點的合成運動

點的合成運動第一頁，共四十八頁，2022年，8月28日一、動點、定坐標(biāo)系、動坐標(biāo)系前面研究了動點對于一個參考坐標(biāo)系的運動。為了研究方便，把所研究的點稱為動點，把固連于地球上的參考坐標(biāo)系稱為定坐標(biāo)系（靜坐標(biāo)系）；而把另一個相對于定坐標(biāo)系運動的坐標(biāo)系稱為動坐標(biāo)系（動系）

。M在不同的參考坐標(biāo)系中對同一個點的運動的描述得到的結(jié)果是不一樣的。7.1相對運動牽連運動絕對運動第二頁，共四十八頁，2022年，8月28日7.1相對運動牽連運動絕對運動二、絕對運動相對運動牽連運動的概念為了區(qū)分動點對于不同坐標(biāo)系的運動，規(guī)定：動點相對于定坐標(biāo)系的運動稱為絕對運動。動點相對于動坐標(biāo)系的運動稱為相對運動。動坐標(biāo)系相對于定坐標(biāo)系的運動稱為牽連運動。動點的絕對運動和相對運動都是指動點的運動，而牽連運動是指坐標(biāo)系的運動，實際上是剛體的運動。動點動系定系相對運動牽連運動絕對運動第三頁，共四十八頁，2022年，8月28日三、合成運動的概念

如果沒有牽連運動，則動點的相對運動就是它的絕對運動；反之，如果沒有相對運動，則動點隨同動坐標(biāo)系所作的運動（牽連運動）就是它的絕對運動。由此可

見，動點的絕對運動既決定于動點的相對運動，也決定于動坐標(biāo)系的運動即牽連運動，它是這兩種運動的合成，因此這種類型的運動就稱為點的合成運動。7.1相對運動牽連運動絕對運動第四頁，共四十八頁，2022年，8月28日三、合成運動的概念

研究點的合成運動的主要問題，就是如何由已知動點的相對運動與牽連運動求出絕對運動；或者，如何將已知的絕對運動分解為相對運動與牽連運動?？傊?，在這里要研究這三種運動的關(guān)系。7.1相對運動牽連運動絕對運動第五頁，共四十八頁，2022年，8月28日四、絕對運動的速度與加速度動點在定系的運動中的軌跡、速度和加速度稱為絕對軌跡、絕對速度和絕對加速度。用和分別表示絕對速度和絕對加速度。M7.1相對運動牽連運動絕對運動第六頁，共四十八頁，2022年，8月28日五、相對運動的速度與加速度動點在動系的運動中的軌跡、速度和加速度稱為相對軌跡、相對速度和相對加速度。用和分別表示相對速度和相對加速度。M7.1相對運動牽連運動絕對運動第七頁，共四十八頁，2022年，8月28日六、

牽連運動的速度與加速度在某一瞬時，動坐標(biāo)系上和動點相重合的點（瞬時牽連點）相對靜坐標(biāo)系的速度和加速度稱為該瞬時的牽連速度和牽連加速度。用和分別表示牽連速度和牽連加速度。注意：牽連速度和牽加速度完全由動坐標(biāo)系的運動決定；

7.1相對運動牽連運動絕對運動第八頁，共四十八頁，2022年，8月28日

例1如圖桿長l，繞O軸以勻角速度轉(zhuǎn)動，圓盤半徑為r，繞

軸以角速度轉(zhuǎn)動。求圖示位置時，圓盤邊緣和點的牽連速度和加速度（靜系取在地面上，動系取在桿上）。解：7.1相對運動牽連運動絕對運動第九頁，共四十八頁，2022年，8月28日7.2點的速度合成定理下面研究點的絕對速度、牽連速度和相對速度的關(guān)系。如圖，由圖中矢量關(guān)系可得：將上式兩端同除，并令，取極限，得由速度的定義：第十頁，共四十八頁，2022年，8月28日點的速度合成定理于是可得：即：動點在某一瞬時的絕對速度等于它在該瞬時的牽連速度與相對速度的矢量和。這就是點的速度合成定理。注意：（1）速度關(guān)系式是平面矢量方程；（2）絕對速度是對角線；（3）牽連速度為任何形式的運動時，速度關(guān)系式都成立。7.2第十一頁，共四十八頁，2022年，8月28日點的速度合成定理

