第七章非線性系統(tǒng)

第七章非線性系統(tǒng)第一頁，共七十九頁，2022年，8月28日組成控制系統(tǒng)的元件，其靜態(tài)特性都存在著不同程度的非線性，因此，嚴(yán)格地講，實(shí)際的控制系統(tǒng)都是非線性系統(tǒng)。對(duì)于非線性程度不很嚴(yán)重的，且僅僅在工作點(diǎn)附近小范圍內(nèi)工作的系統(tǒng)，可以用小偏差法將非線性特性線性化，線性化后的系統(tǒng)視為線性系統(tǒng)，用線性理論進(jìn)行分析研究。這對(duì)解決大多數(shù)控制系統(tǒng)的分析和設(shè)計(jì)問題是行之有效的。對(duì)于非線性程度比較嚴(yán)重、輸入信號(hào)變化范圍較大的系統(tǒng)，某些元件將明顯地工作在非線性范圍，這樣的系統(tǒng)稱為本質(zhì)非線性系統(tǒng)，必須用非線性理論進(jìn)行研究。第二頁，共七十九頁，2022年，8月28日7.1非線性系統(tǒng)特性在控制系統(tǒng)中，非線性特性有很多類型，這里只介紹幾種常見的非線性特性。為簡化對(duì)問題的分析，通常將這些非線性特性用簡單的折線來代替。第三頁，共七十九頁，2022年，8月28日1.飽和特性飽和特性的靜特性曲線飽和特性的數(shù)學(xué)表達(dá)式特點(diǎn)：當(dāng)輸入量時(shí)，輸出量與輸入量呈線性關(guān)系，即y=kx當(dāng)輸入量時(shí)，輸出量不再隨輸入的變化而變化，而是被限制在某一常值上。[-a,a]為線性區(qū)，a為線性區(qū)寬度k為線性區(qū)斜率幾乎各類放大器和電磁元件都會(huì)出現(xiàn)飽和現(xiàn)象，執(zhí)行元件的功率限制也是一種飽和現(xiàn)象。第四頁，共七十九頁，2022年，8月28日2.死區(qū)特性死區(qū)特性的靜特性曲線死區(qū)特性的數(shù)學(xué)表達(dá)式特點(diǎn)：當(dāng)輸入量時(shí)，輸出量y=0，當(dāng)輸入量時(shí)，輸出量與輸入量呈線性關(guān)系。[-a，a]為死區(qū)范圍死區(qū)常見于許多控制設(shè)備與控制裝置，如測(cè)量元件、放大元件和執(zhí)行元件中。第五頁，共七十九頁，2022年，8月28日3.滯環(huán)特性（間隙特性）滯環(huán)特性的靜特性曲線滯環(huán)特性的數(shù)學(xué)表達(dá)式特點(diǎn)：當(dāng)輸入量小于間隙a時(shí)，輸出量為零。當(dāng)x>a后，輸出量隨輸入量線性變化。當(dāng)輸入反向時(shí)，輸出量則保持在方向發(fā)生變化時(shí)的輸出值上，直到輸入反向變化2a后，輸出才線性變化。a為間隙寬度k為輸出特性斜率齒輪傳動(dòng)中的齒隙，液壓傳動(dòng)中的油隙，鐵磁元件的磁滯等均屬于這類特性。第六頁，共七十九頁，2022年，8月28日4.繼電器特性繼電器特性的靜特性曲線飽和特性的數(shù)學(xué)表達(dá)式特點(diǎn)：兼有死區(qū)和滯環(huán)特性。輸入與輸出不是單值對(duì)應(yīng)關(guān)系理想繼電器特性死區(qū)繼電器特性滯環(huán)繼電器特性實(shí)際系統(tǒng)中，各種開關(guān)元件都具有繼電器特性。第七頁，共七十九頁，2022年，8月28日7.1.2非線性系統(tǒng)的若干特征1.疊加原理不適用于非線性系統(tǒng)，即幾個(gè)輸入信號(hào)作用于非線性系統(tǒng)所引起的輸出，不再等于每一個(gè)輸入信號(hào)所引起的輸出的總和。2.線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性只取決于系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)，與輸入信號(hào)的大小和初始條件無關(guān)。只要系統(tǒng)在某一輸入信號(hào)和某一初始條件下所得的解是穩(wěn)定的，就可以斷言，這個(gè)系統(tǒng)所有可能的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)都是穩(wěn)定的。

