專題20 數(shù)列遞推公式與通項(xiàng)公式（原卷版）

專題20數(shù)列遞推公式與通項(xiàng)公式目錄TOC\o"1-1"\h\u【題型一】累加法 1【題型二】累積法 2【題型三】周期數(shù)列 3【題型四】Sn型 3【題型五】觀察猜想歸納型 4【題型六】二階等比數(shù)列 5【題型七】分式倒數(shù)等差型 6【題型八】高次取對(duì)數(shù)型 7【題型九】二階等差等比函數(shù)型 7【題型十】因式分解型 8【題型十一】復(fù)合數(shù)列型 8【題型十二】二階“和”型數(shù)列 9【題型十三】綜合構(gòu)造型 9培優(yōu)第一階——基礎(chǔ)過關(guān)練 10培優(yōu)第二階——能力提升練 11培優(yōu)第三階——培優(yōu)拔尖練 12【題型一】累加法【典例分析】已知數(shù)列{}滿足，，，則數(shù)列{}的第2022項(xiàng)為（

）A． B．C． D．【提分秘籍】基本規(guī)律累加法：形如an＝an－1＋f(n)或an－an－1＝f(n)，用累加法求an【變式訓(xùn)練】1.在數(shù)列中，，，則（）A． B． C． D．2.、在數(shù)列中，，，則該數(shù)列的通項(xiàng)公式________；數(shù)列中最小的項(xiàng)的值為________．3.已知數(shù)列滿足，則___________.【題型二】累積法【典例分析】已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為___________.【提分秘籍】基本規(guī)律)累乘法：形如an＝an－1·f(n)或eq\f(an,an－1)＝f(n)，用累加法求an【變式訓(xùn)練】1.已知數(shù)列滿足，則__________．2.已知數(shù)列滿足，且，則____．3.已知數(shù)列滿足，，則數(shù)列的通項(xiàng)公式是（

）A． B．C． D．【題型三】周期數(shù)列【典例分析】在數(shù)列中，，則的值為A．-2 B． C． D．【提分秘籍】基本規(guī)律周期數(shù)列1.若數(shù)列{an}滿足2.若數(shù)列{an}滿足3.若數(shù)列{an}滿足4.若數(shù)列{an}滿足5.若數(shù)列{an}滿足6.【變式訓(xùn)練】1..已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，，則______．2.若數(shù)列滿足，，（且），則等于（）A． B．2 C．3 D．3.已知數(shù)列滿足，，則（）A． B． C． D．2【題型四】Sn型【典例分析】已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則通項(xiàng)公式為_________．【提分秘籍】基本規(guī)律通項(xiàng)an與前n項(xiàng)和Sn的關(guān)系：an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(S1，n＝1，,Sn－Sn－1，n≥2.))【變式訓(xùn)練】1.已知Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，且log2(Sn＋1)＝n＋1，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為()A．a(chǎn)n＝2n B．a(chǎn)n＝C．a(chǎn)n＝2n－1 D．a(chǎn)n＝2n＋12.已知數(shù)列的前n項(xiàng)和，則的通項(xiàng)公式為A． B． C． D．3.已知為數(shù)列的前n項(xiàng)和，且，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為（

）A． B． C． D．【題型五】觀察猜想歸納型【典例分析】根據(jù)下面的圖形及相應(yīng)的點(diǎn)數(shù)，寫出點(diǎn)數(shù)構(gòu)成的數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式，并在橫線上和括號(hào)中分別填上第5項(xiàng)的圖形和點(diǎn)數(shù).（1）

__________

1

6

11

16

()（2）

__________

1

4

7

10

()（3）

__________

3

8

15

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()【提分秘籍】基本規(guī)律先通過計(jì)算數(shù)列的前幾項(xiàng)，再觀察數(shù)列中的項(xiàng)與系數(shù)，根據(jù)與項(xiàng)數(shù)的關(guān)系，猜想數(shù)列的通項(xiàng)公式，最后再證明.一般這類題，選擇題很少，因?yàn)榭梢源厥庵登蠼??！咀兪接?xùn)練】1.數(shù)列3，8，15，24，35，…的一個(gè)通項(xiàng)公式等于（

