2020屆全國高三數(shù)學模擬考試題四理

2020屆全國高三數(shù)學模擬考試試題（四）理（含解析）

時量：120分鐘滿分：150分

注意事項：

1.答題前，考生務必將自己的姓名、考生號等填寫在答題卡相應的位置上.

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改動,

用橡皮擦干凈后，再涂選其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷

上無效.

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

一、選擇題（在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）

2

1.己知集合用={即<3'481},7V={x|log3（x-4x-2）>l},則（qN）uM=（）

A.[0,3]B.（0,3）C.（-1,5）D.[-1,5]

【答案】D

【解析】

【分析】

根據(jù)指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，分別求得集合M={x|0WxW4}和N={x[x<-1或

x>5},得到QN={x|-lWxW5},再結(jié)合并集的概念與運算，即可求解.

【詳解】由題意，集合M={XlW3'<81}={x|0<x<4},

又由log3（x~-4x—2）>1,即4x—5>0，解得x<—1或x>5,

即集合N={x|x<—1或x>5},則為N={x|—l〈x45}

所以1WXW5}=[-1,5].

故選：D.

【點睛】本題主要考查了集合的混合運算，以及指數(shù)函數(shù)與對數(shù)的函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應用，

其中解答中結(jié)合指數(shù)對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，正確求解集合A,8是解答的關(guān)鍵，著重考查運算與求

解能力.

2.已知?""=2—〃（加,〃eR）,其中i為虛數(shù)單位，則復數(shù)z=機一加在復平面內(nèi)對應的

點在（）

A第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】B

【解析】

分析】

根據(jù)復數(shù)相等則對應系數(shù)相等，求得〃?的值，寫出z=m-〃〃?的坐標，判斷即可.

--名=2—￡R)1一根，=i(2—=〃十萬

【詳解】

:.n=\,-m=2m=-2

:.z=-2+2i,在復平面內(nèi)對應的點為（-2,2）,在第二象限.

故選：B.

【點睛】本題考查了復數(shù)相等的條件和復數(shù)在復平面內(nèi)對應的點，屬于基礎(chǔ)題.

3.據(jù)《孫子算經(jīng)》記載：“今有方物一束，外周一匝有三十二枚，問積幾何？該著作中的一

種解決方法為：“重置二位，左位減八，余加右位，至盡虛減一，即得.”如圖所示是解決此

類問題的程序框圖，若輸入〃=32,則輸出的結(jié)果為（）

結(jié)束

A.47B.48C.79D.80

【答案】C

【解析】

【分析】

按照程序框圖輸入〃=32,逐步執(zhí)行循環(huán)到〃=0,即得結(jié)果.

【詳解】按照程序框圖：

輸入〃=32,則5=32,

執(zhí)行第一次循環(huán)：〃=24,5=32+24

執(zhí)行第一次循環(huán)：71=16,S=32+24+16

執(zhí)行第一次循環(huán)：〃=8,5=32+24+16+8

執(zhí)行第一次循環(huán)：〃=0,5=32+24+16+8+0=80

跳出循環(huán)，S=S—1,故S=79,即輸出結(jié)果.

故選：C.

【點睛】本題利用數(shù)學文化考查了程序框圖中的循環(huán)結(jié)構(gòu)，屬于基礎(chǔ)題.

.(3兀2石(371'

4.已知a為銳角，且sin---a，則tan---2a的值為()

18I4)

33432

A.-B.--C.--D.——或

4434

4

3

【答案】C

【解析】

【分析】

先利用已知條件得到百-a為銳角，求出其余弦值，再利用二倍角公式求出sin和

(3兀4

cos----

I42a最后利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求出正切即可.

71,又sin型一a＞。，

【詳解】由0<a<一

2I8)

3兀

則7-a為銳角,

8r

故cos

故選：c.

【點睛】本題主要考查了同角三角函數(shù)的基本關(guān)系以及二倍角公式求值的問題，屬于較易題.

5.已知拋物線Y=6y的焦點為尸，M，N,K為此拋物線上三點，若FM+EV+尸K=0，

則卜⑼+同卜也為()

99

A.9B.-C.4D.-

24

【答案】A

【解析】

【分析】

由題意可得/(og：是AWNK的重心，故,再由拋物線的定義可得

1kM+|外+|小=(jg)+(2*)+(3)T)=.

