2023屆河南省安陽一中高三2月月考 數(shù)學（理）（解析版）

2023屆河南省安陽一中高三下學期2月聯(lián)考數(shù)學（理）試題一、單選題1．設，則（

）A．， B．，C．， D．，【答案】A【分析】由復數(shù)乘法運算和復數(shù)的相等可直接求得結(jié)果.【詳解】由得：，，.故選：A.2．已集合，若，則實數(shù)a的取值集合是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用子集的定義即可求解.【詳解】，∴當時，，滿足；當時，若，則時，時，．的取值集合是．故選：C．3．已知向量滿足，則（

）A． B．0 C．1 D．2【答案】D【分析】由，將代入化簡即可得出答案.【詳解】，兩邊平方，得，．故選：D．4．已知，且，則（

）A． B． C． D．或【答案】B【分析】根據(jù)二倍角正弦公式和正余弦齊次式的求法可構(gòu)造方程求得可能的取值，結(jié)合的范圍可求得結(jié)果.【詳解】，或，，，則.故選：B.5．已知直線與雙曲線有且僅有1個交點，則雙曲線C的離心率為（

）A．5 B． C． D．【答案】D【分析】直線與雙曲線有且僅有1個交點，分兩種情況，①直線與雙曲線的漸近線平行可得，即可求出雙曲線C的離心率；②直線與雙曲線相切，由，可得與題意不符合.【詳解】解：因為直線與雙曲線有且僅有1個交點，聯(lián)立可得：①直線與雙曲線的漸近線平行，則可知，則雙曲線C的離心率．②直線與雙曲線相切，所以，解得：，則與題意不符合.所以雙曲線C的離心率為故選：D．6．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的（

）A． B． C．0 D．3【答案】D【分析】根據(jù)程序框圖的循環(huán)結(jié)構(gòu)結(jié)合特殊角的三角函數(shù)值求解.【詳解】，由程序框圖可知，．故選：D．7．已知奇函數(shù)的定義域為，且為偶函數(shù)，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)奇偶函數(shù)定義和奇函數(shù)的性質(zhì)可化簡得到，由此可得結(jié)果.【詳解】為偶函數(shù)，；又為定義在上的奇函數(shù)，，，.故選：B.8．已知函數(shù)在上有且僅有2個零點，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用兩角和與差的正弦，余弦公式將函數(shù)化簡，然后根據(jù)變量的取值范圍和余弦函數(shù)的圖像即可求解.【詳解】．當時，．在內(nèi)有且僅有2個零點，，．故選：．9．在中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別是a，b，c，且．若D是BC邊的中點，且，則面積的最大值為（

）A．16 B．C． D．【答案】B【分析】首先根據(jù)題意利用余弦定理得到，根據(jù)是邊BC的中點得到，從而得到，再利用基本不等式求解即可.【詳解】因為，由正弦定理得，所以，，因為，所以.因為是邊BC的中點，所以，.因為，所以，所以，當且僅當時，等號成立.所以，即面積最大為．故選：B10．若對任意的恒成立，則實數(shù)a的最大值為（

