高中數(shù)學(xué)講義微專題函數(shù)值域的求法

04調(diào)函數(shù)，則在邊界處取得最值（臨界值fxxfx在a,bfxM,m，則值域?yàn)閙Mfx

fx一次函數(shù)（ykxb二次函數(shù)（yax2bxc例：fxx22x3x1,4xfyxxyxyyxaaxx1a注：因?yàn)榇祟惡瘮?shù)的值域與a相關(guān)，求ax的系數(shù)為1，再去確定a的值y2x4a4xy2x2，再求得a x a②極值點(diǎn)：x a,xa

a,

a,

a,2a

a

a,yxaax

x1aaxa（yaxa1與0a10,對(duì)數(shù)函數(shù)（ylogax）其函數(shù)圖像分為a1與0a1兩種情況，可根據(jù)圖像求得值域，在自然定義域下的值域?yàn)?①通過(guò)換元可將函數(shù)解析式簡(jiǎn)化，例如當(dāng)解析式中含有根式時(shí)，通過(guò)將根式視為一個(gè)整體，x的某個(gè)表達(dá)式有關(guān)，那么自然將這個(gè)表達(dá)式視為研究對(duì)象。①yafx,y

fx②y

fax,y

flogax,y

fsinxxyft的形式，然后求值域即可。當(dāng)然要注意有些解析式中y4x2x18y2x222x8，從而可確定研究對(duì)象為x1fx2x

的值域是 0,

17,

15,

xx

t

xt2y2t21t2t

144

8fx的值域?yàn)?5 1例2（1）函數(shù)y3x1的值域?yàn)?0,

x|x

（2）函數(shù)fx4x2x18,x2,2y

exex

的值域 （1）題：令t

x

，則t 0,，所以可得y3t（2）fx4x2x182x222x8，將2x視為一個(gè)整體令t2xfx4x2x182x222x令tt1

x yt22t8t12fx的值域?yàn)閑x ex

ex1

1ex1

exex10xex ex

1ex

令te

t0,ty

exex

0,答案（1）B 3fx3

gx3logx23logx2logx24logx 1x2 gx3logx23logx

gx

fx2fx的定義域?yàn)?1x3

x

x2

x logx24logx 1x2

1x

令tlog2x，則tyt24t6t22fx

域結(jié)合求得值域，如：分式→直線的斜率；被開方數(shù)為平方和的根式→兩點(diǎn)間距離例4：（1）

yf

RMfx,fxfMM,fx

則稱函數(shù)fMx

fx的孿生函數(shù)，若給定函數(shù)

,M1，則yfMx的值域?yàn)?/p>

（1）fxyMMyMfMx的值域?yàn)閙ina,b,cfx轉(zhuǎn)為分段函數(shù)，則需要通過(guò)數(shù)形結(jié)合可得fxyx21y53x在第

fxyx2 x一象限的交點(diǎn)，即y53xy2fxmax 答案（1）A （2）例5：已知函數(shù)fxx22a2xa2gxx22a2xa28，設(shè)H1xmaxfx,gx,H2xminfx,gx，（其中maxp,q表示p,q中的較AB 將fx,gxH1x為fxgx圖像中位于上方的部分，而H2x為fxgxfxgx fxxa224a 方可得：

，其中4a44a12gxfxH1xH2x的圖像，其值域與fxgx的交點(diǎn)有關(guān)，即各自的頂點(diǎn)a24a12,a24a4，所以H1

A4a4,

H2

B,4a

B4a4,4a4a44a6（1）xx2（2）x2

x2x22x（1）y是xxlnx與定點(diǎn)13fxxlnfx1lnxx2,4fx0fx為增函 f22ln2,f44ln48lnA2,2ln2B4,8ln2定點(diǎn)CkAC2ln23,

8ln23y , 2ln23,8ln2 x2（2x2

x2x22x

x2x2

x,0到點(diǎn)0,2,1,3xx2yx2

x22xx20x1x22xx20x120

PAPAPB

PB

（PAB共線xxPAPB

26,的特點(diǎn)（x,0，所以找到了一個(gè)共同的動(dòng)點(diǎn)x,0（1） （2）

26, ①增增 減減1增 若函數(shù)的符號(hào)恒正或恒負(fù)，則1增②復(fù)合函數(shù)單調(diào)性：復(fù)合函數(shù)y

fgx可拆成yft,tgx，則若yft,tgxy

y

fxfxfx0fxfx0fxx+x或（即函數(shù)圖象是否有水平漸近線fxxa,b1xxafx的值是接近與一個(gè)常數(shù)（即臨界值）1x7（1）

1的值域?yàn)?/p>

（2）fxfx

的值域?yàn)?x1x1xx1x332x2x2

22（1 x31的導(dǎo)數(shù)fx 較易分析出單調(diào)性，所以考慮利用導(dǎo)數(shù)求出fx的單調(diào)21x

x12112xx12112xx3121x xx1令f'xx1x31xx2f1 22 21x 1x所以想到

1xx34，從而可設(shè)

