全國(guó)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)答案詳解

（概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)）〔經(jīng)管類〕答案解析一、單項(xiàng)選擇題〔本大題共10小題，每題1.甲，乙兩人向同一目標(biāo)射擊，A表示示“命中目標(biāo)〞，則C=〔〕B.BC.ABD.A∪B2分，共〞，B表示“乙命中目標(biāo)〞，C表（解析）“命中目標(biāo)〞=“甲命中目標(biāo)〞或“乙命中目標(biāo)〞或“甲、乙同時(shí)命中目標(biāo)〞，〔1〕事件的和：稱事件“A，B至少有一個(gè)發(fā)生〞為事件A與B的和事件，也稱為A與,，則A∪B=B.〔2〕事件的積：稱事件“A，B同時(shí)發(fā)生〞為事件A與B的積事件，也稱為A與B的交，記做F=A∩B或F=AB.，則AB=A.〔3〕事件的差：稱事件“A發(fā)生而事件B不發(fā)生〞為事件A與B的差事件，記做A－B.，則〔4〕事件運(yùn)算的性質(zhì)〔i〕交換律：A∪B=B∪A,AB=BA；〔ii〕結(jié)合律：〔B∪C〕,〔AB〕C=A〔BC〕；〔iii〕分A∩C〕∪〔B∩C〕〔A∩B〕A∪C〕∩〔B∪C〕.〔iv〕摩根律〔對(duì)偶律〕,2.設(shè)A，B是隨機(jī)事件，，P〔AB〕=0.2，則P〔A－B〕=〔〕（答案）A，，（提示）見1題（提示）〔3〕.3.設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為F〔X〕則A.F〔b－0〕－F〔a－0〕B.F〔b－0〕－F〔a〕C.F〔b〕－F〔a－0〕D.F〔b〕－F〔a〕（答案）D，為的分布函數(shù).2.分布函數(shù)的性質(zhì)：①0≤F〔x〕≤1；②對(duì)任意x，x〔x<x〕，都有1；122③F〔x〕是單調(diào)非減函數(shù)；④，；⑥設(shè)f′〔x〕存在，且F′〔x〕=f〔x〕.3.已知X的分布函數(shù)F〔x〕，可以求出以下三個(gè)常用事件的概率：①②③；，其中a<b；0.10.210.40.30則〔〕A.0B.0.1C.0.2D.0.3（答案）D（解析）因?yàn)槭录?，?0+0.1+0.2=0.3應(yīng)選擇D（提示）1.此題考察二維離散型隨機(jī)變量的邊緣分布律的求法；2.要清楚此題的三個(gè)事件的概率為什么相加：因?yàn)槿录腔ゲ幌嗳菔录ゲ幌嗳菔录母怕蕿楦魇录怕手?〔〕（解析）積分地域D：0＜X≤0.5，0＜Y≤1，所以（提示）1.二維連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度f〔x，y〕性質(zhì)：①f〔x，y〕≥0；②；，因而在f〔x，y〕的連續(xù)點(diǎn)〔x，y〕處，可由分布函數(shù)F〔x，y〕求出概率密度f〔x，2.二重積分的計(jì)算：此題的二重積分的被積函數(shù)為常數(shù)，依據(jù)二重積分的幾何意義可用簡(jiǎn)單方法計(jì)算：積分值=被積函數(shù)0.5×積分地域面積0.5.X﹣P0.4則E〔X〕=〔A.﹣0.8B.﹣0.2C.0D.0.4〕（答案）B（解析）E〔X〕=〔﹣2〕×0.4+0×0.3+2×0.3＝﹣0.2應(yīng)選擇B.（提示）1.離散型一維隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望的定義：設(shè)隨機(jī)變量的分布律為，1，2，….假設(shè)級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂，則定義的數(shù)學(xué)期望為.2.數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)：①E〔c〕=c，c為常數(shù)；②E〔aX〕X+b〕=E〔X〕+b，b為常數(shù)；④E〔aX+b〕=aE〔X〕+b，a，b為常數(shù).