【詳解】解：拋物線r=6y焦點坐標F(0,1),準線方程：j=-|,

設(shè)M（X],y）,N（X2,y2）,K（w,、3）

FM+FN+FK=0,

二點廠是AMNK重心，則'吐[+%,=-,

32

9

???X+%+%=]?

由拋物線的定義可知：網(wǎng)+網(wǎng)+網(wǎng)=(兇+'+(%+|)+(%+}=9,

故選：A.

【點睛】本題考查三角形的重心坐標公式，拋物線的定義、標準方程，以及簡單性質(zhì)的應用,

屬于基礎(chǔ)題.

(2、(11\

6.函數(shù)y=|i-7一彳,cos3+x的圖象大致為()

\1+2/12J

【解析】

【分析】

先記/(x)=(l-g71cos化簡整理，由函數(shù)解析式，判定奇偶性，再判斷

0<X<7T時，/(x)<0,進而可得出結(jié)果.

【詳解】記/(x)=|1-——-COS+x=—~~-(-sinx)=—~--sinjc,

I1+2XJ[2)2+12+1

則f(-x)=-~--sin(-x)=----sinx=-~--sinx=/(x)>

八J2一"+1')2'+l2V+1-

/2、(it

因此函數(shù)丁=1-——-cos-+x是偶函數(shù)：故排除BC；

I1+2〉12J

1_1_

當0vx<7T時，———<0>sinx>0>因此/(x)=———sinx<0；排除D；

2'+1'/2'+1

故選:A.

【點睛】本題主要考查判定函數(shù)圖像的識別，熟記函數(shù)的性質(zhì)即可，屬于?？碱}型.

7.《九章算術(shù)》卷五描述：“今有芻餐，下廣三丈，袤四丈，上袤二丈，無廣，高丈.”意

思為：“今有底面為矩形的屋脊狀的幾何體，下底面寬3丈，長4丈，上棱長2丈，高1丈.”

若該芻薨的三視圖如圖所示，其中網(wǎng)格紙上每個小正方形邊長均為1丈，則該芻薨的體積（單

2

【答案】B

【解析】

【分析】

根據(jù)三視圖，作出幾何體的直觀圖，再利用柱體、錐體的體積公式即可求解.

【詳解】根據(jù)三視圖知，該幾何體是三棱柱，截去兩個三棱錐，如圖所示：

結(jié)合圖中數(shù)據(jù)，計算該幾何體的體積為:

咚棱柱—2%棱錐=—x3xlx4-2x—X—x3xlxl=5.

232

故選：B

【點睛】本題考查了根據(jù)幾何體的三視圖求幾何體的體積，考查了柱體、錐體的體積公式，

需熟記公式，屬于基礎(chǔ)題.

8.為了解我國古代數(shù)學的輝煌成就，學校決定從《周髀算經(jīng)》《九章算術(shù)》等10部古代數(shù)學

專著中選擇2部作為“數(shù)學文化”校本課程學習內(nèi)容，已知這10部專著中有7部產(chǎn)生于魏晉

南北朝時期.則所選2部專著中至多有一部是魏晉南北朝時期的專著的概率為（）

.1?7八814

A.—B.—C.—D.—

15151515

【答案】D

【解析】

【分析】

根據(jù)對立事件的概率公式進行求解即可.

【詳解】設(shè)事件”所選2部專著中至多有一部是魏晉南北朝時期的專著”為事件A,

所以事件“所選2部專著中2部都是魏晉南北朝時期的專著”為事件入，

—C21

因為P(A)=#=R,

do

-114

所以P(A)=1—P(A)=1-6=話，

故選：D

【點睛】本題考查了對立事件概率公式的應用，考查了數(shù)學運算能力.

9.某廠家加工甲、乙兩種通訊設(shè)備零部件，其銷售利潤分別為10百元/件、15百元/件.甲、

乙兩種零部件都需要在A，8兩種設(shè)備上加工，生產(chǎn)一件甲產(chǎn)品需用A設(shè)備1小時，3設(shè)備

3小時；生產(chǎn)一件乙產(chǎn)品需用A設(shè)備2小時，3設(shè)備2小時.A，3兩種設(shè)備每周可使用時間

分別為24小時、36小時，若生產(chǎn)的零部件供不應求，則該企業(yè)每周利潤的最大值為()

A.150百元B.195百元C.240百元D.300百元

【答案】B

【解析】

【分析】

先設(shè)該企業(yè)每周生產(chǎn)甲乙兩種零部件分別為：％,y件，每周利潤為z,根據(jù)題意，得出約束

條件，和目標函數(shù)，利用數(shù)形結(jié)合的方法，即可得出結(jié)果.