在應(yīng)用速度合成定理來解決具體問題時，應(yīng)注意：（1）動點及動坐標(biāo)系的選??；（2）對于三種運動及三種速度的分析；（3）根據(jù)速度合成定理并結(jié)合個速度的已知條件先作出速度矢量圖；然后利用三角關(guān)系或矢量投影定理求解未知量。7.2第十二頁，共四十八頁，2022年，8月28日點的速度合成定理

例2如圖半徑為R的半圓形凸輪以勻速沿水平軌道運動，帶動頂桿AB沿鉛垂滑槽滑動，求在圖示位置時，桿AB的速度。解：以桿端A為動點，定系取在地面上，動系取在凸輪上。方向大小？？7.2第十三頁，共四十八頁，2022年，8月28日點的速度合成定理

例3偏心凸輪以勻角速度繞O軸轉(zhuǎn)動，使頂桿AB沿鉛直槽運動，軸O在滑槽的軸線上，偏心距OC=e，凸輪半徑，試求的圖示位置時，頂桿AB的速度。由幾何關(guān)系可得解：以桿端A為動點，定系取在地面上，動系取在輪上。動點的速度合成矢量圖如圖。建立如圖的投影坐標(biāo)軸，由將矢量投影到投影軸上，得因為于是可解得7.2第十四頁，共四十八頁，2022年，8月28日點的速度合成定理

例4直角折桿OBC繞O軸勻速轉(zhuǎn)動，并帶動套在其上的小環(huán)M沿固定直桿OA滑動，如圖。已知：OB=10cm，折桿的角速度。求當(dāng)，小環(huán)M的速度。解：以小環(huán)M為動點，定系取在地面上，動系取在折桿OBC上。方向大小？？建立如圖的投影坐標(biāo)軸，將矢量投影到投影軸上，得7.2第十五頁，共四十八頁，2022年，8月28日點的速度合成定理解之得7.2第十六頁，共四十八頁，2022年，8月28日點的速度合成定理

例3偏心凸輪以勻角速度繞O軸轉(zhuǎn)動，使頂桿AB沿鉛直槽運動，軸O在滑槽的軸線上，偏心距OC=e，凸輪半徑，試求的圖示位置時，頂桿AB的速度。由幾何關(guān)系可得解：以桿端A為動點，定系取在地面上，動系取在輪上。動點的速度合成矢量圖如圖。建立如圖的投影坐標(biāo)軸，由將矢量投影到投影軸上，得因為于是可解得7.2第十七頁，共四十八頁，2022年，8月28日點的速度合成定理

例5圖示平底頂桿凸輪機構(gòu)，頂桿AB可沿導(dǎo)軌上下平動，偏心凸輪以等角速度繞O軸轉(zhuǎn)動，O軸位于頂桿的軸線上，工作時頂桿的平底始終接觸凸輪表面，設(shè)凸輪半徑為R，偏心距OC=e，OC與水平線的夾角為，試求當(dāng)時，頂桿AB的速度。解：以凸輪圓心C為動點，定系取在地面上，動系取在頂桿AB上。方向大??？？7.2第十八頁，共四十八頁，2022年，8月28日點的速度合成定理

例6如圖車A沿半徑為150m的圓弧道路以勻速行駛，車B沿直線道路以勻速行駛，兩車相距30m，求：（1）A車相對B車的速度；（2）B車相對A車的速度。解：（1）以車A為動點，定系取在地面上，動系取在車B上。動點的速度合成矢量圖如圖。由圖可得：7.2第十九頁，共四十八頁，2022年，8月28日點的速度合成定理（2）以車B為動點，定系取在地面上，動系取在車A上。動點的速度合成矢量圖如圖。7.2第二十頁，共四十八頁，2022年，8月28日點的速度合成定理