）A． B． C． D．2.根據(jù)下面的圖形及相應(yīng)的點(diǎn)數(shù)，寫出點(diǎn)數(shù)構(gòu)成的數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式__________．3.數(shù)列0.3，0.33，0.333，0.3333，…的一個(gè)通項(xiàng)公式是（

）A． B．C． D．【題型六】二階等比數(shù)列【典例分析】已知數(shù)列滿足，，則通項(xiàng)公式_______.【提分秘籍】基本規(guī)律構(gòu)造法：根據(jù)已知構(gòu)造等差等比數(shù)列求通項(xiàng).形容為常數(shù)）,構(gòu)造等比數(shù)列。特殊情況下，當(dāng)q為2時(shí)，=p，，變形為，也可以變形為.【變式訓(xùn)練】1.已知數(shù)列中，且，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為A． B． C． D．2.在數(shù)列{an}中，a1＝2，an＋1＝－2an＋3，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an等于()A．(－2)n－1＋1 B．2n－1＋1C．(－2)n－1 D．(－2)n＋1－13.已知數(shù)列中，若，則該數(shù)列的通項(xiàng)公式A． B． C． D．【題型七】分式倒數(shù)等差型【典例分析】已知數(shù)列中，，則可歸納猜想的通項(xiàng)公式為A． B． C． D．【提分秘籍】基本規(guī)律，取倒數(shù)變形為；【變式訓(xùn)練】1.已知數(shù)列滿足：，（N+），由、、歸納出數(shù)列的通項(xiàng)公式是__________.2.已知在數(shù)列中，，，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為______.3.若數(shù)列滿足，，則數(shù)列的通項(xiàng)公式______．【題型八】高次取對(duì)數(shù)型【典例分析】數(shù)列中，若，()，則數(shù)列的通項(xiàng)公式_____.【提分秘籍】基本規(guī)律形如，可以通過取對(duì)數(shù)構(gòu)造等比數(shù)列求通項(xiàng)公式【變式訓(xùn)練】1.數(shù)列中，若，，則的通項(xiàng)公式為________.2.已知數(shù)列，，，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為______.3.設(shè)正項(xiàng)數(shù)列滿足，，則數(shù)列的通項(xiàng)公式是______．【題型九】二階等差等比函數(shù)型【典例分析】在數(shù)列中，，，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為______．【提分秘籍】基本規(guī)律形如，可以構(gòu)造等比數(shù)列求通項(xiàng)。通過配湊構(gòu)造等比，如果配湊不容易觀察，可以待定系數(shù)來構(gòu)造形如，可以構(gòu)造等比數(shù)列求通項(xiàng)。通過配湊構(gòu)造等比，如果配湊不容易觀察，可以待定系數(shù)來構(gòu)造【變式訓(xùn)練】1.已知，，則的通項(xiàng)公式為________2.已知數(shù)列中，，，求數(shù)列的通項(xiàng)公式___________3.在正項(xiàng)數(shù)列中，，，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為________．【題型十】因式分解型【典例分析】設(shè)數(shù)列是首項(xiàng)為1的正項(xiàng)數(shù)列，且，則它的通項(xiàng)公式______.【提分秘籍】基本規(guī)律涉及到二階數(shù)列含有二次型一次型時(shí)，可以觀察是否能因式分解達(dá)到構(gòu)造的目的【變式訓(xùn)練】1.設(shè)是首項(xiàng)為1的正項(xiàng)數(shù)列且，且，求數(shù)列的通項(xiàng)公式_________2.設(shè)是首項(xiàng)為1的正項(xiàng)數(shù)列，且，求通項(xiàng)公式=___________【題型十一】復(fù)合數(shù)列型【典例分析】已知數(shù)列中，，且，數(shù)列滿足，則的通項(xiàng)公式是_____.【提分秘籍】基本規(guī)律復(fù)合型構(gòu)造法有兩種方法：1.形如為常數(shù)）,構(gòu)造等比數(shù)列。特殊情況下，當(dāng)q為2時(shí)，=p，2.形如，變形為，新數(shù)列累加法即可【變式訓(xùn)練】1.已知數(shù)列滿足，，若，則數(shù)列的通項(xiàng)公式是______.2.已知數(shù)列an,bn滿足a1=1，求出數(shù)列an3.已知數(shù)列滿足，，.求數(shù)列的前項(xiàng)和.【題型十二】二階“和”型數(shù)列【典例分析】已知數(shù)列滿足：，且，則數(shù)列的通項(xiàng)公式______．【提分秘籍】基本規(guī)律對(duì)于相鄰兩項(xiàng)和的類型，需要對(duì)其分奇偶討論.【變式訓(xùn)練】已知數(shù)列滿足，，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為______．【題型十三】綜合構(gòu)造型【典例分析】已知數(shù)列滿足，且，則的通項(xiàng)公式_______________________.【變式訓(xùn)練】1.已知數(shù)列滿足，，且=+-（n≥2），則數(shù)列的通項(xiàng)公式為_____________.2.已知數(shù)列滿足，，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為______.3.已知數(shù)列{an}滿足（n∈N*），且a2=6，則{an}的通項(xiàng)公式為_____.分階培優(yōu)練分階培優(yōu)練培優(yōu)第一階——基礎(chǔ)過關(guān)練1．如圖，在楊輝三角形中，斜線的上方，從1開始箭頭所示的數(shù)組成一個(gè)鋸齒形數(shù)列：1，3，3，4，6，5，10，…，記其前項(xiàng)和為，則（