【詳解】設(shè)該企業(yè)每周生產(chǎn)甲乙兩種零部件分別為：》,y件，每周利潤為：z,

%+2y<24

3x+2y436

則由題意可得:z=10x+15y,

xwN

x+2y<24

3x+2y<36

畫出《八所表示的平面區(qū)域如下:

x>0

y>0

21171

因為目標函數(shù)z=10x+15y可化為y=--x+—z,則一z表示直線丁=一一x+—z在>

31515315

軸的截距，

由圖像可得，當直線y=-|x+七z過點A時，在y軸的截距最大，此時z取最大值;

x+2y<24

x+2y=24x-6?>x+2y<36

由，c；“解得：\—c，即4(6,9),滿足<

3x+2y=36[y=9'xwN

y^N

因此Zmax=10x6+15x9=195.

故選：B.

【點睛】本題主要考查線性規(guī)劃的應用，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解即可，屬于?？碱}型.

10.已知曲線/(x)=sin[2x+F)按向量a=3，())(0<0)平移，得到的曲線y=g(x)經(jīng)

過點一二,1,則()

I12)

A.函數(shù)y=8(%)的最小正周期7=]B.函數(shù)y=g(x)在—71,—71上單

調(diào)遞減

C.曲線y=g(x)關(guān)于直線xj對稱D.曲線y=g(x)關(guān)于點方,0對稱

【答案】B

【解析】

【分析】

先由向量平移和定點一二,1求得g。)的解析式g(x)=cos(2x+J),再根據(jù)三角函數(shù)的周

\y6

期性、單調(diào)性和對稱性對選項逐一判斷正誤即可.

【詳解】設(shè)y=/(x)上任一點(x',y')，按向量a=00)(e<0)平移后得y=g(x)上點

(x,y),則

71

x=x'+°,y=y'+O=y',故x'=x-°,y'=y，代入,f(x"^y=sin2(x-(p)+-

6

777777

,W2x(--)-2^+-=--2M^eZ)

1262

nJT兀JT

又夕<0,故可取°=一區(qū)，?**gM=sin(2x++=cos(2x+—)

因此，力選項中，最小正周期7=兀，故/選項錯誤；

11171117,

8選項中，在—7T,—7T上，2x+&G[2代,3句,故函數(shù)y=g(x)在77兀，77■兀上單調(diào)遞

61212

減，故占選項正確；

TT7TTC(7T1

C選項中，當彳=>2x4--=—,g(x)=O,y=g(x)關(guān)于點|2,0|中心對稱，故，選

662\o)

項錯誤；

〃選項中，當x=W，2x+-=—,g(x)*o,點不是y=g(x)的對稱中心，故,D

366\3)

選項錯誤.

故選:B.

【點睛】本題考查了三角函數(shù)的平移變換求解析式和代入驗證法判斷余弦型函數(shù)的性質(zhì)，屬

于中檔題.

222

11.已知橢圓G：,月，鳥分別為雙曲線C2：0—卓=1(。/>0)的左、右

焦點，兩曲線G，。2的離心率互為倒數(shù)，雙曲線G漸近線上的點M滿足?岫=0且

△片聞鳥的面積為32,其中0為坐標原點，則雙曲線G的實軸長是（）

A.4B.8C.16D.32

【答案】C

【解析】

【分析】

記橢圓G的離心率為4,雙曲線G的離心率為02,根據(jù)桶圓方程，由題意，求出備=且，

"2

得出雙曲線漸近線方程為y=±；x,不妨令點“在直線y=上，設(shè)根據(jù)

題中條件，列出方程組求解，即可得出結(jié)果.