=aE〔x〕，a為常數(shù)；③E〔X+b〕=E〔7.設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為，則E〔X〕=〔〕A.B.C.D.（答案）C（解析）依據(jù)連續(xù)型一維隨機(jī)變量分布函數(shù)與概率密度的關(guān)系得，應(yīng)選擇C.（提示）1.連續(xù)型一維隨機(jī)變量概率密度的性質(zhì)；2.一維連續(xù)型隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望的定義：設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為，如8.設(shè)總體X服從區(qū)間,]上的均勻分布〔〕，x，x，…，x為來自X的樣本，12nD.（答案）C，〔1〕常用離散型隨機(jī)變量的分布〔三種〕：X0q1p概率A.兩點(diǎn)分布①分布列②數(shù)學(xué)期望：E〔X〕=P③方差：D〔X〕=pq.B.二項(xiàng)分布：X～B〔n，p〕①分布列：，k=0，1，2，…，n；②數(shù)學(xué)期望：E〔X〕=nP③方差：D〔X〕=npq.C.泊松分布：X～，0，1，2，…〔2〕常用連續(xù)型隨機(jī)變量的分布〔三種〕：A.均勻分布：X～①密度函數(shù)：,②分布函數(shù)：，③數(shù)學(xué)期望：E〔X〕＝,④方差：D〔X〕＝①密度函數(shù)：,②分布函數(shù)：③數(shù)學(xué)期望：E〔X〕＝,④方差：D〔X〕＝.Ｃ.正態(tài)分布〔A〕正態(tài)分布：X～③數(shù)學(xué)期望：＝,④方差：＝，⑤標(biāo)準(zhǔn)化代換：假設(shè)X～，，則～.〔B〕標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布：X～①密度函數(shù)：，－∞＋∞，－∞＋∞③數(shù)學(xué)期望：E〔X〕＝0,④方差：D〔X〕＝1.2.注意：“樣本〞指“簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本〞，具有性質(zhì)：“獨(dú)立〞、“同分布〞.，記，124，，，則的無偏估量是〔〕（解析）易知，，應(yīng)選擇A.為未知參數(shù)，，有是的一個(gè)估量量，是樣本容量，假設(shè)對(duì)于任意則稱為的相合〔一致性〕估量.〔2〕無偏性：設(shè)是的一個(gè)估量，假設(shè)對(duì)任意，有，則稱為比有效的估量量.假設(shè)的一切無偏估量量中，的方差最小，，，，D.（答案）A（解析）查表得答案.（提示）關(guān)于“課本p162，表7-1：正態(tài)總體參數(shù)的區(qū)間估量表〞記憶的建議：①表格共5行，前3行是“單正態(tài)總體〞，后2行是“雙正態(tài)總體〞；②對(duì)均值的估量，分“方差已知〞和“方差未知〞兩種情況，對(duì)方差的估量“均值未③統(tǒng)計(jì)量順序：,t,x2,t,F.二、填空題〔本大題共15小題，每題2分，共30分〕P〔B〕=0.2，P〔A∪B〕=0.5，則P〔AB〕=11.設(shè)A，B是隨機(jī)事件，_____.（答案）0.112.從0，1，2，3，4五個(gè)數(shù)字中不放回地取3次數(shù)，每次任取一個(gè)，則第三次取到0（解析）設(shè)第三次取到0的概率為，則故填寫.（提示）古典概型：〔1〕特點(diǎn)：①樣本空間是有限的；②根本領(lǐng)件發(fā)生是等可能的；〔2〕計(jì)算公式13.設(shè)隨機(jī)事件A與B相互獨(dú)立，且，則________.