數(shù)列求和之裂項(xiàng)相消（典型例題+跟蹤訓(xùn)練）【解答題搶分專題】備戰(zhàn)高考數(shù)學(xué)（新高考通用）解析版

【解答題搶分專題】備戰(zhàn)高考數(shù)學(xué)解答題典型例題+跟蹤訓(xùn)練（新高考通用）專題12數(shù)列求和之裂項(xiàng)相消目錄一覽一、梳理必備知識二、典型例題講解三、基礎(chǔ)知識過關(guān)四、解題技巧實(shí)戰(zhàn)五、跟蹤訓(xùn)練達(dá)標(biāo)六、高考真題銜接一、梳理必備知識一、梳理必備知識1.裂項(xiàng)相消常見類型=1\*GB3①例：②例：③例：④例：其他示例：2.數(shù)列中與之間的關(guān)系：注意通項(xiàng)能否合并。3.等差數(shù)列（1）定義：如果一個數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個常數(shù)，即－=d，（n≥2，n∈N），那么這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列。（2）等差中項(xiàng)：若三數(shù)成等差數(shù)列（3）通項(xiàng)公式：或（4）前項(xiàng)和公式：（5）常用性質(zhì)①若，則；②下標(biāo)為等差數(shù)列的項(xiàng)，仍組成等差數(shù)列；③數(shù)列（為常數(shù)）仍為等差數(shù)列；④若、是等差數(shù)列，則、(、是非零常數(shù))、、，…也成等差數(shù)列。⑤若等差數(shù)列的前項(xiàng)和，則、、…是等差數(shù)列。4.等比數(shù)列（1）定義：如果一個數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫做等比數(shù)列。（2）等比中項(xiàng)：若三數(shù)成等比數(shù)列（同號），反之不一定成立。（3）通項(xiàng)公式：（4）前項(xiàng)和公式：（5）常用性質(zhì)①若，則；②為等比數(shù)列，公比為（下標(biāo)成等差數(shù)列,則對應(yīng)的項(xiàng)成等比數(shù)列）③數(shù)列（為不等于零的常數(shù)）仍是公比為的等比數(shù)列；④若等比數(shù)列的前項(xiàng)和，則、、…是等比數(shù)列.三、基礎(chǔ)知識過關(guān)三、基礎(chǔ)知識過關(guān)一、單選題1．我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中，有已知長方形面積求一邊的算法，其方法的前兩步為：第一步：構(gòu)造數(shù)列1，．第二步：將數(shù)列的各項(xiàng)乘以n，得數(shù)列(記為)a1，a2，a3，…，an．則a1a2＋a2a3＋…＋an－1an等于（

）A．n2 B．(n－1)2 C．n(n－1) D．n(n＋1)【答案】C【分析】由題意可得，再利用裂項(xiàng)相消求和法可求得結(jié)果【詳解】.故選：C．2．已知正項(xiàng)數(shù)列滿足，若，則數(shù)列的前項(xiàng)的和為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由和的關(guān)系，利用公式求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，可得到數(shù)列的通項(xiàng)公式，利用裂項(xiàng)相消法求前項(xiàng)的和.【詳解】，當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，也滿足，∴數(shù)列的通項(xiàng)公式為，，故選：C3．若數(shù)列的前項(xiàng)和，則等于（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)給定條件，利用數(shù)列的前項(xiàng)和求出該數(shù)列的通項(xiàng)，再利用裂項(xiàng)相消法求和作答.【詳解】當(dāng)時，，而滿足上式，則，因此，所以.故選：A4．?dāng)?shù)列滿足，對任意的都有，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】運(yùn)用累和法，結(jié)合等差數(shù)列前項(xiàng)和公式、裂項(xiàng)相消法進(jìn)行求解即可.【詳解】由，當(dāng)時，，顯然也適合，所以，于是有因此，故選：C5．已知數(shù)列的通項(xiàng)為，則其前8項(xiàng)和為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】運(yùn)用裂項(xiàng)相消法進(jìn)行求解即可.【詳解】，所以前8項(xiàng)和為，故選：D6．?dāng)?shù)列的前n項(xiàng)和為，對一切正整數(shù)n，點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，（且），則數(shù)列的前n項(xiàng)和為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)與的關(guān)系求得，進(jìn)而求出，利用裂項(xiàng)相消求和法即可求解.【詳解】由題意知①，當(dāng)時，，當(dāng)時，②，①-②，得，若，，符合題意，所以，則，所以，則.故選：D.二、填空題7．