非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性不僅取決于系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)，而且與輸入信號(hào)的大小和初始條件有關(guān)。對(duì)于同樣結(jié)構(gòu)和參數(shù)的非線性系統(tǒng)，在不同的初始條件下，系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)可能趨于不同的最終狀態(tài)。第八頁，共七十九頁，2022年，8月28日3.對(duì)于線性系統(tǒng)，時(shí)間響應(yīng)如階躍響應(yīng)曲線的形狀與輸入信號(hào)的大小和初始條件無關(guān)，輸入信號(hào)的大小改變時(shí)，只影響響應(yīng)的幅值而不會(huì)改變響應(yīng)曲線的形狀。

對(duì)于非線性系統(tǒng)，時(shí)間響應(yīng)與輸入信號(hào)的大小和初始條件有關(guān)。4.對(duì)于線性系統(tǒng)，當(dāng)輸入是正弦信號(hào)時(shí)，穩(wěn)態(tài)輸出是同頻率的正弦信號(hào)。

對(duì)于非線性系統(tǒng)，當(dāng)輸入是正弦信號(hào)時(shí)，穩(wěn)態(tài)輸出通常是非正弦周期函數(shù)，也可能出現(xiàn)跳躍諧波等現(xiàn)象。第九頁，共七十九頁，2022年，8月28日5.線性系統(tǒng)的暫態(tài)響應(yīng)模式只有兩種：收斂和發(fā)散。當(dāng)系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定時(shí)，才會(huì)產(chǎn)生等幅振蕩。但是，線性系統(tǒng)的等幅振蕩是暫時(shí)的、不穩(wěn)定的，只要系統(tǒng)中的參數(shù)有微小的變化，等幅振蕩就會(huì)消失。

非線性系統(tǒng)常常產(chǎn)生自振蕩。

自振蕩，就是在沒有外界輸入信號(hào)作用時(shí)，系統(tǒng)中產(chǎn)生的具有固定周期和幅值的穩(wěn)定振蕩過程。自振蕩是非線性系統(tǒng)特有的運(yùn)動(dòng)模式，振幅和頻率由系統(tǒng)本身的特性所決定。自振蕩是非線性系統(tǒng)的一個(gè)十分重要的特征，也是研究非線性系統(tǒng)的一個(gè)重要內(nèi)容。第十頁，共七十九頁，2022年，8月28日7.1.3非線性系統(tǒng)的分析方法非線性系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型是非線性微分方程，除了極特殊的情況以外，多數(shù)非線性微分方程無法直接求得其解析解。因此，到目前為止，還沒有一個(gè)通用的方法可用來分析和設(shè)計(jì)各種不同的非線性系統(tǒng)。目前研究非線性系統(tǒng)常用的工程近似方法有：描述函數(shù)法相平面法計(jì)算機(jī)求解法這些方法主要是解決非線性系統(tǒng)的分析問題，而且以穩(wěn)定性為核心內(nèi)容。本章著重討論描述函數(shù)法和相平面法。第十一頁，共七十九頁，2022年，8月28日7.2描述函數(shù)法描述函數(shù)法，首先通過描述函數(shù)將非線性元件線性化，從而將非線性系統(tǒng)近似為線性系統(tǒng)，然后應(yīng)用線性系統(tǒng)的頻率法對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行分析。分析內(nèi)容主要是非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性和自振蕩問題描述函數(shù)法是線性系統(tǒng)頻率法在非線性系統(tǒng)中的推廣，它不受系統(tǒng)階次的限制。第十二頁，共七十九頁，2022年，8月28日7.2.1描述函數(shù)的基本思想非線性系統(tǒng)的方框圖如下圖所示。它是由兩部分組成的一個(gè)閉環(huán)結(jié)構(gòu)，其中N(A)代表非線性環(huán)節(jié)；