（答案）0.8（解析）因?yàn)殡S機(jī)事件A與B相互獨(dú)立，所以P〔AB〕=P〔A〕P〔B〕=所以〔1〕包含關(guān)系：如果事件A發(fā)生必定導(dǎo)致事件B發(fā)生，則事件B包含事件A，記做；對(duì)任何事件C，都有〔2〕相等關(guān)系：假設(shè)且，則事件A與B相等，記做P〔A〕=P〔B〕；〔3〕互不相容關(guān)系：假設(shè)事件A與B不能同時(shí)發(fā)生，稱事件A與B互不相容或互斥，；〔5〕二事件的相互獨(dú)立性：假設(shè),則稱事件A,B相互獨(dú)立；性質(zhì)1：四對(duì)事件A與B，與B，A與，與其一相互獨(dú)立，則性質(zhì)2：假設(shè)A,B相互獨(dú)立，且P〔A〕＞0,則14.設(shè)隨機(jī)變量服從參數(shù)為1的泊松分布，則________.（解析）參數(shù)為泊松分布的分布律為因?yàn)椋运?，（解析）因?yàn)樗裕瑒t～，，故填寫.（提示）注意審題，X判定概率分布的類型.16.設(shè)二維隨機(jī)變量〔X，Y〕服從圓域D：x+y≤1上的均勻分布，為其概22（解析）因?yàn)槎S隨機(jī)變量〔X，Y〕服從圓域D：上的均勻分布，則故填寫.（提示）課本介紹了兩種重要的二維連續(xù)型隨機(jī)變量的分布：〔1〕均勻分布：設(shè)D為平面上的有界地域，其面積為S且S>0，如果二維隨機(jī)變量〔X，Y〕的概率密度為，則稱〔X，Y〕服從地域D上的均勻分布，記為〔X，Y〕～.〔2〕正態(tài)分布：假設(shè)二維隨機(jī)變量〔X，Y〕的概率密度為〔，〕，其中，，，，都是常數(shù)，且，，，則稱〔X，Y〕服從二維正態(tài)分布，記為〔X，Y〕～17.設(shè)aX+b〕=a2D〔X〕，a，b為常數(shù).計(jì)算公式：D〔X〕=E〔X2〕－E2〔X〕.18.設(shè)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為1的指數(shù)分布，則E〔e-2x〕=________.，則故填寫.（提示）連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望：設(shè)X為連續(xù)性隨機(jī)變量，其概率密度為，19.設(shè)隨機(jī)變量X～B〔100，0.5〕，則由切比雪夫不等式估量概率（解析）由已知得，，所以.（提示）切比雪夫不等式：隨機(jī)變量具有有限期望和，則對(duì)任意給定的，總有或故填寫.20.設(shè)總體X～N〔0，4〕，且x，x，x為來自總體X的樣本，假設(shè)3～12，則常數(shù)C=________.（答案）12均服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，則12n服從自由度為n的x2－分布，記為x2～x2〔n〕.②F－分布：設(shè)X，Y相互獨(dú)立，分別服從自由度為m和n的x2分布，則服從自由度為m與n的F－分布，記為F～F〔m，n〕，其中稱m為分子自由度，n為分母自由③t－分布：設(shè)X～N〔0，1〕，Y～x2〔n〕，且X，Y相互獨(dú)立，則服從自由度為n的t－分布，記為t～t〔n〕.12〔1〕假設(shè)總體分布為.，為樣本均值，則，而，，（說明）此題是依據(jù)例7-14改編.因?yàn)榈淖C明過程比擬復(fù)雜，在2022年課本改版時(shí)將證明過程刪掉，即本次串講所用課本〔也是學(xué)員朋友們使用的課本〕中沒有這個(gè)結(jié)論的證明過程，只給出了結(jié)果.感興趣的學(xué)員可查閱舊版課本（高等數(shù)學(xué)〔二〕第二22.設(shè)總體x服從參數(shù)為的泊松分布，為未知參數(shù)，為樣本均值，則的矩估量________.偏估量為樣本均值，所以填寫.（提示）點(diǎn)估量的兩種方法A.根本思想：B.估量方法：同A.〔2〕極大似然估量法A.