【詳解】記橢圓G的離心率為4,雙曲線C2的離心率為02，

因為橢圓方程為三+丁=1,所以0=避二=2后，

5755

又兩曲線G，C2的離心率互為倒數(shù)，所以e2=當，

所哈患"/I乙質(zhì)口斗

因此雙曲線的漸近線方程為y=±2x=±,x,

a2

不妨令點〃在直線y=；X上，設(shè)

則0M

22

又耳，口2分別為雙曲線。2：3一六=1（4，。＞°）的左、右焦點，

所以耳（-c，0），6（。,0）,因此=卜,一天）,一（玉）），

因為所以x（）?（-c-Xo）-；x（）2=0,

整理得：c+|xo=O,

又△片知鳥的面積為32,

所以=g?忻巴卜=；c|x0|=32,

c+—=0

j4解得：=4\/5>

由<c

2c同=32

475

因此“=8

e2V|

~T

所以雙曲線。2的實軸長是2a=16.

故選：C.

【點睛】本題主要考查求雙曲線的實軸長，考查雙曲線與橢圓的簡單性質(zhì)，涉及向量垂直的

坐標表示，屬于?？碱}型.

XH--,X€[—2,-1)

X

12.已知函數(shù)/(九)=<-2,X6-1,一,g(x)=OY-2,xe[-2,2],若對于任意

2

1

X——2

X?

e[—2,2],總存在毛w[—2,2],使g(%)=/(xJ成立，則實數(shù)4的取值范圍是()

77、

A.—00,-------B.一,4-00

447

7777

C.D.-00,-------—,+oo

4444

【答案】D

【解析】

【分析】

根據(jù)對于任意石e[-2,2],總存在xw[-2,2],使得g(x)"&)成立,得到函數(shù)f(x)在[-2,

2］上的值域是g(x)在［-2,2］上值域的子集，然后利用求函數(shù)值域的方法求函數(shù)f(x)、g(x)

在［-2,2］上的值域，并列出不等式，解此不等式組即可求得實數(shù)a的取值范圍即可.

【詳解】解：當一2領(lǐng)k-1時，/(x)=x+l,/(x)=i_±>0,即［-2,-1］為增區(qū)間，

x%"

/(x)e［-4,-2］,

當-L,時，/(%)=-2；

當:1領(lǐng)k2時，/(x)=x-1-，f(x)=l+1—>0,此時函數(shù)遞增，則33=］.

2xx22

則/(x)的值域為-2］［-：,3.

222

對于任意為引-2,2］,總存在不以-2,2］,使得g(Xo)=/(%)成立，

得到函數(shù)/(?在［-2,2］上的值域是g(x)在［-2,2］上值域的子集.

對。討論，當。=0時，g(x)=—2,顯然不成立；

當。>0時，g(x)的值域為I—2a—2,2a—2］,由-2“-2?-=5且2a-2…3：，即。…7一；

224

537

當a<0時，g(X)的值域為［2a—2,—2a—2］,由2a—2?—且—2a—2…—，即a?---,

224

綜上，。的取值范圍是：(-00,-:1［(,+°°).

故選:D.

【點睛】本題主要考查了函數(shù)恒成立問題，以及分段函數(shù)、函數(shù)的值域，同時考查了分類討

論的數(shù)學思想，屬于中檔題.

二、填空題

13.若一%］的展開式中/的系數(shù)為20,則。的值為

\x7

【答案】3

【解析】

【分析】

求得二項展開式的通項為(+1求得/的系數(shù)，列出方程，即可求解.

【詳解】由題意，二項式(--%)6的展開式的通項為

X

?

Tr+i=&㈠6T(_尤>=(_>.26-0鏟-6

X

所以爐的系數(shù)為(-1)3?23C+?x(-l)4?22.C：=-160+60。,

令一160+60。=20,解得a=3.

故答案為：3.

【點睛】本題主要考查了二項式的應用，其中解答中熟記二項展開式的通項，結(jié)合題意，列

出方程是解答的關(guān)鍵，著重考查推理與運算能力，屬于基礎(chǔ)題.

14.在ABC中，NB=gE為AB邊上一點,且￡C=2,￡4=石，EAEC=2,

6

則BC=.

【答案】①1

5

【解析】

【分析】

先由向量夾角公式，根據(jù)題中條件，求出cosNAEC,從而求出sin/BEC,再由正弦定理,

即可得出結(jié)果.

【詳解】因為EC=2,E4=JLEAEC=2,

EAECx/5

所以c°s/AEC=回同二丁.所以

又E為AB邊上一點,所以NAEC+NBEC=兀,

因此cosNBEC=-cosNAEC=所以sinNBEC=拽，

55

2BC

在△BEC,由正弦定理可得：即了一而，

sinZBsinZBEC力

解得：BC=^~

5

故答案為：巫

5

【點睛】本題主要考查正弦定理解三角形，涉及向量的夾角公式，屬于常考題型.

