平面向量 獲獎優(yōu)秀教學(xué)設(shè)計

專題04平面向量研究發(fā)現(xiàn)，課標(biāo)全國卷的試卷結(jié)構(gòu)和題型具有一定的穩(wěn)定性和延續(xù)性，每個題型考查的知識點、考查方法、考查角度、思維方法等相對固定，掌握了全國卷的各種題型，就把握了全國卷命題的靈魂，基于此，潛心研究全國Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ卷及高考數(shù)學(xué)考試說明，精心分類匯總至少最近三年全國卷的所有題型（按年份先理后文排列），對把握全國卷命題的方向，指導(dǎo)我們的高考有效復(fù)習(xí)，走出題海，快速提升成績，會起到事半功倍的效果。平面向量近3年復(fù)數(shù)考了18年，每年每卷都是1題，平面向量題考得比較基本，突出向量的幾何運算與代數(shù)運算，不側(cè)重與其它知識交匯，難度不大，這樣有利于考查向量的基本運算，符合考試說明。1.（2022年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試新課標(biāo)Ⅰ卷數(shù)學(xué)（理6））在△ABC中，AD為BC邊上的中線，E為AD的中點，則=（）A．﹣ B．﹣ C．+ D．+ 【考點】9H：平面向量的基本定理．【專題】34：方程思想；41：向量法；5A：平面向量及應(yīng)用．【分析】運用向量的加減運算和向量中點的表示，計算可得所求向量．【解答】解：在△ABC中，AD為BC邊上的中線，E為AD的中點，=﹣=﹣=﹣×（+）=﹣，故選：A．【點評】本題考查向量的加減運算和向量中點表示，考查運算能力，屬于基礎(chǔ)題．2.（2022年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試新課標(biāo)Ⅰ卷數(shù)學(xué)（理13））已知向量，的夾角為60°，||=2，||=1，則|+2|=．【答案】見解析?！究键c】9O：平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運算．【專題】31：數(shù)形結(jié)合；4O：定義法；5A：平面向量及應(yīng)用．【分析】根據(jù)平面向量的數(shù)量積求出模長即可．【解答】解：【解法一】向量，的夾角為60°，且||=2，||=1，∴=+4?+4=22+4×2×1×cos60°+4×12=12，∴|+2|=2．【解法二】根據(jù)題意畫出圖形，如圖所示；結(jié)合圖形=+=+2；在△OAC中，由余弦定理得||==2，即|+2|=2．故答案為：2．【點評】本題考查了平面向量的數(shù)量積的應(yīng)用問題，解題時應(yīng)利用數(shù)量積求出模長，是基礎(chǔ)題．3.（2022年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試新課標(biāo)Ⅰ卷數(shù)學(xué)（理13））設(shè)向量=（m，1），=（1，2），且|+|2=||2+||2，則m=．【答案】見解析。【考點】9O：平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運算．【專題】11：計算題；29：規(guī)律型；35：轉(zhuǎn)化思想；5A：平面向量及應(yīng)用．【分析】利用已知條件，通過數(shù)量積判斷兩個向量垂直，然后列出方程求解即可．【解答】解：|+|2=||2+||2，可得?=0．向量=（m，1），=（1，2），可得m+2=0，解得m=﹣2．故答案為：﹣2．【點評】本題考查向量的數(shù)量積的應(yīng)用，向量的垂直條件的應(yīng)用，考查計算能力．4.（2022年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試新課標(biāo)Ⅱ卷數(shù)學(xué)（理4））已知向量，滿足||=1，=﹣1，則?（2）=（）A．4 B．3 C．2 D．0 【考點】91：向量的概念與向量的模；9O：平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運算．【專題】11：計算題；38：對應(yīng)思想；4O：定義法；5A：平面向量及應(yīng)用．【分析】根據(jù)向量的數(shù)量積公式計算即可．【解答】解：向量，滿足||=1，=﹣1，則?（2）=2﹣=2+1=3，故選：B．