G(s)代表線性部分。第十三頁，共七十九頁，2022年，8月28日設(shè)非線性元件的輸入信號(hào)為正弦信號(hào)其輸出y(t)一般為周期性非正弦信號(hào)，可以展開成傅氏級(jí)數(shù)即輸出不僅含有與輸入同頻率的基波分量，而且還含有高次諧波分量。第十四頁，共七十九頁，2022年，8月28日兩點(diǎn)假設(shè)：（1）非線性環(huán)節(jié)的靜特性曲線是奇對(duì)稱的，即y(x)=-y(-x)。非線性元件在正弦信號(hào)作用下的輸出y(t)中的直流分量A0=0。（2）系統(tǒng)的線性部分G(s)具有良好的低通濾波特性。這樣，非線性元件輸出中的高次諧波通過線性部分后，其幅值被衰減得很小，可近似認(rèn)為只有基波分量沿著閉環(huán)通道傳遞。這個(gè)條件對(duì)于一般控制系統(tǒng)來說都是可以滿足的，而且線性部分階次越高，低通濾波特性越好。第十五頁，共七十九頁，2022年，8月28日于是，非線性元件在正弦信號(hào)作用下的輸出可近似為與輸入正弦信號(hào)同頻的正弦信號(hào)，即這就是描述函數(shù)的基本思想。這樣，非線性元件在正弦信號(hào)作用下的輸出就與線性元件在正弦信號(hào)作用下的輸出具有形式上的相似，可以按照線性元件頻率特性的定義，建立非線性元件的近似頻率特性，即描述函數(shù)，從而將非線性元件近似成線性元件，將非線性系統(tǒng)近似成線性系統(tǒng)，于是就可以借助線性系統(tǒng)的頻率法來近似分析非線性系統(tǒng)了。第十六頁，共七十九頁，2022年，8月28日7.2.2描述函數(shù)設(shè)非線性元件的輸入信號(hào)為正弦信號(hào)其輸出y(t)為在非線性系統(tǒng)滿足前述兩個(gè)假設(shè)條件下正弦函數(shù)非線性元件的描述函數(shù)：第十七頁，共七十九頁，2022年，8月28日可以看出：（1）描述函數(shù)類似于線性系統(tǒng)中的頻率特性，利用描述函數(shù)的概念可以把一個(gè)非線性元件近似地看作一個(gè)線性元件。這樣，線性系統(tǒng)的頻率法就可以推廣到非線性系統(tǒng)中去。（2）描述函數(shù)表達(dá)了非線性元件對(duì)基波正弦量的傳遞能力。一般地，它是輸入正弦信號(hào)幅值A(chǔ)和頻率ω的函數(shù)，但絕大多數(shù)實(shí)際的非線性元件，由于它們不包含儲(chǔ)能元件，它們的輸出與輸入正弦信號(hào)的頻率ω?zé)o關(guān)。因此，常見非線性環(huán)節(jié)的描述函數(shù)僅是輸入正弦信號(hào)幅值A(chǔ)的函數(shù)，用N(A)來表示。第十八頁，共七十九頁，2022年，8月28日7.2.3描述函數(shù)的求法由描述函數(shù)的定義式求描述函數(shù)的一般步驟：（1）首先由非線性靜特性曲線，畫出正弦信號(hào)輸入下的輸出波形，并寫出輸出波形y(t)的數(shù)學(xué)表達(dá)式；（2）利用傅氏級(jí)數(shù)求出y(t)的基波分量；（3）將得到的基波分量代入定義式，即得N(A)。第十九頁，共七十九頁，2022年，8月28日理想繼電器特性的描述函數(shù)理想繼電器特性及其輸入-輸出波形第二十頁，共七十九頁，2022年，8月28日理想繼電器特性的描述函數(shù)為：負(fù)倒描述函數(shù)負(fù)倒特性曲線，如表7-1第二十一頁，共七十九頁，2022年，8月28日飽和特性的描述函數(shù)飽和特性及其輸入-輸出波形第二十二頁，共七十九頁，2022年，8月28日飽和特性的描述函數(shù)為：負(fù)倒描述函數(shù)負(fù)倒特性曲線，如表7-1第二十三頁，共七十九頁，2022年，8月28日7.2描述函數(shù)法通過描述函數(shù)，一個(gè)非線性環(huán)節(jié)就可以看作是一個(gè)線性環(huán)節(jié)，而非線性系統(tǒng)就近似成了線性系統(tǒng)，于是可以應(yīng)用線性系統(tǒng)的頻率法對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行分析。