全國中學(xué)生數(shù)學(xué)競賽二試模擬訓(xùn)練題

加試模擬訓(xùn)練題加試模擬訓(xùn)練題與圓O交于兩點(diǎn)CD，且滿足CABD，若CABDF，CDAB交于點(diǎn)G與GXHXFGH（05）2.設(shè)abc是正實(shí)數(shù),且滿足abc1證明a11b11c11bca bca 3A是一個有n個元素的集合，A的mA1A2,Ammmn（1）mmn

C|Ai|m2ni1C|Ain

其中|A|AC|Ai|表示n個不同元素取|

4．設(shè)a,bc是直角三角形的三邊長。如果a,bcabc30證明：不妨設(shè)c是直角三角形的斜邊長，則c2a2b2。證明XDGCCFD90FXGFGFX，有GFDDFX。設(shè)GFXBFHGHXHH在GXHHXFGH2.設(shè)abc是正實(shí)數(shù),且滿足abc1證明a11b11c11 (第41屆國際數(shù) 試題bca bca 3分析與證明:令x3a,y3b,z .易知xyz1.3a11b

311=y

3 xyzyxyz

x(x2yy2zz2x)同理有其它兩式,再令ux2yvy2zwz2x則原不等式等價于齊次不等式(uvw)(vwu)(wuv)uvwuvwvwu因?yàn)?uvw)(vwu)

v 同理有(vwu)(wuv)w2 (wuv)(vuw)u2故[(uvw)(vwu)(wuv)]2（uvw)2從而原不等式成立3A是一個有n個元素的集合，A的mA1A2,Am（1）mm

1;（2）C|Ai|m2mni1C|Aimnn其中|n

|AC|Ai|表示n個不同元素取|

nn 知（式等價于|Ai|!(n|Ai|)! ①于A的子集Ai{x1,x2,,x|A|},我們?nèi)⊙a(bǔ)集Ai{y1,y2,,yn|A|},并取Ai的元 Ai元素在后，作排列x1,x2,,x|A|，y1,y2,,yn|A| 這樣的排列共有|Ai|n|Ai|)!個顯然,②中每一個排列,A中的一個排列,jiAjAiA1A2,AmA中排列的總數(shù)n中對應(yīng)的某一排列x,x,, ，y,y,,

|Aj n|Aj與 ji中對應(yīng)的某一排列②相 現(xiàn)的元素及元素位置都相同則當(dāng)|Aj||Ai時，AjAi；當(dāng)|Aj||Ai|時，AjAi，這都與A1,A2,,Am兩兩互不包含，A1A2,AmA中n個元素的全排列有n得n|n

|!(n|

|)!

n |An

i1Cn （2）由上證及柯西不等式，有C|A|(C|A

1)1)2m2ini

ni

CnC

i[nZ為nA1A2,AmZ的子集，互不包含，則m的最大值為Cn24．設(shè)a,bc是直角三角形的三邊長。如果a,bcabc30證明：不妨設(shè)c是直角三角形的斜邊長，則c2a2b22a

b

c，則c2a2b2110(mod2)，又因?yàn)閏21(mod2)2|若 a b c，因?yàn)?3k1)21(mod3)，則a2b2112(mod3)，c21(mod3)，！從而3|若