【點評】本題考查了向量的數(shù)量積公式，屬于基礎(chǔ)題5.（2022年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試新課標(biāo)Ⅱ卷數(shù)學(xué)（理12））已知△ABC是邊長為2的等邊三角形，P為平面ABC內(nèi)一點，則?（+）的最小值是（）A．﹣2 B．﹣ C．﹣ D．﹣1 【考點】9O：平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運算．【專題】31：數(shù)形結(jié)合；4R：轉(zhuǎn)化法；5A：平面向量及應(yīng)用．【分析】根據(jù)條件建立坐標(biāo)系，求出點的坐標(biāo)，利用坐標(biāo)法結(jié)合向量數(shù)量積的公式進行計算即可．【解答】解：建立如圖所示的坐標(biāo)系，以BC中點為坐標(biāo)原點，則A（0，），B（﹣1，0），C（1，0），設(shè)P（x，y），則=（﹣x，﹣y），=（﹣1﹣x，﹣y），=（1﹣x，﹣y），則?（+）=2x2﹣2y+2y2=2[x2+（y﹣）2﹣]∴當(dāng)x=0，y=時，取得最小值2×（﹣）=﹣，故選：B．【點評】本題主要考查平面向量數(shù)量積的應(yīng)用，根據(jù)條件建立坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)法是解決本題的關(guān)鍵．6.（2022年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試新課標(biāo)Ⅱ卷數(shù)學(xué)（理3））已知向量=（1，m），=（3，﹣2），且（+）⊥，則m=（）A．﹣8 B．﹣6 C．6 D．8 【考點】9H：平面向量的基本定理．【專題】11：計算題；35：轉(zhuǎn)化思想；4R：轉(zhuǎn)化法；5A：平面向量及應(yīng)用．【分析】求出向量+的坐標(biāo)，根據(jù)向量垂直的充要條件，構(gòu)造關(guān)于m的方程，解得答案．【解答】解：∵向量=（1，m），=（3，﹣2），∴+=（4，m﹣2），又∵（+）⊥，∴12﹣2（m﹣2）=0，解得：m=8，故選：D．【點評】本題考查的知識點是向量垂直的充要條件，難度不大，屬于基礎(chǔ)題．7.（2022年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試新課標(biāo)Ⅲ卷數(shù)學(xué)（理13））已知向量=（1，2），=（2，﹣2），=（1，λ）．若∥（2+），則λ=．【答案】見解析?！究键c】96：平行向量（共線）；9J：平面向量的坐標(biāo)運算．【專題】11：計算題；34：方程思想；4O：定義法；5A：平面向量及應(yīng)用．【分析】利用向量坐標(biāo)運算法則求出=（4，2），再由向量平行的性質(zhì)能求出λ的值．【解答】解：∵向量=（1，2），=（2，﹣2），∴=（4，2），∵=（1，λ），∥（2+），∴，解得λ=．故答案為：．【點評】本題考查實數(shù)值的求法，考查向量坐標(biāo)運算法則、向量平行的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，考查函數(shù)與方程思想，是基礎(chǔ)題．8.（2022年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試新課標(biāo)Ⅲ卷數(shù)學(xué)（理12））在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，動點P在以點C為圓心且與BD相切的圓上．若=λ+μ，則λ+μ的最大值為（）A．3 B．2 C． D．2 【考點】9S：數(shù)量積表示兩個向量的夾角．【專題】11：計算題；31：數(shù)形結(jié)合；4R：轉(zhuǎn)化法；57：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)；5A：平面向量及應(yīng)用；5B：直線與圓．【分析】如圖：以A為原點，以AB，AD所在的直線為x，y軸建立如圖所示的坐標(biāo)系，先求出圓的標(biāo)準方程，再設(shè)點P的坐標(biāo)為（cosθ+1，sinθ+2），根據(jù)=λ+μ，求出λ，μ，根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)即可求出最值．