已知數(shù)列中，，則此數(shù)列的前8項(xiàng)和為__________．【答案】【分析】由裂項(xiàng)相消法求解，【詳解】，的前8項(xiàng)和為．故答案為：8．?dāng)?shù)列的前10項(xiàng)和為__________.【答案】【分析】利用裂項(xiàng)相消法進(jìn)行求和即可.【詳解】解：，故.故答案為：.9．?dāng)?shù)列的通項(xiàng)公式，若，則_______．【答案】99【分析】利用裂項(xiàng)相消法進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)?，所以，即，故答案為?0．=___________【答案】【分析】先將每一項(xiàng)分母有理化，而后進(jìn)行計算．【詳解】【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)列求和．解決本題的關(guān)鍵是分母有理化．11．設(shè)，為的前項(xiàng)和，則使得成立的的最小值是______.【答案】10【解析】利用裂項(xiàng)相消法求出，然后解不等式即可得答案【詳解】解：因?yàn)?，所以，，要使，只要，即，，所以，即，所以的最小值?0，故答案為：1012．?dāng)?shù)列的通項(xiàng)公式為，該數(shù)列的前8項(xiàng)和為__________．【答案】【分析】用裂項(xiàng)相消法求和．【詳解】因?yàn)?，所以．故答案為：．四、解題技巧實(shí)戰(zhàn)四、解題技巧實(shí)戰(zhàn)1．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，．(1)證明：數(shù)列是等比數(shù)列；(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】(1)詳見解析；(2)【分析】（1）中令和結(jié)合求得，然后利用得數(shù)列的遞推關(guān)系，進(jìn)而即得；（2）由（1）求得再得出，利用裂項(xiàng)相消法求得和．【詳解】（1）因?yàn)椋?，因?yàn)?，所以，，即，，解得，，?dāng)時，，與聯(lián)立，得，所以，又因?yàn)?，所以是?為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列；（2）由（1）得，，所以，，所以，所以.2．已知為等差數(shù)列，.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)若為的前項(xiàng)和，求.【答案】(1)；(2).【分析】（1）利用累乘法，結(jié)合已知條件，即可求得結(jié)果；（2）利用裂項(xiàng)求和法，結(jié)合（1）中所求，即可求得結(jié)果.【詳解】（1）∵.∴，∴，∴；當(dāng)時，滿足上式，所以；（2）由（1）可得，∴.3．已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，公差為，若，.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若（），求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1)(2)【分析】（1）先利用等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式求出，再利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式進(jìn)行求解；（2）先利用分母有理化化簡，再利用裂項(xiàng)抵消法進(jìn)行求和.【詳解】（1）因?yàn)榈炔顢?shù)列{an}中，，，所以，解得，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為.（2）因?yàn)?，則=.4．已知數(shù)列，，，，，為數(shù)列的前n項(xiàng)和，為數(shù)列的前n項(xiàng)和．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前n項(xiàng)和；【答案】（1）；（2）；【分析】（1）應(yīng)用累加法求數(shù)列通項(xiàng)即可.（2）利用裂項(xiàng)相消法求.【詳解】（1）由題設(shè)，當(dāng)時，，又滿足上式，所以（2）由（1），，∴.五、跟蹤訓(xùn)練達(dá)標(biāo)五、跟蹤訓(xùn)練達(dá)標(biāo)1．（內(nèi)蒙古赤峰市八校2023屆高三第三次統(tǒng)一模擬考試聯(lián)考文科數(shù)學(xué)試題）等差數(shù)列中，，.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，是數(shù)列的前項(xiàng)和，求證：.【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)題意和等差數(shù)列的通項(xiàng)公式列出方程組，解之即可求解；（2）由（1）得，則，利用裂項(xiàng)相消求和法可得，即可證明.【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列首項(xiàng)為，公差為，由題意得，解得，所以的通項(xiàng)公式為；（2）由（1）知，，則，，，，，2．