例7兩直桿分別以、的速度沿垂直于桿的方向平動，其交角為，求套在兩直桿上的小環(huán)M的速度。解：以小環(huán)M為動點，定系取在地面上，動系取在AB桿上，動點的速度合成矢量圖如圖。于是有：（1）以小環(huán)M為動點，靜系取在地面上，動系取在CD桿上，動點的速度合成矢量圖如圖。于是有：（2）7.2第二十一頁，共四十八頁，2022年，8月28日點的速度合成定理比較（1）、（2）式，可得：建立如圖的投影軸，將上式投影到投影軸上，得：即：于是可得：7.2第二十二頁，共四十八頁，2022年，8月28日牽連運動為平動時點的加速度合成定理如圖，設(shè)為平動參考系，動點M相對于動系的相對坐標(biāo)為、、，則動點M的相對速度和加速度為將前式對時間求一階導(dǎo)數(shù)，并和上式比較，有：由點的速度合成定理有：兩邊對時間求導(dǎo)，得：7.3第二十三頁，共四十八頁，2022年，8月28日由于于是可得：即：當(dāng)牽連運動為平動時，動點在某瞬時的絕對加速度等于該瞬時它的牽連加速度與相對加速度的矢量和。這就是牽連運動為平動時點的加速度合成定理。

上式為牽連運動為平動時點的加速度合成定理的基本形式。其最一般的形式為：具體應(yīng)用時，只有分析清楚三種運動，才能確定加速度合成定理的形式。牽連運動為平動時點的加速度合成定理7.3第二十四頁，共四十八頁，2022年，8月28日牽連運動為平動時點的加速度合成定理

例7圖示曲柄滑桿機構(gòu)，曲柄長OA=r，當(dāng)曲柄與鉛垂線成時，曲柄的角速度為，角加速度為，求此時BC的速度和加速度。解：以滑塊A為動點，定系取在地面上，動系取在BC桿上，動點的速度合成矢量圖如圖。建立如圖的投影坐標(biāo)軸，由，將各矢量投影到投影軸上，得即：該速度即為BC的速度。7.3第二十五頁，共四十八頁，2022年，8月28日牽連運動為平動時點的加速度合成定理動點的加速度合成矢量圖如圖。其中：建立如圖的投影坐標(biāo)軸，由，將各矢量投影到軸上，得于是可得該加速度即為BC的加速度。7.3第二十六頁，共四十八頁，2022年，8月28日牽連運動為平動時點的加速度合成定理

例8圖示半徑為r的半圓形凸輪在水平面上滑動，使直桿OA可繞軸O轉(zhuǎn)動。OA=r，在圖示瞬時桿OA與鉛垂線夾角，桿端A與凸輪相接觸，點O與在同一鉛直線上，凸輪的的速度為，加速度為。求在圖示瞬時A點的速度和加速度。并求OA桿的角速度和角加速度。解：以桿端A為動點，定系取在地面上，動系取在凸輪上，動點的速度合成矢量圖如圖。建立如圖的投影坐標(biāo)軸，由，將各矢量投影到投影軸上，得7.3第二十七頁，共四十八頁，2022年，8月28日牽連運動為平動時點的加速度合成定理解得：OA桿的角速度為動點的加速度合成矢量圖如圖。其中建立如圖的投影軸，由將各矢量投影到投影軸上，得所以7.3第二十八頁，共四十八頁，2022年，8月28日牽連運動為平動時點的加速度合成定理故OA桿的角加速度7.3第二十九頁，共四十八頁，2022年，8月28日牽連運動為平動時點的加速度合成定理

例9鉸接四邊形機構(gòu)中，，，桿以勻角速度繞軸轉(zhuǎn)動。AB桿上有一滑套C，滑套C與CD桿鉸接，機構(gòu)各部件在同一鉛直面內(nèi)。求當(dāng)時，CD桿的速度和加速度。解：以滑套C為動點，定系取在地面上，動系取AB上，動點的速度合成矢量圖如圖。由于所以7.3第三十頁，共四十八頁，2022年，8月28日牽連運動為平動時點的加速度合成定理動點的加速度合成矢量圖如圖所示。由于所以7.3第三十一頁，共四十八頁，2022年，8月28日牽連運動為轉(zhuǎn)動時點的加速度合成定理思考題半徑為r的圓盤繞中心O以勻角速度逆時針轉(zhuǎn)動。圓盤邊緣有一動點M，以相對速度沿邊緣作勻速圓周運動，如圖。求動點M的加速度。以M為動點，定系取在地面上，動系取在圓盤上顯然方向如圖。而方向如圖?？梢?.4第三十二頁，共四十八頁，2022年，8月28日牽連運動為轉(zhuǎn)動時點的加速度合成定理例5設(shè)有一坐標(biāo)系繞定軸轉(zhuǎn)動.若轉(zhuǎn)動角速度矢量為,試證明泊松公式:其中、、為動坐標(biāo)系坐標(biāo)軸的單位矢量。證明：過定軸上點作點與矢量終點的矢徑和則7.4第三十三頁，共四十八頁，2022年，8月28日牽連運動為轉(zhuǎn)動時點的加速度合成定理將上式對時間求導(dǎo)得同理7.4第三十四頁，共四十八頁，2022年，8月28日牽連運動為轉(zhuǎn)動時點的加速度合成定理動點的牽連速度、牽連加速度分別為：設(shè)有一動坐標(biāo)系繞定軸轉(zhuǎn)動，其轉(zhuǎn)動角速度矢量為、角加速度動點的相對速度、相對加速度分別為：動點的絕對速度為：7.4第三十五頁，共四十八頁，2022年，8月28日牽連運動為轉(zhuǎn)動時點的加速度合成定理