【解答】解：如圖：以A為原點，以AB，AD所在的直線為x，y軸建立如圖所示的坐標(biāo)系，則A（0，0），B（1，0），D（0，2），C（1，2），∵動點P在以點C為圓心且與BD相切的圓上，設(shè)圓的半徑為r，∵BC=2，CD=1，∴BD==∴BC?CD=BD?r，∴r=，∴圓的方程為（x﹣1）2+（y﹣2）2=，設(shè)點P的坐標(biāo)為（cosθ+1，sinθ+2），∵=λ+μ，∴（cosθ+1，sinθ+2）=λ（1，0）+μ（0，2）=（λ，2μ），∴cosθ+1=λ，sinθ+2=2μ，∴λ+μ=cosθ+sinθ+2=sin（θ+φ）+2，其中tanφ=2，∵﹣1≤sin（θ+φ）≤1，∴1≤λ+μ≤3，故λ+μ的最大值為3，故選：A．【點評】本題考查了向量的坐標(biāo)運算以及圓的方程和三角函數(shù)的性質(zhì)，關(guān)鍵是設(shè)點P的坐標(biāo)，考查了學(xué)生的運算能力和轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題．9.（2022年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試新課標(biāo)Ⅲ卷數(shù)學(xué)（理3））已知向量=（，），=（，），則∠ABC=（）A．30° B．45° C．60° D．120° 【考點】9S：數(shù)量積表示兩個向量的夾角．【專題】11：計算題；41：向量法；49：綜合法；5A：平面向量及應(yīng)用．【分析】根據(jù)向量的坐標(biāo)便可求出，及的值，從而根據(jù)向量夾角余弦公式即可求出cos∠ABC的值，根據(jù)∠ABC的范圍便可得出∠ABC的值．【解答】解：，；∴；又0°≤∠ABC≤180°；∴∠ABC=30°．故選：A．【點評】考查向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算，根據(jù)向量坐標(biāo)求向量長度的方法，以及向量夾角的余弦公式，向量夾角的范圍，已知三角函數(shù)值求角．10.（2022年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試新課標(biāo)Ⅰ卷數(shù)學(xué)（文7））在△ABC中，AD為BC邊上的中線，E為AD的中點，則=（）A．﹣ B．﹣ C．+ D．+ 【考點】9H：平面向量的基本定理．【專題】34：方程思想；41：向量法；5A：平面向量及應(yīng)用．【分析】運用向量的加減運算和向量中點的表示，計算可得所求向量．【解答】解：在△ABC中，AD為BC邊上的中線，E為AD的中點，=﹣=﹣=﹣×（+）=﹣，故選：A．【點評】本題考查向量的加減運算和向量中點表示，考查運算能力，屬于基礎(chǔ)題．11.（2022年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試新課標(biāo)Ⅰ卷數(shù)學(xué)（文13））已知向量=（﹣1，2），=（m，1），若向量+與垂直，則m=．【答案】見解析。【考點】9T：數(shù)量積判斷兩個平面向量的垂直關(guān)系．【專題】11：計算題；34：方程思想；4O：定義法；5A：平面向量及應(yīng)用．【分析】利用平面向量坐標(biāo)運算法則先求出，再由向量+與垂直，利用向量垂直的條件能求出m的值．【解答】解：∵向量=（﹣1，2），=（m，1），∴=（﹣1+m，3），∵向量+與垂直，∴（）?=（﹣1+m）×（﹣1）+3×2=0，解得m=7．故答案為：7．【點評】本題考查實數(shù)值的求法，是基礎(chǔ)題，解題時要認真審題，注意平面向量坐標(biāo)運算法則和向量垂直的性質(zhì)的合理運用．12.（2022年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試新課標(biāo)Ⅰ卷數(shù)學(xué)（文13））設(shè)向量=（x，x+1），=（1，2），且⊥，則x=．【答案】見解析。【考點】9T：數(shù)量積判斷兩個平面向量的垂直關(guān)系．【專題】11：計算題；41：向量法；49：綜合法；5A：平面向量及應(yīng)用．【分析】根據(jù)向量垂直的充要條件便可得出，進行向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算即可得出關(guān)于x的方程，解方程便可得出x的值．【解答】解：∵；∴；即x+2（x+1）=0；∴．