這種利用描述函數(shù)對(duì)非線性系統(tǒng)進(jìn)行分析的方法稱為描述函數(shù)法。這種方法一般只能用于分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性和自振蕩。第二十四頁，共七十九頁，2022年，8月28日N(A)是非線性環(huán)節(jié)的描述函數(shù)，亦是其近似為線性環(huán)節(jié)的頻率特性；G(s)是線性部分的傳遞函數(shù)，其頻率特性為G(jω);于是，整個(gè)系統(tǒng)近似為線性系統(tǒng)后的開環(huán)頻率特性為N(A)G(jω)。仿照線性系統(tǒng)的奈氏判據(jù)（P=0），非線性系統(tǒng)產(chǎn)生等幅振蕩（即臨界穩(wěn)定）的條件是N(A)G(jω)=-1即是一條曲線，稱為非線性特性的負(fù)倒特性曲線。第二十五頁，共七十九頁，2022年，8月28日(a)(b)(c)第二十六頁，共七十九頁，2022年，8月28日自振蕩若G(jω)曲線與-1/N(A)曲線相交，則系統(tǒng)將產(chǎn)生自振蕩。若系統(tǒng)受到擾動(dòng)作用，偏離了原來的周期運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，當(dāng)擾動(dòng)消失后，系統(tǒng)能夠重新收斂于原來的等幅振蕩狀態(tài)，則稱為穩(wěn)定的自振蕩。反之，稱為不穩(wěn)定的自振蕩。M1點(diǎn)是穩(wěn)定的自振蕩；M2點(diǎn)是不穩(wěn)定的自振蕩。自振蕩的穩(wěn)定性：第二十七頁，共七十九頁，2022年，8月28日自振蕩的穩(wěn)定性判斷：在復(fù)平面上，當(dāng)-1/N(A)曲線沿著幅值A(chǔ)增大的方向經(jīng)過自振蕩點(diǎn)時(shí)，若系統(tǒng)從不穩(wěn)定區(qū)進(jìn)入穩(wěn)定區(qū)，則該自振蕩點(diǎn)代表的自振蕩是穩(wěn)定的。反之，若系統(tǒng)從穩(wěn)定區(qū)進(jìn)入不穩(wěn)定區(qū)，則該點(diǎn)代表的自振蕩是不穩(wěn)定的。對(duì)于穩(wěn)定的自振蕩，其振幅和頻率是確定的，并可以計(jì)算得到。振幅可由自振蕩點(diǎn)處-1/N(A)曲線的自變量A的大小來確定，而振蕩頻率由自振蕩點(diǎn)處G(jω)曲線的自變量ω來確定。值得注意的是，穩(wěn)定自振蕩的振幅和頻率就是非線性環(huán)節(jié)的輸入信號(hào)x(t)=Asinωt的振幅和頻率。自振蕩的振幅和頻率：第二十八頁，共七十九頁，2022年，8月28日利用描述函數(shù)法分析非線性系統(tǒng)的一般步驟：（1）求非線性環(huán)節(jié)的描述函數(shù)、負(fù)倒描述函數(shù)，繪制負(fù)倒特性曲線，即-1/N(A)曲線；（2）求線性部分的頻率特性，繪制幅相曲線，即G(jω)曲線；（3）由-1/N(A)曲線和G(jω)曲線的相對(duì)位置判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性，判斷是否存在自振蕩，計(jì)算自振蕩的振幅和頻率。第二十九頁，共七十九頁，2022年，8月28日例題：用描述函數(shù)法分析下面非線性系統(tǒng)是否存在自振？若存在，求振蕩頻率和振幅。1-1-解：第三十頁，共七十九頁，2022年，8月28日因此，系統(tǒng)存在頻率為，振幅為2.122的自激振蕩。-1/N(A)G(jω)令虛部為0，得截止頻率與實(shí)軸交點(diǎn)為