（吉林省東北師范大學(xué)附屬中學(xué)2022-2023學(xué)年高三下學(xué)期第二次模擬考試數(shù)學(xué)試題）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)記，數(shù)列的前項(xiàng)和為，求的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)得到是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，求出通項(xiàng)公式；（2）由（1）得，由等差數(shù)列求和公式得到，利用裂項(xiàng)相消法求和.【詳解】（1）由得到，當(dāng)時，，兩式相減，有，得到，由于，，因?yàn)?，由上述遞推關(guān)系知，所以是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，所以，所以．（2）由（1）知：，則，所以數(shù)列為等差數(shù)列，所以數(shù)列的前項(xiàng)和為，則，所以．3．（吉林省通化市梅河口市第五中學(xué)2023屆高三下學(xué)期二?？荚嚁?shù)學(xué)試題）已知數(shù)列滿足，．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)記為數(shù)列的前n項(xiàng)和，證明：．【答案】(1)(2)證明見解析【分析】(1)把化為，從而利用累加法可求；(2)由可推，利用放縮，可證.【詳解】（1）由題意知，所以，即從而，，則．顯然滿足上式，所以（2）由（1）知，所以，所以．又因?yàn)?，所以，所以?．（2022-2023學(xué)年高三新高考數(shù)學(xué)押題卷（一））已知為等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，滿足，___________.給出三個條件：①，②，③.試從上面三個條件中選擇一個，補(bǔ)充在上面橫線中，并給出下面兩問的解答.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，求正整數(shù)n的值.注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.【答案】(1)(2)44【分析】（1）根據(jù)題意和等差數(shù)列的性質(zhì)可得，若選①，令，結(jié)合等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可求解；若選②，結(jié)合等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可求解；若選③，將等式變形得，由等差數(shù)列前n項(xiàng)求和公式可得，進(jìn)而求出d即可求解.（2）由（1）得，利用裂項(xiàng)相消求和法即可求解.【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為d，由，得，所以，所以，即.若選①：由，得，所以.又因?yàn)?，解得，，所?若選②：由，得，即.又因?yàn)椋獾?，，所?若選③：由，得，所以.又因?yàn)?，所以，，所以，即，所?（2）由（1）知，所以.所以由，得，解得，故正整數(shù)n的值為44.5．（湖南省部分市2023屆高三下學(xué)期3月大聯(lián)考數(shù)學(xué)試題）已知數(shù)列滿足.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)已知數(shù)列的前20項(xiàng)和.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)得到，然后兩式相減得到，最后驗(yàn)證時是否成立，即可得到；（2）分奇偶項(xiàng)求和，奇數(shù)項(xiàng)用等差數(shù)列求和公式求和，偶數(shù)項(xiàng)用裂項(xiàng)相消的方法求和，最后相加即可.【詳解】（1）當(dāng)時，可得，當(dāng)時，，，上述兩式作差可得，因?yàn)闈M足，所以的通項(xiàng)公式為.（2），所以，.所以數(shù)列的前20項(xiàng)和為.6．（山東省泰安市2023屆高三下學(xué)期一輪檢測數(shù)學(xué)試題）已知等差數(shù)列是遞增數(shù)列，為數(shù)列的前n項(xiàng)和，，，，成等比數(shù)列.(1)求；(2)求.【答案】(1)，(2)【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前項(xiàng)和公式列出方程組，解之即可求出首項(xiàng)和公差，進(jìn)而即可求解；（2）結(jié)合（1）的結(jié)論求出，然后利用裂項(xiàng)相消法即可求解.【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為d，，，即整理得，解得，或（舍）所以故，（2）由（1）知，，所以，所以，則，.7．（福建省漳州市2023屆高三畢業(yè)班第三次質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題）已知為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，，，.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式和求和公式可直接構(gòu)造方程組求得，進(jìn)而得到；（2）由（1）可得，采用裂項(xiàng)相消法可求得結(jié)果.