故答案為：．【點評】考查向量垂直的充要條件，以及向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算，清楚向量坐標(biāo)的概念．13.（2022年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試新課標(biāo)Ⅱ卷數(shù)學(xué)（文4））已知向量，滿足||=1，=﹣1，則?（2）=（）A．4 B．3 C．2 D．0 【考點】91：向量的概念與向量的模；9O：平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運算．【專題】11：計算題；38：對應(yīng)思想；4O：定義法；5A：平面向量及應(yīng)用．【分析】根據(jù)向量的數(shù)量積公式計算即可．【解答】解：向量，滿足||=1，=﹣1，則?（2）=2﹣=2+1=3，故選：B．【點評】本題考查了向量的數(shù)量積公式，屬于基礎(chǔ)題14.（2022年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試新課標(biāo)Ⅱ卷數(shù)學(xué)（文4））設(shè)非零向量，滿足|+|=|﹣|則（）A．⊥ B．||=|| C．∥ D．||＞|| 【考點】91：向量的概念與向量的模．【專題】11：計算題；34：方程思想；4O：定義法；5A：平面向量及應(yīng)用．【分析】由已知得，從而=0，由此得到．【解答】解：∵非零向量，滿足|+|=|﹣|，∴，，，解得=0，∴．故選：A．【點評】本題考查兩個向量的關(guān)系的判斷，是基礎(chǔ)題，解題時要認真審題，注意向量的模的性質(zhì)的合理運用．15.（2022年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試新課標(biāo)Ⅱ卷數(shù)學(xué)（文13））已知向量=（m，4），=（3，﹣2），且∥，則m=．【答案】見解析?！究键c】9K：平面向量共線（平行）的坐標(biāo)表示．【專題】11：計算題；29：規(guī)律型；5A：平面向量及應(yīng)用．【分析】直接利用向量共線的充要條件列出方程求解即可．【解答】解：向量=（m，4），=（3，﹣2），且∥，可得12=﹣2m，解得m=﹣6．故答案為：﹣6．【點評】本題考查向量共線的充要條件的應(yīng)用，考查計算能力．16.（2022年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試新課標(biāo)Ⅲ卷數(shù)學(xué)（文13））已知向量=（1，2），=（2，﹣2），=（1，λ）．若∥（2+），則λ=．【答案】見解析【考點】96：平行向量（共線）；9J：平面向量的坐標(biāo)運算．【專題】11：計算題；34：方程思想；4O：定義法；5A：平面向量及應(yīng)用．【分析】利用向量坐標(biāo)運算法則求出=（4，2），再由向量平行的性質(zhì)能求出λ的值．【解答】解：∵向量=（1，2），=（2，﹣2），∴=（4，2），∵=（1，λ），∥（2+），∴，解得λ=．故答案為：．【點評】本題考查實數(shù)值的求法，考查向量坐標(biāo)運算法則、向量平行的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，考查函數(shù)與方程思想，是基礎(chǔ)題．17.（2022年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試新課標(biāo)Ⅲ卷數(shù)學(xué)（文13））已知向量=（﹣2，3），=（3，m），且，則m=．【答案】見解析?！究键c】9T：數(shù)量積判斷兩個平面向量的垂直關(guān)系．【專題】11：計算題；34：方程思想；4O：定義法；5A：平面向量及應(yīng)用．【分析】利用平面向量數(shù)量積坐標(biāo)運算法則和向量垂直的性質(zhì)求解．【解答】解：∵向量=（﹣2，3），=（3，m），且，∴=﹣6+3m=0，解得m=2．故答案為：2．【點評】本題考查實數(shù)值的求法，是基礎(chǔ)題，解題時要認真審題，注意平面向量數(shù)量積坐標(biāo)運算法則和向量垂直的性質(zhì)的合理運用．18.（2022年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試新課標(biāo)Ⅲ卷