第三十一頁，共七十九頁，2022年，8月28日例7-4設(shè)控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖如圖，（1）計(jì)算自振蕩的振幅和頻率；（2）為消除自振蕩，繼電氣特性參數(shù)應(yīng)如何調(diào)整。解1）死區(qū)繼電氣特性的描述函數(shù)為線性部分的頻率特性第三十二頁，共七十九頁，2022年，8月28日7-3相平面法相平面法

是一種求解二階常微分方程的圖解方法。是一種時(shí)域分析法。它不僅能分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性和自振蕩，而且能給出系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)軌跡的清晰圖像。第三十三頁，共七十九頁，2022年，8月28日,該方程表示一個(gè)二階線性定常系統(tǒng)；該方程表示一個(gè)二階非線性定常系統(tǒng)。設(shè)二階定常系統(tǒng)常微分方程的一般形式為由于上述二階微分方程不含輸入，因此它描述的二階定常系統(tǒng)在初始條件作用下的運(yùn)動(dòng)，即自由運(yùn)動(dòng)?；虻谌捻?，共七十九頁，2022年，8月28日二階微分方程的解通常是用x(t)和t的關(guān)系來表示的。令則用第一個(gè)方程除第二個(gè)方程，可得即因此，二階微分方程的解也可以以t作為參變量，用x(t)和

的關(guān)系來表示。第三十五頁，共七十九頁，2022年，8月28日

二階系統(tǒng)在某一時(shí)刻t的狀態(tài),即x(t)和可以用相平面中坐標(biāo)為[x(t),]的點(diǎn)來表示，稱之為相點(diǎn)。二階系統(tǒng)在初始時(shí)刻的狀態(tài)x(t0)和，用相平面中坐標(biāo)為[x(t0),]的點(diǎn)來表示。

在某個(gè)時(shí)刻t，x(t)和

共同表示著二階系統(tǒng)在t時(shí)刻所處的狀態(tài)。

以x(t)為橫軸，以為縱軸組成一個(gè)直角坐標(biāo)系，稱之為相平面（或狀態(tài)平面）。

當(dāng)t從初始時(shí)刻t0開始不斷變化時(shí)，狀態(tài)x(t)與在相平面中對(duì)應(yīng)的相點(diǎn)，從點(diǎn)[x(t0),]開始不斷移動(dòng)形成一條軌跡，稱之為相軌跡。與不同初始狀態(tài)對(duì)應(yīng)的一族相軌跡所組成的圖像，稱之為相平面圖。利用相平面圖分析系統(tǒng)性能的方法稱為相平面法。第三十六頁，共七十九頁，2022年，8月28日相平面圖的繪制方法：繪制相平面圖可以用解析法、圖解法和實(shí)驗(yàn)法。解析法第一種方法：對(duì)式直接積分。第二種方法：先求出的函數(shù)關(guān)系，然后消去t，從而求出相軌跡方程。第三十七頁，共七十九頁，2022年，8月28日例：二階線性系統(tǒng)當(dāng)ξ=0時(shí)，微分方程為試?yán)L制系統(tǒng)的相平面圖。第三十八頁，共七十九頁，2022年，8月28日例7-5具有理想繼電器特性的非線性系統(tǒng)如圖，試?yán)L制當(dāng)輸入r(t)=0時(shí)系統(tǒng)的相平面圖。第三十九頁，共七十九頁，2022年，8月28日2.圖解法第一種方法：等傾線法第二種方法：δ法第四十頁，共七十九頁，2022年，8月28日設(shè)系統(tǒng)微分方程為

化為表示相平面上的一條曲線，相軌跡通過曲線上的點(diǎn)時(shí)所取的斜率都是a。這條曲線就稱為相軌跡的

等傾線。

令其中為某個(gè)常數(shù)等傾線法式中，表示相平面上相軌跡的斜率。第四十一頁，共七十九頁，2022年，8月28日利用等傾線法繪制相軌跡的一般步驟：（1）首先求系統(tǒng)的等傾線方程；（2）根據(jù)等傾線方程在相平面上畫出等傾線分布圖；給定不同的a值，畫出相應(yīng)的等傾線。（3）利用等傾線分布圖繪制相軌跡。從初始狀態(tài)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)出發(fā)，近似地用直線段畫出到相鄰一條等傾線的相軌跡，該直線的斜率為相鄰兩條等傾線斜率的平均值。這條直線段與相鄰等傾線的交點(diǎn)，就是畫下一段相軌跡的起始點(diǎn)。如此繼續(xù)做下去，即可繪出整個(gè)相軌跡曲線。第四十二頁，共七十九頁，2022年，8月28日例7-6二階線性系統(tǒng)的微分方程為