15.給出的下列四個命題中，正確的命題序號為

①從勻速傳遞的產(chǎn)品生產(chǎn)流水線上，質(zhì)檢員每10分鐘從中抽取一件產(chǎn)品進行某項指標檢測,

這樣的抽樣是分層抽樣；

②設(shè)回歸直線方程為夕=0.2x+12,當變量X每增加一個單位時，》平均增加2個單位；

③已知自服從正態(tài)分布N（O,『），且P（—2<JW0）=0.4,則Pq>2）=0.2：

④變量U與丫相對應的一組樣本數(shù)據(jù)為（1,L4）,（2,2.2）,（3,3）,（4,3.8）,由上述樣本數(shù)

據(jù)得到U與丫的線性回歸分析，若R2表示解釋變量對于預報變量變化的貢獻率，則R2=\.

【答案】④

【解析】

【分析】

①根據(jù)抽樣方法的概念，直接判斷，即可得出結(jié)果；

②根據(jù)回歸直線方程的性質(zhì)，即可得出結(jié)果；

③根據(jù)正態(tài)分布的性質(zhì)，計算概率，即可得出結(jié)果；

④根據(jù)在線性回歸中，相關(guān)指數(shù)等于相關(guān)系數(shù)，計算相關(guān)系數(shù)，即可得出結(jié)果.

【詳解】對于①，從勻速傳遞的產(chǎn)品生產(chǎn)流水線上，質(zhì)檢員每10分鐘從中抽取一件產(chǎn)品進行

某項指標檢測，這樣的抽樣是系統(tǒng)抽樣；故①錯誤；

對于②，回歸直線方程9=O.2x+12中，當變量x每增加一個單位時，9平均增加0.2個

單位；故②錯誤；

對于③，若J服從正態(tài)分布N（O,c/）,且尸（一2<。<0）=0.4,則P（0<JW2）=0.4,所

以>2）=0.5-P（O<JW2）=0.1,故③錯誤；

對于④，在線性回歸中，相關(guān)指數(shù)等于相關(guān)系數(shù)，由題意，占=1,W=2,芻=3,幾=4,

X=L4,y2=2.2,y3=3,y4=3.8,

之(x，T(y-y)

則1=2.5，5=2.6,所以相關(guān)指數(shù)R?=r=

i=\

1.5x1.2+0.5x0.4+0.5x0.4+1.5xl.24

1,故④正確;

Vl.52+0.52+0.52+1.5271.22+0.42+0.42+1.2275x7^2

故答案為：④

【點睛】本題主要考查統(tǒng)計與概率的綜合，熟記抽樣方法的概念，回歸直線的特征，正態(tài)分

布的性質(zhì)，以及相關(guān)指數(shù)的計算公式即可，屬于?？碱}型.

16.定義：設(shè)函數(shù)y=在(。,力)上的導函數(shù)為了'(力,若/'(x)在?3上也存在導函

數(shù)，則稱函數(shù)y=/(x)在(。/)上存在二階導函數(shù)，簡記為y=7"(x).若在區(qū)間(。力)上

r(x)<0,則稱函數(shù)y=/(x)在區(qū)間(。力)上為“凸函數(shù)”.已知/(x)=ln(l+e")一儂2

在區(qū)間(-L1)上為“凸函數(shù)”，則實數(shù)的取值范圍為

【答案】

O

【解析】

【分析】

根據(jù)題意對函數(shù)y=/(x)求二階導函數(shù)y=/"(x),令/"(x)<0在區(qū)間(-L1)恒成立，分

離參數(shù)，解得實數(shù)加的取值范圍即可.

【詳解】/(x)=ln(l+eA)-znx2

x

eI

ff(x}=--------2mx=1---------2iwc

JI7l+ev1+e”

v

e-

n

/.f('x\)=-(-l-+--e--A-)-22m

/(力=111(1+6')一如2在區(qū)間(_1,1)上為“凸函數(shù)，，

v

，(x)=-e_-2根<0在(-M)上恒成立

(1+e)

2m>-e-^(-1/)上恒成立

(1+e)

e*/、

設(shè)g(x)=7；一不,xe(T』),

(1+e)''

當且僅當人。時取得最大值：，.，〃丹

1

m>—

8

故答案為：m>!.

o

【點睛】本題考查了新定義“凸函數(shù)”，考查了分離參數(shù)法解決恒成立問題和基本不等式，

屬于中檔題.

