．9、C【解析】試題分析：根據(jù)單項(xiàng)式的乘法、同底數(shù)冪的乘法和除法、冪的乘方等知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行判斷．試題解析：A、3x2?4x2=12x4，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、x3?x5=x8，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、正確；D、（x5）2=x10，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤．故選C．考點(diǎn)：1．同底數(shù)冪的除法；2．同底數(shù)冪的乘法；3．冪的乘方與積的乘方；4．單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式．10、A【解析】

解：根據(jù)圖形平移的方法，觀察圖形可知：平移是先向下平移3格，再向右平移2格．故選A11、D【解析】

兩方程相減即可求出結(jié)果．【詳解】解：①﹣②得：，故選：D．【點(diǎn)睛】此題考查二元一次方程組，注意靈活運(yùn)用，不一定非要解方程組．12、B【解析】

求出x的取值范圍，再求出a、b的值，即可求出答案.【詳解】由不等式組-x≥ax-1≥-b解得x≤-ax≥1-b故原不等式組的解集為1-b≤x≤-a，由圖形可知-3≤x≤2，故1-b=-3-a=2解得a=-2b=4，則ba=1故答案選B．【點(diǎn)睛】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是在數(shù)軸上表示不等式的解集，解題的關(guān)鍵是熟練的掌握在數(shù)軸上表示不等式的解集.二、填空題（每題4分，滿分20分，將答案填在答題紙上）13、【解析】

所謂“方程組”的解，指的是該數(shù)值滿足方程組中的每一方程．在求解時(shí)，可以將方程組的解代入方程組得到m和n的關(guān)系式，然后求出m，n的值即可解答.【詳解】解：依題意得：，解得：，∴m-n=1-4=-3，故答案為：-3.【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程組的解及其解法，解答此題的關(guān)鍵是把x，y的值代入方程組，得到關(guān)于m，n的方程組，再求解即可．14、【解析】

如圖，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠1=∠2，根據(jù)折疊的性質(zhì)可得∠3=∠2+，再利用平角等于180°得到關(guān)于的方程，然后求解即可.【詳解】解：∵紙片兩邊平行，∴∠1=∠2=44°，由于折疊，∴∠3=∠2+，∴∠2+2=180°，∴=68°.故答案為：68°.【點(diǎn)睛】本題主要考查平行線的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，解此題的關(guān)鍵在于熟練掌握其知識(shí)點(diǎn).15、【解析】

直接利用同底數(shù)冪的除法運(yùn)算法則計(jì)算得出答案．【詳解】解：∵ax＝4，ay＝7，∴ax﹣y＝ax÷ay＝．故答案為：．【點(diǎn)睛】此題主要考查了同底數(shù)冪的乘除運(yùn)算，正確掌握相關(guān)運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．16、27【解析】

作OD⊥AB，OE⊥AC，OF⊥BC，垂足分別為D、E、F，將△ABC的面積分為：S△ABC=S△OBC+S△OAC+S△OAB，而三個(gè)小三角形的高OD=OE=OF，它們的底邊和就是△ABC的周長(zhǎng)，可計(jì)算△ABC的面積．【詳解】如圖，作OD⊥AB，OE⊥AC，OF⊥BC，垂足分別為D、E、F，∵OB，OC分別平分∠ABC和∠ACB，∴OD=OE=OF=3，∴S△ABC=S△OBC+S△OAC+S△OAB=AB?OD+AC?OE+BC?OF=OD（AB+BC+AC）=×3×18=27，故答案為27.【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)，三角形的面積；利用三角形的三條角平分線交于一點(diǎn)，將三角形面積分為三個(gè)小三角形面積求和，發(fā)現(xiàn)并利用三個(gè)小三角形等高是正確解答本題的關(guān)鍵．17、70°.【解析】

先求∠1、∠2的鄰補(bǔ)角的度數(shù)，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和可求得∠DAC的度數(shù)，亦即∠BAD的度數(shù)，再用三角形的內(nèi)角和可求得∠B的度數(shù)，最后根據(jù)兩直線平行，同位角相等即得結(jié)果.【詳解】解：∵，∴∠ACB=30°，∴∠DAC=180°－∠2－∠ACG=180°－110°－30°=40°，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠DAC=40°，∵，∴∠ADB=70°，在△ABD中，∠B=180°－∠BAD－∠ADB=180°―70°―40°=70°，∵EF∥BC，∴∠3=∠B=70°.故答案為70°.【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的內(nèi)角和、角平分線和三角形外角的概念以及平行線的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題型，熟練掌握三角形的內(nèi)角和和平行線的性質(zhì)是求解的關(guān)鍵.三、解答題（本大題共7小題，共64分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.）18、（1）；（2）餅干一盒標(biāo)價(jià)9元，一袋牛奶標(biāo)價(jià)1.1元．【解析】分析：(1)本題的數(shù)量關(guān)系是:一盒餅干的錢×0.9+一盒牛奶的錢=10元-8角；(2)根據(jù)阿姨說(shuō)的話我們可知:一盒餅干的錢<10元,一盒餅干的錢+一盒牛奶的錢>10元,以此來(lái)列出不等式組,然后將(1)中得出的關(guān)系式代入其中,求出未知數(shù)的值.詳解：（1）∵，∴（2）設(shè)餅干的標(biāo)價(jià)每盒x元，牛奶的標(biāo)價(jià)為每袋y元，則把②代入①，得x+9.2－0.9x＞10,∴x＞8由③得8＜x＜10,∵x是整數(shù),∴x=9將x=9代入②，得y=9.2－0.9×9=1.1答：餅干一盒標(biāo)價(jià)9元，一袋牛奶標(biāo)價(jià)1.1元．點(diǎn)睛：本題考查一元一次不等式組的應(yīng)用,將現(xiàn)實(shí)生活中的事件與數(shù)學(xué)思想聯(lián)系起來(lái),根據(jù)10元錢買一盒餅干有剩余,但再買一袋牛奶不夠列出不等式是關(guān)鍵.根據(jù)條件進(jìn)行消元,把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一個(gè)未知數(shù)的問(wèn)題是基本的解決思路.19、（1）詳見解析；（2）詳見解析【解析】