）A． B．1 C．e D．【答案】C【分析】將原不等式變形，構(gòu)造函數(shù)，轉(zhuǎn)化為函數(shù)單調(diào)遞減，進而轉(zhuǎn)化為恒成立求解即可.【詳解】因為等價于，即，即．設，所以，即在上單調(diào)遞減，因為，所以在上恒成立，即，即，故a的最大值為e．故選：C．11．如圖，在圓柱中，為底面直徑，是的中點，是母線的中點，是上底面上的動點，若，，且，則點的軌跡長度為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】作，由圓柱的結(jié)構(gòu)特征和線面垂直的判定可知平面，則點軌跡是平面與上底面的交線，結(jié)合勾股定理可求得長，即為所求軌跡長度.【詳解】連接，作，交于點，是的中點，，平面，平面，，，平面，平面，又平面，，又，，平面，平面，設平面與上底面交于，，點的軌跡為；，，是母線中點，，，.故選：C.12．已知，則（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】構(gòu)造函數(shù)，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，進而判斷大小關系.【詳解】令，則．令，則，在上單調(diào)遞增．，而當時，．令，則，在上單調(diào)遞減，，即，．故選:．二、填空題13．的展開式中的系數(shù)為___________（用數(shù)字作答）．【答案】【分析】利用二項式定理可得展開式通項，分別在和的情況下求得含的項，由此可得結(jié)果.【詳解】展開式的通項為：，當時，，則此時含的項為；當時，，則此時含的項為；的系數(shù)為.故答案為：.14．《中國居民膳食指南（）》數(shù)據(jù)顯示，歲至歲兒童青少年超重肥胖率高達．為了解某地中學生的體重情況，某機構(gòu)從該地中學生中隨機抽取名學生，測量他們的體重（單位：千克），根據(jù)測量數(shù)據(jù)，按，，，，，分成六組，得到的頻率分布直方圖如圖所示．根據(jù)調(diào)查的數(shù)據(jù)，估計該地中學生體重的中位數(shù)是___________．【答案】【分析】根據(jù)頻率分布直方圖估計中位數(shù)的方法直接計算即可.【詳解】，，該地中學生體重的中位數(shù)位于內(nèi)，設中位數(shù)為，則，解得：.故答案為：.15．已知拋物線的焦點為F，點A，B在拋物線上．若，則當取得最大值時，___________．【答案】或4【分析】利用余弦定理可得，再利用基本不等式可求得的最大值，再結(jié)合拋物線的對稱性即可求得的值．【詳解】在中，由余弦定理可得．，．，，當且僅當時，等號成立．根據(jù)拋物線的對稱性可知，或，或4．故答案為：或4．16．已知數(shù)列滿足，，數(shù)列的前項和為，則的整數(shù)部分是___________．【答案】【分析】根據(jù)已知關系式可得，知數(shù)列為遞增數(shù)列；采用裂項相消法可求得，知，由數(shù)列單調(diào)性可求得，由此可推導得到，從而求得結(jié)果.【詳解】，，又，，，數(shù)列為遞增數(shù)列；，，則；，；，，，，，，則的整數(shù)部分為.故答案為：.【點睛】關鍵點點睛：本題考查利用數(shù)列遞推關系式研究數(shù)列的性質(zhì)及裂項相消法求和的問題；解題關鍵是能夠?qū)?shù)列遞推關系式進行變形，得到、，從而確定的表達式.三、解答題17．如圖，在三棱柱中，平面，，是等邊三角形，D，E，F(xiàn)分別是棱，AC，BC的中點.(1)證明：平面.(2)求平面ADE與平面夾角的余弦值.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）由線線平行證明面面平行，再由面面平行證明線面平行；（2）建立空間直角坐標系，用向量法求解兩平面夾角的余弦值.【詳解】（1）證明：連接BD.因為E，F(xiàn)分別是棱AC，BC的中點，所以.因為平面，平面，所以平面.因為D，F(xiàn)分別是棱，BC的中點，所以，，所以四邊形是平行四邊形，則.因為平面，平面，所以平面.因為平面ABD，且，所以平面平面.因為平面ABD，所以平面.（2）解：取的中點，連接，，易證，，OE兩兩垂直，則以O為原點，分別以，，的方向為x，y，z軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系.設，則，，，，，從而，，，.設平面ADE的法向量為，則令，得，設平面的法向量為，則令，得.設平面與平面的夾角為，則.18．已知數(shù)列滿足，且．(1)設，證明：是等比數(shù)列；(2)設數(shù)列的前n項和為，求使得不等式成立的n的最小值．【答案】(1)證明見解析(2)20【分析】（1）由已知條件，用表示出，得出，再用表示出，得出，聯(lián)立得出，通過構(gòu)造得出，檢驗，即可得出證得結(jié)論；（2）由（1）的結(jié)論表示出，和，證出在是一個增數(shù)列，通過計算即可得出答案．【詳解】（1）證明：∵，，，，,又，，,，，又，，,,即，，又，，，∴數(shù)列是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列．（2）由（1）可知數(shù)列是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，，即，，，，又，，即,，，，在是一個增數(shù)列，，，∴滿足題意的n的最小值是20．19．某化學實驗課老師在學期末要對所教學生進行一次化學實驗考核，每個學生需要獨立完成該實驗考核．根據(jù)以往數(shù)據(jù)，在五名學生中，三人能獨立完成實驗的概率均為，兩人能獨立完成實驗的概率均為．(1)若，求這五名學生中恰有四名學生通過實驗考核的概率；(2)設這五名學生中通過實驗考核的人數(shù)為隨機變量，若的數(shù)學期望，求的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)獨立事件概率公式直接求解即可；（2）首先確定所有可能的取值，并求得每個取值對應的概率，由數(shù)學期望公式可求得，由可解不等式求得結(jié)果.【詳解】（1）設“這五名學生中恰有四名學生通過實驗考核”為事件，則.（2）由題意知：的可能取值為，則，，，，，，，解得：，又，的取值范圍為.20．已知橢圓的左頂點為，右焦點為．(1)求橢圓C的標準方程；(2)過點F的直線l與橢圓C交于點M，N（異于點A），直線AM，AN分別與直線交于點P，Q．問：的大小是否為定值？若是，求出此定值；若不是，請說明理由．【答案】(1)(2)的大小為定值【分析】（1）根據(jù)題意得到，即可得到答案；（2）當直線軸時，得到，，從而得到，即可得到，當直線l的斜率不為0時，設直線，得到，，再根據(jù)即可得到.【詳解】（1）依題意，得，，所以橢圓C的標準方程為；（2）為定值．①當直線軸時，代入橢圓方程，得，直線AM的方程為，令，得，．同理可得，，則，即；②當直線l的斜率不為0時，設直線，聯(lián)立整理得，易知，且，直線AM的方程為，令，得，則，同理可得．，，，綜上所述，的大小為定值．21．已知函數(shù)，且曲線在點處的切線與x軸平行．(1)求實數(shù)a的值和的單調(diào)區(qū)間；(2)若，且，證明：．【答案】(1)；的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為(2)證明見解析【分析】（1）對求導，由可求出實數(shù)a的值，結(jié)合導數(shù)與單調(diào)性關系即可求解的單調(diào)區(qū)間；（2）構(gòu)造函數(shù)，利用導數(shù)判斷的單調(diào)性，得到在上恒成立，即可證明，再結(jié)合的單調(diào)性，即可證明.【詳解】（1），，由題可知，即，，當或時，，當時，，的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為；（2）證明：由（1）可知，設，則，，，在上單調(diào)遞增，，在上恒成立，即對一切恒成立，，，在上單調(diào)遞增，且，，，即．22．在平面直角坐標系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）．以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為．(1)求曲線的普通方程和曲線的直角坐標方程；(2)射線與曲線異于原點的交點為A，與曲線異于原點的交點為B，求的值．【答案】(1)；(2)【分析】（1）曲線通過平方關系消元得普通方程，曲線化為，由公式法化為直角坐標方程；（2）將曲線化為極坐標方程，求出A、B極坐標，即可得.【詳解】（1）曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），轉(zhuǎn)化為普通方程為，曲線的極坐標方程為，即，轉(zhuǎn)化為直角坐標方程為，即.；（2）曲線對應的極坐標方程為，得，當時，，．23．已知函數(shù)．