，由 可知x3 x30，所以原函數(shù)的值域轉(zhuǎn)化為求y2sin2cos1的值域，從而有 2y22sin1，由0y2

4

（2）思路：函數(shù)的定義域?yàn)閤1，從而發(fā)現(xiàn)1x1x，所以函數(shù)的解析式為1fxx ，觀察可得fx為增函數(shù)，且x時(shí)，fx1x,1fx的值域?yàn)棰诒绢}也可用換元法，設(shè)t

1132x0x13fx32x232x

50x

112x12x2

32x2x232x2x2

乘法，例如hxfxgxfxgx均為增（減）fxgx0，才能得到hx為增（減）（1）D 4、方程思想：本方法是從等式的角度觀察函數(shù)，將其視為一個(gè)含參數(shù)yx的方程時(shí)只要有一個(gè)根。從而將求值域問(wèn)題轉(zhuǎn)化為yFxy0有解”的問(wèn)題。利yy的范圍即值域2x24x8（1）

x22x

的值域?yàn)?9

7

9,2

（2）y

sinxcosx

（1）數(shù)y2x22y4x3y70Ry0y2，方程為130，無(wú)y2時(shí)，二次方程有解的條件為0y的不等式，求解即可y

2x24xx22x

可得x2y2xy3y2x24xy2x22y4x3y7x22x3x122yy2時(shí)，130

y22y424y23y72y9y29y2綜上所述：函數(shù)的值域?yàn)?,2 域問(wèn)題轉(zhuǎn)化為y取何值時(shí)方程有解”0y的不等式②理，那么要解決的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為：y取何值時(shí)，方程在a,b有根”（2）本題不易將函數(shù)變?yōu)閮H含sinx或cosx的形式，考慮去分母得：sinxycosx2y則y的取值只要讓方程有解即可。觀察左側(cè)式子特點(diǎn)可想到俯角，從而得11

2y

11y

1y2y12y1cosxy

sinx1ycosx2ysinx1cosx2sinxycosx2y1y2sinx2y1，即sinx

2y

，其中tan11

12y1212y13y24y02y1 小煉有話說(shuō)：本題除了用方程思想，也可用數(shù)形結(jié)合進(jìn)行解決，把分式視為的取值范圍。作圖求解即可。本類型運(yùn)用方程思想處理的局限性在于輔角與y的取值相y的不等式，所以還是用數(shù)形結(jié)合比較方便（1）D（2）4,0 例9：已知函數(shù)ylgx22xm的值域?yàn)镽，則m的取值范圍是 m

m

m

mylgt,tx22xmR質(zhì)可知t應(yīng)取遍所有的正數(shù)（Rtx22xmA0A，由二次函數(shù)的圖像可知，當(dāng)0時(shí)，可滿足以上要求。所以44m解得m例10：在計(jì)算機(jī)的算法語(yǔ)言中有一種函數(shù)x叫做取整函數(shù)（也 ，21x21x的最大整數(shù)，例如：22,3.13,2.63fx12x

x的定義可知，若要求出x，則要將確定里面x的范圍，所以若求

fx,f

yfxfx

x

的值域即可，2

1

2xfx12x2212xfx12x2212x

fxfxfxfxfxfx1

當(dāng)x0時(shí)，2x12,從而 0,1所以fx0,1 2x

2x 2

2 fxfx1,0fx0fx1y1 x0y1x0時(shí)，fxfx0y0，綜上所述：（1）式的特點(diǎn)判斷出fx為奇函數(shù)，從而只需計(jì)算fx的范圍，再利用奇函數(shù)的性質(zhì)推出fx

2 1 f 1

fx,fx fx12x 2x間的聯(lián)系，但通過(guò)“通分”即可得到

212x

fx 1

2x212x

fx212x但通過(guò)“分離常數(shù)”得到fx1 2x一、所用到的三個(gè)函數(shù)（其性質(zhì)已文介紹1yx2yxaax3yxaaxy31x12x

1x域

3x

解：x1

11 y317, y313x1y3x1 y31進(jìn)行求解。由此得到xfxaxbfxab fx2x3x1xfxaxbx解：令tx1,t2

xtft2t525y13 24 fxaxb（分子分母均為一次的分式）的函數(shù)，通過(guò)換元tcxcxftptqtfxx1x1

a1x1f12f1,f3f15,f310故值域?yàn)?1022 22

3思考1：那么fxx1,x1,3你是否會(huì)求呢？記住，圖像是 手 x2思考2：fxx ax2bx 形如y 的函數(shù)可通過(guò)分離常數(shù)轉(zhuǎn)化為yax b的形式，進(jìn)而可依 yxaxx23xfx

x

,x解：設(shè)tx1t2 t25t 82ft t 822 2

（

ymin

ft22

ft211,ft4y

22ax2bxydx

的函數(shù)可通過(guò)換元tdxe那么，例：f