44A 知識(shí)講解橢圓的性質(zhì)

橢圓的性質(zhì)【學(xué)習(xí)目標(biāo)】...【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、橢圓的簡單幾何性質(zhì)x我們根據(jù)橢圓a

yb2

1(ab0)來研究橢圓的簡單幾何性質(zhì)橢圓的范圍橢圓上所有的點(diǎn)都位于直線x=±a和y=±b所圍成的矩形內(nèi)，所以橢圓上點(diǎn)的坐標(biāo)滿足|x|≤a，|y|≤b.橢圓的對(duì)稱性x2 y2對(duì)于橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程a2 b2

1，把x換成―x，或把y換成―y，或把xyx2 y2不變，所以橢圓a2 b2

1x軸、y軸為對(duì)稱軸的軸對(duì)稱圖形，且是以原點(diǎn)為對(duì)稱中心的中心對(duì)稱圖形，這個(gè)對(duì)稱中心稱為橢圓的中心。橢圓的頂點(diǎn)①橢圓的對(duì)稱軸與橢圓的交點(diǎn)稱為橢圓的頂點(diǎn)。x2 y2②橢圓a2 b2

1（a＞b＞0）與坐標(biāo)軸的四個(gè)交點(diǎn)即為橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)，坐標(biāo)分別為A

1（―，0，12 1 A（，0B（0―b，B0，2 1 AA，B

A|=2a，|BB|=2b。ab分別叫做橢圓的長半軸1 2 1 2長和短半軸長。

1 2 1 2橢圓的離心率①橢圓的焦距與長軸長度的比叫做橢圓的離心率，用e表示，記作e

2cc。2a a②因?yàn)閍＞c＞0，所以e的取值范圍是0＜e＜1e越接近1，則c就越接近a，從而b a2c2越小因此橢圓越扁；反之越接近于0，c就越接近0，從而b越接近于a，這時(shí)橢圓就越接近于圓。當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，c=0，這時(shí)兩個(gè)焦點(diǎn)重合，圖形變?yōu)閳A，方程為x2+y2=a2。要點(diǎn)詮釋：x2ya2 b2

1的圖象中線段的幾何特征（如下圖：|PF| |PF|

2a2

2a， 1

2 e，|

||PM | ；1 2 |PM1

| |PM 2

1 2 cBF1

BF2

a，OF1

OF2

c，A2

BAB1

a2b2；A

AF

ac,A

AF

ac，ac

ac；11 2 2 1 2 21 1要點(diǎn)二、橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程中的三個(gè)量a、b、c的幾何意義bc三個(gè)量的大小與坐標(biāo)系無關(guān)，是由橢圓本身的形狀大小所確定的，分別表示，且a2=b2+c2?？山柚聢D幫助記憶：a、b、c恰構(gòu)成一個(gè)直角三角形的三條邊，其中a是斜邊，b、c為兩條直角邊。abc有關(guān)的橢圓問題常與與焦點(diǎn)三角形PF

有關(guān)，這樣的問題考慮到用橢圓的定義及余弦定理（或勾股定理

PFF

112PFPF121

2sinFPF相結(jié)合的方法進(jìn)行計(jì)算與解題，將有112

、PF

、F

F

(F

F

)

、PF

PF1之間的關(guān)系.

2 1 2

1 2 1

1 2 1 2 1 2標(biāo)準(zhǔn)方程標(biāo)準(zhǔn)方程a2 b2x2 y21(ab0)b2 a2x2 y21(ab0)圖形焦點(diǎn)F(c,0)，F(xiàn)(c,0)12F(0,c)，F(xiàn)(0,c)1 2焦距|FF2c(c a2b2)1 2|FF2c(c a2b2)1 2范圍|xa，|yb|xb，|ya性對(duì)稱性關(guān)于x軸、y軸和原點(diǎn)對(duì)稱質(zhì)頂點(diǎn)(a,0)，(0,b)(0,a)，(b,0)軸2a離心c率e (0e1)ax2要點(diǎn)詮釋：橢圓a2

y2b2

1，y2a2

x2b2

1（a＞b＞0）的相同點(diǎn)為形狀、大小都相同，參數(shù)間的關(guān)系都有a＞b＞0和ec(0e1)，a2=b2+c2；不同點(diǎn)為兩種橢圓的位置不同，它們的焦點(diǎn)坐標(biāo)也不相同；a橢圓的焦點(diǎn)總在長軸上，因此已知標(biāo)準(zhǔn)方程，判斷焦點(diǎn)位置的方法是：看x2、y2的分母的大小，哪個(gè)分母大，焦點(diǎn)就在哪個(gè)坐標(biāo)軸上。要點(diǎn)四、直線與橢圓的位置關(guān)系平面內(nèi)點(diǎn)與橢圓的位置關(guān)系一點(diǎn)x,，x2 y2若點(diǎn)M（x,y）在橢圓上，則有a2 b2