動點的絕對加速度為：科氏加速度：7.4第三十六頁，共四十八頁，2022年，8月28日牽連運動為轉(zhuǎn)動時點的加速度合成定理當(dāng)牽連運動為轉(zhuǎn)動時，加速度合成的結(jié)果和牽連運動為平動時加速度合成的結(jié)果不同。由于動坐標(biāo)系為轉(zhuǎn)動，牽連運動和相對運動的相互影響而產(chǎn)生了一個附加的加速度，稱為科里奧利加速度，簡稱科氏加速度，用表示。于是動點的加速度為即：當(dāng)牽連運動為轉(zhuǎn)動時，動點的絕對加速度等于其牽連加速度、相對加速度與科氏加速度的矢量和。這就是牽連運動為轉(zhuǎn)動時的加速度合成定理。其中其大小為方向由右手法則確定。7.4第三十七頁，共四十八頁，2022年，8月28日牽連運動為轉(zhuǎn)動時點的加速度合成定理

例10直角折桿OBC繞O軸轉(zhuǎn)動，帶動套在其上的小環(huán)M沿固定直桿OA滑動，如圖。已知：OB=10cm，折桿的角速度。求當(dāng)時，小環(huán)M的速度和加速度。解：以小環(huán)M為動點，定系取在地面上，動系取在折桿上。動點的速度合成矢量圖如圖。建立如圖的投影坐標(biāo)軸，由將各矢量投影到投影軸上，得因為7.4第三十八頁，共四十八頁，2022年，8月28日牽連運動為轉(zhuǎn)動時點的加速度合成定理解之得動點的加速度合成矢量圖如圖。其中建立如圖的投影坐標(biāo)軸，由將各矢量投影到投影軸上，得所以故小環(huán)M的速度加速度為7.4第三十九頁，共四十八頁，2022年，8月28日牽連運動為轉(zhuǎn)動時點的加速度合成定理例11偏心凸輪以勻角速度繞O軸轉(zhuǎn)動，使頂桿AB沿鉛直槽運動，軸O在滑槽的軸線上，偏心距OC=e，凸輪半徑，試求的圖示位置時，頂桿AB的速度和加速度。由幾何關(guān)系可得解一：以桿端A為動點，定系取在地面上，動系取在輪上。動點的速度合成矢量圖如圖。建立如圖的投影坐標(biāo)軸，由將各矢量投影到投影軸上，得因為于是可解得7.4第四十頁，共四十八頁，2022年，8月28日牽連運動為轉(zhuǎn)動時點的加速度合成定理動點的加速度合成矢量圖如圖。其中建立如圖的投影坐標(biāo)軸，由將各矢量投影到投影軸上，得故頂桿AB的加速度為可見，的實際方向鉛直向下。7.4第四十一頁，共四十八頁，2022年，8月28日牽連運動為轉(zhuǎn)動時點的加速度合成定理解二：以桿端A為動點，靜系取在地面上，動系取過凸輪中心的平動坐標(biāo)系（如圖）。動點的速度合成矢量圖如圖。動點的加速度合成矢量圖如圖。7.4第四十二頁，共四十八頁，2022年，8月28日牽連運動為轉(zhuǎn)動時點的加速度合成定理解三：以凸輪中心C為動點，靜系取在地面上，動系取