）A．361 B．374 C．385 D．3952．若數(shù)列滿足，則稱為“夢(mèng)想數(shù)列”，已知正項(xiàng)數(shù)列為“夢(mèng)想數(shù)列”，且，則（

）A．=2 B．=2C．=2+1 D．=2+13．已知數(shù)列的首項(xiàng)，若向量，向量，且滿足，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為（

）A． B．C． D．4．已知等比數(shù)列滿足，則A．1 B．2 C． D．5．?dāng)?shù)列2，22，222，2222，的一個(gè)通項(xiàng)公式an是（）A． B． C． D．6．已知{an}是等差數(shù)列，滿足：對(duì)?n∈N*，an+an+1＝2n，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an＝（）A．n B．n﹣1 C．n﹣ D．n+7．設(shè)數(shù)列滿足，（），若數(shù)列是常數(shù)列，則(

)A．-2 B．-1 C．0 D．8．在數(shù)列中，，，則的值為A． B．5 C． D．9．在數(shù)列中，若，，則（

）A． B．C． D．10．已知數(shù)列滿足，其中，則數(shù)列（

）A．有最大項(xiàng)，有最小項(xiàng) B．有最大項(xiàng)，無最小項(xiàng)C．無最大項(xiàng)，有最小項(xiàng) D．無最大項(xiàng)，無最小項(xiàng)培優(yōu)第二階——能力提升練1．已知數(shù)列滿足，且，則的最小值是（

）A．-15 B．-14 C．-11 D．-62．若數(shù)列和滿足，，，，則（

）A． B． C． D．3．已知為數(shù)列的前n項(xiàng)積，若，則數(shù)列的通項(xiàng)公式（

）A． B． C． D．4．已知數(shù)列{}滿足（n∈N*），則=（

）A． B． C． D．5．已知數(shù)列滿足，（），（），則數(shù)列第2022項(xiàng)為（

）A． B． C． D．6．已知數(shù)列滿足：①先單調(diào)遞減后單調(diào)遞增：②當(dāng)時(shí)取得最小值．寫出一個(gè)滿足條件的數(shù)列的通項(xiàng)公式_________．7．記數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，（為正整數(shù)），則數(shù)列的通項(xiàng)公式為________．8．已知等差數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，其前n項(xiàng)和滿足，則其通項(xiàng)______．9．已知首項(xiàng)為1的數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為___________.10．已知數(shù)列的首項(xiàng)為1，前n項(xiàng)和為，且，則數(shù)列的通項(xiàng)公式___________.培優(yōu)第三階——培優(yōu)拔尖練1．設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且滿足①恒成立，②，③是一個(gè)遞減數(shù)列，寫出一個(gè)滿足以上條件的數(shù)列：___________.2．在數(shù)列中，，，且滿足，則___________.3．設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，對(duì)任意，