根本思想：把一次試驗(yàn)所出現(xiàn)的結(jié)果視為全部可能結(jié)果中概率最大的結(jié)果，用它來求出參數(shù)的最大值作為估量值.B.定義：設(shè)總體的概率函數(shù)為，，其中為未知參數(shù)或未知參數(shù)向量，12，則稱為的極大似然估量.i〕對(duì)似然函數(shù)求對(duì)數(shù)ii〕對(duì)求偏導(dǎo)數(shù)并令其等于零，得似然方程或方程組②對(duì)于似然方程〔組〕無解時(shí)，利用定義：見教材p150例7－10；〔3〕間接估量：①理論依據(jù)：假設(shè)是的極大似然估量，則即為的極大似然估量；的估量，從而求出的估量值.x為來自該總體的樣本.在對(duì)進(jìn)23.設(shè)總體X服從參數(shù)為的1n行極大似然估量時(shí)，記…，x〕為似然函數(shù)，則當(dāng)x，x，…，x都大于0時(shí)，n12n…，x=________.n（答案），從而故填寫…，=，12，：，則H成立時(shí)，x2～________.0，1，2，…，n，且，，…，相互獨(dú)立.令，則________.，其中～，1，2，…，，且，，…，相互獨(dú)立，得一元線性回歸方程，，～，故填寫.（說明）課本p186，關(guān)于此題內(nèi)容的局部講述的不夠清楚，請(qǐng)朋友們注意.三、計(jì)算題〔本大題共2小題，每題8分，共26.甲、乙兩人從裝有6個(gè)白球4個(gè)黑球的盒子中取球，甲先從中任取一個(gè)球，不放回，2〕乙取到的都是黑球的概率.而后乙再?gòu)暮兄腥稳蓚€(gè)球，求〔（解析）〔1〕設(shè)甲取到黑球的概率為p，則〔單位：mm〕，未知.現(xiàn)用一種新工藝生產(chǎn)此種零件，得樣本均值，樣本標(biāo)準(zhǔn)差s=0.8，無顯著差異？〔〕〔附：〕（分析）此題考察假設(shè)檢驗(yàn)的操作過程，屬于“單正態(tài)總體，方差未知，對(duì)均值的檢驗(yàn)〞（解析）設(shè)欲檢驗(yàn)假設(shè)H：0，H：1，，依據(jù)顯著水平=0.05及n=16，查t分布表，得臨界值t〔15〕=2.1315，從而得到0.025拒絕域，，拒絕，可以認(rèn)為用新工藝生產(chǎn)的零件平均直徑與以往有顯著差異.（提示）1.假設(shè)檢驗(yàn)的根本步驟：〔1〕提出統(tǒng)計(jì)假設(shè)：依據(jù)理論或經(jīng)驗(yàn)對(duì)所要檢驗(yàn)的量作出原假設(shè)〔零假設(shè)〕H和備擇0假設(shè)H，要求只有其一為真.1，備擇假設(shè)為以下三種情況之一：：〔2〕選擇適當(dāng)?shù)臋z驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量，滿足：①必須與假設(shè)檢驗(yàn)中待檢驗(yàn)的“量〞有關(guān)；②在原假設(shè)成立的條件下，〔3〕求拒絕域：按問題的要求，依據(jù)給定顯著水平查表確定對(duì)應(yīng)于的而得到對(duì)原假設(shè)H的拒絕域W.統(tǒng)計(jì)量的分布或漸近分布已知.臨界值，從0〔4〕求統(tǒng)計(jì)量的樣本值觀察值并決策：依據(jù)樣本值計(jì)算統(tǒng)計(jì)量的值，假設(shè)該值落入拒W內(nèi)，則拒絕H，接受H，否則，接受H.0128.設(shè)二維隨機(jī)變量〔X，Y〕的概率密度為（分析）此題考察二維連續(xù)型隨機(jī)變量及隨機(jī)變量函數(shù)的概率密度.（解析）=；同理可得〔2〕使用“直接變換法〞求Z=2X+1的概率密度.的關(guān)系有所以=.問題：已知隨機(jī)變量X的概率密度為，求Y=g〔X〕的概率密度；29.設(shè)隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立，X～N〔0,3〕，Y～N〔1,4〕.記Z=2X+Y