三、解答題

(一)必考題：

17.己知函數(shù)/(x)=sin(Txj+sin〃(x+l)(xeR)的所有正數(shù)的零點構(gòu)成遞增數(shù)

列｛〃〃｝(〃￡N*)?

(1)求數(shù)列｛〃〃｝的通項公式；

(2)設(shè)數(shù)列出｝滿足2他=凡+“求數(shù)列出｝的前〃項和

a.o

【答案】⑴an=n~—(〃eN*);⑵T.=2—^―.

【解析】

【分析】

(1)令〃x)=0可得出x=々+；(keZ),根據(jù)題意確定數(shù)列｛q｝的首項和公差，即可

求得數(shù)列｛4｝的通項公式；

n門丫

(2)求出〃===〃?上，然后利用錯位相減法可求得

2\2?

［詳解】(1)/(x)=sin-乃x)+sin乃(x+1)=cosTLX-sinTLX--sin-彳)

令/(x)=。，得一sin4%-￡1=0,所以萬x-工=攵乃(ZwZ),

k4；4

所以X=攵+；(ZeZ),這就是函數(shù)y=/(x)的全部零點，

所以數(shù)列｛%｝是以首項為。，公差為1的等差數(shù)列，

所以"〃=-+(n-l)xl=n-~〃wN*);

3

⑵因為2'色=4+；,所以〃=￡=〃.

則”(撲哂]Y-1*咱

+3-H-----F(〃一1)?①

2)

②

?■②得：-T

2"

(1>+2〃「23

所以Z,=21--

;乙)⑴X

【點睛】本題考查函數(shù)的零點，考查等差數(shù)列通項公式的求法，考查錯位相減法求和，考查

邏輯思維能力和運算求解能力，屬于常考題.

18.某食品加工廠對生產(chǎn)機器升級改造，現(xiàn)從機器改造前后生產(chǎn)的食品中各抽取100件產(chǎn)品

作為樣本，檢測某項營養(yǎng)成分含量,根據(jù)國家食品衛(wèi)生標準，若該項營養(yǎng)成分含量落在［20,40)

內(nèi)的食品視為合格品，否則為不合格品.如圖所示是機器改造前樣本的頻率分布直方圖；下表

是機器改造后樣本的頻數(shù)分布表.

頻率

贏

0.080-----------

0.036

0.032

0.024

0.020

O營養(yǎng)

08成分

2535含量

20314045

營養(yǎng)成分含量[15,20)[20,25)[25,30)[30,35)[35,40)[40,45)

頻數(shù)2184814162

(1)請估算食品加工廠在機器升級改造前食品營養(yǎng)成分含量的平均值；

(2)工廠質(zhì)檢規(guī)定：不合格食品必須全部銷毀合格食品分等級銷售，營養(yǎng)成分含量落在

［25,30)內(nèi)的定為一等品，每件售價240元；營養(yǎng)成分含量落在，［20,25)或［30,35)內(nèi)的定

為二等品，每件售價180元；其他的合格品定為三等品，每件售價120元.根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，

用該組樣本中一等品、二等品、三等品各自在合格品中的頻率代替從所有產(chǎn)品中抽到一件相

應等級產(chǎn)品的概率.現(xiàn)有一名顧客隨機購買改造后的兩件該食品，設(shè)其支付的費用為X(單位:

元)，求X的分布列和數(shù)學期望.

【答案】⑴30.2(2)見解析

【解析】

【分析】

(1)由每一組區(qū)間的中間值乘以該組的頻率再相加，可得平均值.

(2)根據(jù)樣本頻率分布估計總體分布，樣本中一、二、三等品的頻率分別為!二,2，從所

236

有產(chǎn)品中隨機抽一件，是一、二、三等品的概率分別為!」，!，隨機變量彳的取值為240,

236

300,360,42,480,分別求出相應的概率，由此能求出隨機變量力的分布列和6(/).