【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，解得：，.（2）由（1）得：，，.8．（廣東省湛江市2023屆高三一模數(shù)學(xué)試題）已知，為數(shù)列的前n項(xiàng)和，．(1)證明：數(shù)列為等比數(shù)列；(2)設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，證明：．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】（1）取計算，得到，得到證明.（2）確定，變換，利用裂項(xiàng)求和計算得到證明.【詳解】（1），，．由，得，，所以，故，所以數(shù)列是以6為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列．（2），故，所以．9．（湖南省邵陽市2023屆高三上學(xué)期一模數(shù)學(xué)試題）已知數(shù)列滿足，，，且.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.【答案】(1)，(2)【分析】（1）由題意得到，利用累加法求出的通項(xiàng)公式；（2）利用裂項(xiàng)相消法求和.【詳解】（1）因?yàn)椋?，，，可得，，又，則當(dāng)時，，上式對也成立，所以，；（2）由，可得，則數(shù)列的前項(xiàng)和為.10．（安徽省六安市省示范高中2022-2023學(xué)年高三上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）已知是數(shù)列的前n項(xiàng)和，且．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，是的前項(xiàng)和，證明：．【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)與的關(guān)系求解；（2）利用裂項(xiàng)相消法求和即可證明.【詳解】（1）時，，時，經(jīng)驗(yàn)證時∴（2）時

時，，，

∴．11．（河南省濮陽市2022-2023學(xué)年高三下學(xué)期第一次摸底考試?yán)砜茢?shù)學(xué)試題）在數(shù)列中，，．(1)設(shè)，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，且數(shù)列的前項(xiàng)和為．若，求正整數(shù)的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）依題意可得，利用累加法求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）由（1）可得，即可得到，利用裂項(xiàng)相消法求出，即可得到方程，解得即可.【詳解】（1）解：因?yàn)?，，且，所以，?dāng)時，當(dāng)時，又時也符合上式，所以.（2）解：由（1）可知，所以，所以，所以，則，解得.12．（2023年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)預(yù)測卷）已知數(shù)列滿足，，，當(dāng)時，，為數(shù)列前n項(xiàng)的和.(1)證明：；(2)若，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）利用求出，故為等差數(shù)列，公差為1，首項(xiàng)為1，求出通項(xiàng)公式，利用放縮法得到，相加后證明出結(jié)論；（2）裂項(xiàng)相消法得到，進(jìn)而求和【詳解】（1）當(dāng)時，，即，變形為，即，即，，由，得：，故為等差數(shù)列，公差為1，首項(xiàng)為1，所以，因?yàn)?，所以，故，故；?），故13．（湖南省衡陽市2022屆高三下學(xué)期二模數(shù)學(xué)試題）已知數(shù)列是遞增的等差數(shù)列，，且是與的等比中項(xiàng).(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)①；②；③.從上面三個條件中任選一個，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1)(2)答案見解析【分析】（1）根據(jù)條件建立的方程組解出即可；（2）選①時，，然后利用錯位相減法求出答案即可；選②時，，然后可算出答案；選③時，，然后可算出答案.【詳解】（1）是遞增的等差數(shù)列，數(shù)列的公差，由題意得：解得：，，（2）選①時，，，則，兩式作差得：選②時，.，選③時，，.14．（湖北省高中名校聯(lián)盟2023屆高三上學(xué)期第一次聯(lián)合測評數(shù)學(xué)試題）已知數(shù)列滿足.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和為.【答案】(1)(2)【分析】(1)由遞推關(guān)系取可求，當(dāng)時，取遞推關(guān)系中的可求，由此可得數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)由(1)可得，利用裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的前項(xiàng)和為.（1）當(dāng)時，，當(dāng)時，①②由①-②得