或等傾線方程為：試用等傾線法繪制系統(tǒng)的相軌跡。解：（1）由微分方程式可得第四十三頁，共七十九頁，2022年，8月28日（2）a取不同值時(shí)，可在相平面上畫出若干不同的等傾線。（3）從相軌跡的起點(diǎn)A開始，作斜率為

[-1+（-1.2）]/2=-1.1的直線，與a=-1.2的等傾線交于B點(diǎn)。再從B點(diǎn)開始，作斜率為

[-1.2+（-1.4）]/2=-1.3的直線，與a=-1.4的等傾線交于C點(diǎn)。如此依次作下去，最后即得所求的相軌跡。可見，等傾線是過相平面原點(diǎn)的一族直線。第四十四頁，共七十九頁，2022年，8月28日1.奇點(diǎn)：指相軌跡的斜率為不定值的點(diǎn)。因此，可以有無窮多條相軌跡經(jīng)過該點(diǎn)。在奇點(diǎn)處，這表明系統(tǒng)不在運(yùn)動(dòng)，處于平衡狀態(tài)，故奇點(diǎn)也稱為平衡點(diǎn)。在奇點(diǎn)處，這表明系統(tǒng)的奇點(diǎn)只出現(xiàn)在相平面的橫坐標(biāo)軸上。第四十五頁，共七十九頁，2022年，8月28日線性二階系統(tǒng)的奇點(diǎn)和相軌跡：設(shè)線性二階系統(tǒng)的微分方程為可寫成即令可得即線性二階系統(tǒng)的奇點(diǎn)是相平面的坐標(biāo)原點(diǎn)。第四十六頁，共七十九頁，2022年，8月28日系統(tǒng)的特征方程為

當(dāng)a1,a2的取值不同時(shí)，系統(tǒng)的特征根在s平面上的分布就不相同，從而系統(tǒng)自由運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律不同，奇點(diǎn)附近相軌跡的形狀也就不同。由此，可對(duì)奇點(diǎn)進(jìn)行分類。線性二階系統(tǒng)的微分方程為

相軌跡方程第四十七頁，共七十九頁，2022年，8月28日相軌跡是一族同心的橢圓。系統(tǒng)在奇點(diǎn)附近可能穩(wěn)定，可能不穩(wěn)定，與忽略掉的高次項(xiàng)有關(guān)。相軌跡的方向如圖中箭頭所示。相軌跡垂直穿過橫軸。圖中的奇點(diǎn)(0,0)稱為

中心點(diǎn)。

（1）無阻尼系統(tǒng)無阻尼運(yùn)動(dòng)時(shí)的相軌跡第四十八頁，共七十九頁，2022年，8月28日（2）欠阻尼其中微分方程的解為第四十九頁，共七十九頁，2022年，8月28日

欠阻尼系統(tǒng)不管初始狀態(tài)如何，它經(jīng)過衰減振蕩，最后趨向于平衡狀態(tài)。坐標(biāo)原點(diǎn)是奇點(diǎn)，它附近的相軌跡是收斂于它的螺旋線。系統(tǒng)在奇點(diǎn)附近是穩(wěn)定的。這種奇點(diǎn)稱為

穩(wěn)定的焦點(diǎn)。

系統(tǒng)欠阻尼運(yùn)動(dòng)時(shí)的相軌跡第五十頁，共七十九頁，2022年，8月28日相軌跡仍是螺旋線，但相軌跡的運(yùn)動(dòng)方向與欠阻尼時(shí)不同，隨著t的增長，運(yùn)動(dòng)過程是振蕩發(fā)散的。這種奇點(diǎn)稱為