【詳解】根據(jù)圖1可知，機器改造前樣本的頻數(shù)分布表如下：

營養(yǎng)成分含量[15,20)[20,25)[25,30)[30,35)[35,40)[40,45)

頻數(shù)41640121810

...估計在機器升級改造前食品營養(yǎng)成分含量的平均值為

—(4X17.5+16X22.5+40X27.5+12X32.5+18X37.5+10X42.5)=30.2.

100

(2)根據(jù)樣本頻率分布估計總體分布，樣本中合格食品有96件，則樣本中一、二、三等品

的頻率分別為，故從所有產(chǎn)品中隨機抽一件，是一、二、三等品的概率分別為,

236236

隨機變量才的取值為240,300,360,420,480,

111

P"=240)=-x-=—,

6636

P(^=300)、=CK'x-1x-1=-1,

2369

、11115

P(X—360)=C>x—x—+—x———

2263318f

P(Z=420)=C*x-x-=-,

2323

P(/=480)=—x—,

224

；.隨機變量片的分布列為：

X240300360420480

11511

Pi-

3691834

E(Z)=240x—+300x-+360x—+420x-+480x-=400.

3691834

【點睛】本題考查平均數(shù)、離散型隨機變量的分布列及數(shù)學期望的求法，考查頻率分布直方

圖、頻率分布表、相互獨立事件概率乘法公式等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是中檔題.

19.如圖，在四棱錐P—ABC。中，AB=AD,CB=CD,PB=PD，且PC=2Q4=4,

ZAPC=60°.

I)

(1)求證：平面Q4C_L平面ABC。；

(2)若底面A8CD中，NA0C=90。，NACO=30。，在PC上是否存在點“，使得直線

與平面自應)所成的角的正弦值為小叵4?若存在，試求PM:MC的值；若不存在，請說明

95

理由.

【答案】(1)證明見解析；(2)存在，PM:MC=E

【解析】

【分析】

（1）設(shè)ACBD=O,連接PO,由已知條件得。為BO的中點，利用線面垂直的判定定

理證明08上面P4C，又OBu平面A8C。，即可得出結(jié)論；（2）先利用已知條件證明

?ABCD，再以A為坐標原點，過A作A3垂線即為>軸，A8為x軸，AP為z軸建立如

圖所示的空間坐標系，寫出點坐標，令PM=8MC，求出平面P8/）的法向量，利用空間向

量求線面所成角即可得出結(jié)論.

【詳解】（1）證明：設(shè)4cBD=O,連接P。，

因為AB=AD,CB=CD,

所以。為8。的中點，

BD1AC，又PB=PD，

..BDLPO又ACPO=O,;.DB上面PAC,

DBu平面ABC。，

所以平面B4C_L平面ABC。.

(2)在24c中,

PC2PA=4,ZAPC=60°,

易得NQ4C=90°,

即Q4_LAC,

由（1）知5￡>_LQ4，：?24_L面ABC。；

以A為坐標原點，過A作A3垂線即為丁軸，AB為x軸，AP為z軸建立如圖所示的空間坐

標系，

則A（O,O,O）,P（O,O,2）,6（6,O,O）,0-^-,-,0,C（6,3,0）,

PB=(60,—2),P￡>/一4],4,

I22J

令PM=AMC，

JV32322)*f-y/33221

:.M----,-----,-----,BM=----,-----,-----

\1+41+21+4J\1+41+21+47

設(shè)平面P8￡）的法向量為”=（x,y,z）,

[PB.n=Q產(chǎn)Iz=O

皿〃=0=—鳥+%—2z=0

I22，

取〃=（2,2后6）,

設(shè)直線BM與平面PBD所成的角為（P，

n-BM6Vn4

則sin(p-cos

HM95

解得4=血，

即PM：MC=&.

【點睛】本題主要考查了線面垂直以及面面垂宜的判定定理，考查了利用空間向量解決線面

所成角的問題.屬于中檔題.

20.已知。：/+2=2交x軸于“，N兩點，過以MN為長軸，離心率為注的橢圓C

-2

的左焦點廠的直線/交橢圓。于A，B,分別交y軸和圓。于P,H.

（1）求橢圓。的標準方程；

（2）若PA=S4F，=.求證：S+/為定值；

（3）過原點。作直線/的垂線交直線％=-2于點K.試探究：當點"在圓。上運動時（不與

M，N重合），直線"K與圓。是否保持相切？若是，請證明；若不是，請說明理由.