（1）由“SAS”可證△BDF≌△CED；

（2）由全等三角形的性質(zhì)可得∠EDC=∠BFD，由三角形外角的性質(zhì)可得∠FDE=∠B．【詳解】（1）∵在中，已知（已知），∴（等邊對(duì)等角）．在與中，∵∴．（2）∵（已證），∴（全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等）．∵是的外角，∴（三角形的外角等于與它不相鄰的內(nèi)角和）．又∵，∴（等式性質(zhì)）．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，外角的性質(zhì)，熟練運(yùn)用全等三角形的判定和性質(zhì)是本題的關(guān)鍵．20、（1）135°；（2）①90°+x；180°﹣x；②∠EOF＝45°．【解析】

（1）根據(jù)角平分線的定義求出∠COE+∠DOF，結(jié)合圖形計(jì)算；

（2）①結(jié)合圖形計(jì)算；

②根據(jù)角平分線的定義，結(jié)合圖形計(jì)算．【詳解】解：（1）∵∠COD＝90°，∴∠COA+∠DOB＝90°，∵OE平分∠AOC，OF平分∠BOD，∴∠COE＝∠COA，∠DOF＝∠DOB，∴∠COE+∠DOF＝（∠COA+∠DOB）＝45°，∴∠EOF＝45°+90°＝135°，故答案為135°；（2）①∠AOD＝∠AOC+∠COD＝90°+x，∠BOC＝180°﹣x，故答案為90°+x；180°﹣x；②∵OE平分∠AOD，OF平分∠BOC，∴∠AOE＝∠AOD＝45°+x，∠BOF＝∠BOC＝90°﹣x，∵∠EOF＝180°﹣∠AOE﹣∠BOF，∴∠EOF＝45°．【點(diǎn)睛】本題考查角平分線的定義、角的計(jì)算，從一個(gè)角的頂點(diǎn)出發(fā)，把這個(gè)角分成相等的兩個(gè)角的射線叫做這個(gè)角的平分線．21、媽媽的設(shè)計(jì)方案合理，143平方米【解析】

設(shè)籬笆的長(zhǎng)為米，寬為米，分別根據(jù)各自方案中長(zhǎng)寬的關(guān)系及籬笆總長(zhǎng)，列出二元一次方程組，再根據(jù)墻長(zhǎng)米判定設(shè)計(jì)是否合理.【詳解】解:媽媽的設(shè)計(jì)方案合理.理由如下:設(shè)籬笆的長(zhǎng)為米,寬為米①按爸爸的設(shè)計(jì)方案,則有，解得，米米,不合理②按媽媽的設(shè)計(jì)方案，則有，解得，米米，合理此時(shí)養(yǎng)雞場(chǎng)的面積為(平方米)．【點(diǎn)睛】此題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系列出二元一方程租是解題關(guān)鍵.22、（1）（8，6）；（2）；（3），或.【解析】

（1）根據(jù)四邊形的面積為48推出四邊形的長(zhǎng)和寬，即可得出點(diǎn)的坐標(biāo).（2）過(guò)點(diǎn)作于，根據(jù)大小關(guān)系推出t的取值范圍.（3）設(shè)，由平移可得，過(guò)點(diǎn)作軸，由面積公式推出N的值即可.【詳解】(1)四邊形的面積為48，四邊形的長(zhǎng)為8，寬為6即它們的坐標(biāo)分別為:A(8,6)、B(8,0)、O(0,6)、C(0,6)（2）過(guò)點(diǎn)作于，則，即，解得，所以，（3）設(shè)，由平移可得，過(guò)點(diǎn)作軸，由，求得即.解得：，或.【點(diǎn)睛】本題考查象限及坐標(biāo)點(diǎn)的位置，熟練掌握象限的性質(zhì)和計(jì)算法則是解題關(guān)鍵.23、(1)∠PEQ＝∠APE＋∠CQE，理由見解析；(2)∠PFQ＝110°；(3)∠PFQ＝145°.【解析】

(1)過(guò)E點(diǎn)作EH∥AB,再利用平行線性質(zhì)，兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等，可得到∠PEQ＝∠APE＋∠CQE.(2)過(guò)點(diǎn)E作EM∥AB，利用