1(ab0)；x2 y2若點(diǎn)M（x,y）在橢圓內(nèi)，則有a2 b2x2 y2若點(diǎn)M（x,y）在橢圓外，則有a2 b2

1(ab0)；1(ab0).直線與橢圓的位置關(guān)系x2將直線的方程ykxb與橢圓的方程a2

y2b2

1(ab0)聯(lián)立成方程組，消元轉(zhuǎn)化為關(guān)于x或y的一元二次方程，其判別式為Δ.①0直線和橢圓相交或兩個(gè)公共點(diǎn)；②Δ＝0直線和橢圓相切直線和橢圓有一個(gè)切點(diǎn)(或一個(gè)公共點(diǎn))；③Δ＜0直線和橢圓相離直線和橢圓無公共點(diǎn)．直線與橢圓的相交弦x2 y2設(shè)直線ykxb交橢圓 1(ab0)于點(diǎn)P(x,

) ,P(x,

),兩點(diǎn)，則a2 b2

1 1 1

2 2 2(xx)(xx)2(yy)21 2 1 212(xx)[1(2y(xx)[1(2yy1 2)]21 2xx1 21k21 2同理可得|PP|12

|yy111k2

|(k0)這里|xx1 2

|,|yy1

|,的求法通常使用韋達(dá)定理，需作以下變形：(xx)24(xx)24xx1 2 121 2(yy)2(yy)24yy1 2 121 2【典型例題】類型一：橢圓的簡單幾何性質(zhì)例1.求橢圓x2y21的長軸長、短軸長、離心率、焦點(diǎn)和頂點(diǎn)坐標(biāo)，并用描點(diǎn)法畫出這個(gè)橢圓.25 9x2 y2【解析】根據(jù)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

1，得25 9259a5,b3,c 259因此，長軸長2a10，短軸長6∴離心率ec4a5焦點(diǎn)為F1（―4，0）和F2（，，頂點(diǎn)為A1（―，A（0B1，―3B2（，3。3 3

252（―5≤x，根據(jù)y5

252（－5≤x5可求出橢圓的兩個(gè)頂點(diǎn)及其在第一象限內(nèi)一些點(diǎn)的坐標(biāo)，，列表如下：x012345y32.942.752.41.80先描點(diǎn)畫出第一象限的圖形，再利用橢圓的對(duì)稱性畫出整個(gè)橢圓（如圖2-2-?！究偨Y(jié)升華】由已知方程可確定橢圓在四條直線x=5y=3對(duì)稱軸，原點(diǎn)為對(duì)稱中心，所以只需畫出橢圓在第一象限的圖形，就可畫出橢圓。舉一反三：1

x2 y2 1上一點(diǎn)P到橢圓一個(gè)焦點(diǎn)的距離為3，則P到另一個(gè)焦點(diǎn)的距= .2516【答案】7【高清課堂：橢圓的性質(zhì)例1】【變式2】求橢圓16x2+25y2=400的長軸和短軸的長、離心率、焦點(diǎn)和頂點(diǎn)的坐標(biāo).2a8，離心率個(gè)頂點(diǎn)是A(0,4),B(0,4)1 2 1 2

3，焦點(diǎn)F3,0)F5 1

(3,0)，橢圓的四2.是一個(gè)頂點(diǎn)，若橢圓的長軸長是6，且cos

2，求橢圓的方程。3

2，所以點(diǎn)A不是長軸的頂點(diǎn)，是短軸的頂點(diǎn)，所以|OF|=c，3c2OAOA2 OF2b2 c2所以c=2，b2=32－22=5，x2 y2故橢圓的方程為

a3， ，331或x2 y2 1。9 5 5 9【總結(jié)升華】靈活運(yùn)用橢圓的幾何性質(zhì)：①a2=b2+c2；②長軸長2a，短軸長2b，進(jìn)行求參數(shù)的值或求橢圓的方程.2舉一反三：2121】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C的中心為原點(diǎn)，焦點(diǎn)F,12