【答案】（1）]+y2=i；（2）-4；（3）故直線HK與圓。相切，證明見詳解.

【解析】

【分析】

（1）由題意可得a=也，再根據(jù)離心率可得c=l,由〃=&一=],可得橢圓C的標

準方程.

（2）設(shè)直線/的方程為：y=Z（x+l）,將直線與橢圓方程聯(lián)立，求出兩根之和、兩根之積，

再根據(jù)向量的坐標運算可得5=-"7土一/=一3一，求出即可證出.

1+玉l+x2

（3）設(shè)”（玉），%乂/。土血），則為2=2-/2,只要證出的=T即可

【詳解】（1）由2a=20，解得a=J5,又因為e='=正，所以c=l，

a2

所以Z?=\/a2—c2-1，

所以橢圓C的標準方程為y+y=1.

（2）證明，如圖，由題設(shè)知直線/的斜率存在，

設(shè)直線/的方程為：y=A(x+l),則點P(OM),

將直線/代入橢圓方程］+V=1可得(1+2k2)x2+4爐x+2&2—2=0,

設(shè)A(百,y),8(W，M),

-4k22k2-2

由P4=sAF，PB=tBF>

X

X】t=2

知s

1+“l(fā)+x2

4k24k2-4

--------1-------

s+t=1+々+2中2=1+2/1+2公

乂2

l+xl+x2+x]x2(4k°]2k-2

(3)點，在圓。上運動時，直線"K與圓。相切，

證明：設(shè)”(X0，%乂七)，則%'=2-Xo?,

.k”x>

"Fx+l

()%

直線OK的方程為y=-31X,

,2工0+2

..=%%_%2_(2/+2)__/2_2/廠/,k0H=江,

"4+2(%+2)%(%+2)%%A<)

kHK-k0H=-h即HK上OH,故直線"K與圓。相切?

【點睛】本題考查了由離心率求橢圓的標準方程、直線與橢圓的位置關(guān)系中的定值問題，此

題對計算能力要求比較高，屬于難題.

G]1

21.已知函數(shù)/(x)=an4+x,g(x)=2x—,其中aeR.

(1)若方程/(x)=g(x)在［l,e］(e為自然對數(shù)的底數(shù))上存在唯一實數(shù)解，求實數(shù)a的取

值范圍；

⑵若在［l,e］上存在一點力,使得關(guān)于x的不等式好■(%)>必+么?。+2%成立，求實

數(shù)。的取值范圍.

,花—1}(e2+\、

【答案】(1)(-00,1］-^—,+00；(2)(^o,-2)ul—Y，+ooI.

【解析】

【分析】

Y?121

(1)由題意得］—alnx_2=0,令b(x)=1r—alnx—由題意得只需函數(shù)>=E(x)

在［l,e］上有唯一的零點；求導，分①當時，②當aze?時，③當1<。<e?時三種情況

1a

分析單調(diào)性求零點，即可求出a的取值范圍；(2)把已知條件轉(zhuǎn)化為J+丁-。也%+丁<0在

f°e［Le］上有解，即函數(shù)〃(x)=x+：—alnx+f在［l,e］上的最小值小于零，求導，分①當

a+12e時，②當a+l?l時，③當l<a+l<e時三種情況分析單調(diào)性求最值，即可求出。的

取值范圍.

【詳解】(1)f(x)=g(x),

2a\nx八1

----------\-x=2x,

xx

2

x1

即----alnx——=0；

22

令F(x)=、-alnx-g,

由題意得只需函數(shù)y=E(x)在［l,e］上有唯一的零點；

2

又F(x)=x-3=三二烏，其中xe［l,e］,

XX

①當aWl時，9(力“恒成立，F(xiàn)(x)單調(diào)遞增，

又尸(1)=0,則函數(shù)E(x)在區(qū)間［l,e］上有唯一的零點；

②當aNe?時，/'(x)W0恒成立，/(x)單調(diào)遞減，

又尸(1)=0,則函數(shù)網(wǎng)x)在區(qū)間［l,e］上有唯一的零點；

③當1<a</時，

當14x46時，

F(x)<0,E(x)單調(diào)遞減，又尸(1)=0,

二尸(右)<尸(1)=0,則函數(shù)F(x)在區(qū)間［1,&］上有唯一的零點;

當G<x?e時，

F(