在x軸上，離心率為2 ．過F的直線lC于A，B兩點(diǎn)，且

的周長為16，那么C的方程 1 2x2y21【答案】16 8 。3【變式2】長軸長等于20，離心率等于5，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程?！敬鸢浮?/p>

x2 y21或y2x21100 64 100 64類型二：求橢圓的離心率或離心率的取值范圍2例3.（1）已知橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)將長軸分成長為3∶2

的兩段，求其離心率；（2）已知橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)到長軸兩端點(diǎn)的距離分別為10和4，求其離心率?！窘馕觥浚?）由題意得(ac) 2，32即1e ，32即1e解得e5

6。6ac10 （2）由題意得 a c 4a7 c 3解得c 3

，故離心率e 。a 7【總結(jié)升華】橢圓的離心率是橢圓幾何性質(zhì)的一個(gè)重要參數(shù)，求橢圓離心率的關(guān)鍵是由條件尋求a、c滿足的關(guān)系式。舉一反三：【變式1】橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)與兩焦點(diǎn)構(gòu)成等邊三角形，則此橢圓的離心率是（ ）3A.1 35 133 23【答案】Dx2 y2【變式2】橢圓a2 b2

1上一點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離分別為d、d1 2

，焦距為2c，若d、d1 2

成等差數(shù)列，則橢圓的離心率為＿＿＿＿＿1【答案】2例4.（2015 江西二模橢圓x2a2

y 1(ab0)的兩頂點(diǎn)為2b22

),且左焦點(diǎn)為F，F(xiàn)AB1 5511 3是以角1 5511 3331

4【答案】C【思路點(diǎn)撥】先求出F的坐標(biāo)，然后求出直線AB和BF的斜率，由兩直線垂直可知兩斜率相乘得-1，進(jìn)而求得a和c的關(guān)系式，進(jìn)而求得e.【解析】依題意可知點(diǎn)F（-c,0）,b0直線AB斜率為

b

BF

0b b0a a c0 cQFBA900，(b)b

b2

a2c2

1a c ac acc c整理得c2aca2

0,即( )2a

10,即e2e10a51解得51Q0e

或e551e

152 ，故選C5【總結(jié)升華】本題利用了橢圓的性質(zhì)、兩直線垂直斜率之積等于-1等知識(shí)。要特別注意的是橢圓的離心率小于1.舉一反三：正六邊形，則這個(gè)橢圓的離心率等于＿＿＿＿。3【答案】 13x2

y21(ab0)，F(xiàn)，F(xiàn)

是兩個(gè)焦點(diǎn)，若橢圓上存在一點(diǎn)P，使F

，a2 b2 1 2

1 2 3求其離心率e的取值范圍?！窘馕觥俊鱂

中，已知FPF

2，|FF

|=2c，|PF

|+|PF

|=2a，1 2 1 2 3 12 1 2又|PF1|+|PF2|=2a ②4c2=4a2-|PF

|，∴|PF

||

|4a24c21 2 1 22a|PF1

||PF2

)2a24a24c2a23a24c20233c e133a 2 2【總結(jié)升華】求離心率或離心率的范圍，通常構(gòu)造關(guān)于abc的齊次式，從而構(gòu)造出關(guān)于e.舉一反三：【變式1】(2015 福建已知橢圓E

x2a2

y21(ab0)的右焦點(diǎn)為F．短軸的一個(gè)端點(diǎn)為M，直線b24l3x4y0交橢圓EM到直線l的距離不小于，則橢圓E5的取值范圍是（ ）A．3] B．

3] C．[

31) ．[31)，2 4 2 4【答案】A【解析】設(shè)左焦點(diǎn)F，連接AFBFAF|AF|＝|BF||AF|+|AF|＝31 1 1 1 134b4＝2a，所以a=2，設(shè)M(0，b)，則

4，故b≥1，從而a2-c2≥1，0＜c2≤3，0＜c≤

，所以橢圓E5 5的離心率的取值范圍是3A．22

x2y2

b0)，以abcx的方程ax2bxc0無實(shí)a2 b2根，求其離心率e的取值范圍。【答案】由已知，b24ac0，所以(a2c2)4ac0，即c24aca20，不等式兩邊同除a2可得e24e10，5解不等式得e5

2或e

2.5由橢圓的離心率e(0,1)，55所以所求橢圓離心率e(5

2,1).類型三：直線與橢圓的位置關(guān)系x2例6.對(duì)不同實(shí)數(shù)討論直線yxm與橢圓 y21的公共點(diǎn)的個(gè).4yxm, (1)xx24

y2

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