不穩(wěn)定的焦點(diǎn)。（3）負(fù)阻尼系統(tǒng)在奇點(diǎn)附近是穩(wěn)定的。第五十一頁，共七十九頁，2022年，8月28日（4）過阻尼微分方程的解為第五十二頁，共七十九頁，2022年，8月28日過阻尼時(shí)的相軌跡相軌跡是一族趨向原點(diǎn)的拋物線。這種奇點(diǎn)稱為穩(wěn)定的節(jié)點(diǎn)。系統(tǒng)在奇點(diǎn)附近是穩(wěn)定的。第五十三頁，共七十九頁，2022年，8月28日（5）負(fù)阻尼相軌跡是一族由原點(diǎn)出發(fā)的拋物線。這種奇點(diǎn)稱為不穩(wěn)定的節(jié)點(diǎn)。系統(tǒng)在奇點(diǎn)附近是不穩(wěn)定的。第五十四頁，共七十九頁，2022年，8月28日相軌跡是一族雙曲線。系統(tǒng)在奇點(diǎn)附近是不穩(wěn)定的。這種奇點(diǎn)稱為

鞍點(diǎn)

第五十五頁，共七十九頁，2022年，8月28日特征根和奇點(diǎn)的對(duì)應(yīng)關(guān)系第五十六頁，共七十九頁，2022年，8月28日非線性二階系統(tǒng)的奇點(diǎn)和相軌跡：設(shè)非線性二階系統(tǒng)的微分方程為上式可寫成又可一般地寫成其中由得解之，可得系統(tǒng)的奇點(diǎn)。第五十七頁，共七十九頁，2022年，8月28日設(shè)奇點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，即則非線性方程線性化第五十八頁，共七十九頁，2022年，8月28日消去x2,，得或即在奇點(diǎn)處的線性化方程。根據(jù)該方程兩個(gè)特征根的分布情況，可確定奇點(diǎn)附近的相軌形狀。第五十九頁，共七十九頁，2022年，8月28日2.奇線

奇線：相平面圖中具有不同性質(zhì)的相軌跡的分界線。通常見到的奇線有兩種：分隔線、極限環(huán)。極限環(huán)：相平面圖上孤立的封閉相軌跡，其附近的相軌跡都趨向或發(fā)散于這個(gè)封閉的相軌跡。（1）穩(wěn)定極限環(huán)（2）不穩(wěn)定極限環(huán)（3）半穩(wěn)定極限環(huán)

極限環(huán)分為三類：第六十頁，共七十九頁，2022年，8月28日（1）穩(wěn)定極限環(huán)若極限環(huán)兩側(cè)的相軌跡都收斂于該環(huán)，這種極限環(huán)稱為穩(wěn)定極限環(huán)。這種極限環(huán)表示系統(tǒng)具有自振蕩。穩(wěn)定極限環(huán)把相平面劃分成兩個(gè)區(qū)域，極限環(huán)內(nèi)部的相軌跡，隨時(shí)間的增加是發(fā)散的，故極限環(huán)內(nèi)部區(qū)域?yàn)椴环€(wěn)定區(qū)。極限環(huán)外部的相軌跡，隨時(shí)間的增加是收斂的，故極限環(huán)外部區(qū)域?yàn)榉€(wěn)定區(qū)。第六十一頁，共七十九頁，2022年，8月28日（2）不穩(wěn)定極限環(huán)若極限環(huán)兩側(cè)的相軌跡都從極限環(huán)發(fā)散，這種極限環(huán)稱為不穩(wěn)定極限環(huán)。極限環(huán)內(nèi)部的相軌跡，隨時(shí)間的增加將趨于平衡點(diǎn)，極限環(huán)外部的相軌跡，隨時(shí)間的增加將遠(yuǎn)離平衡點(diǎn)。具有不穩(wěn)定極限環(huán)的系統(tǒng)，其平衡狀態(tài)是小范圍穩(wěn)定的，大范圍不穩(wěn)定的。第六十二頁，共七十九頁，2022年，8月28日（3）半穩(wěn)定極限環(huán)若極限環(huán)兩側(cè)的相軌跡，其中一側(cè)離開相軌跡，另一側(cè)趨向于相軌跡，這種極限環(huán)稱為半穩(wěn)定極限環(huán)。被極限環(huán)所劃分的兩個(gè)區(qū)域都是不穩(wěn)定的，因此系統(tǒng)將具有振蕩發(fā)散狀態(tài)。被極限環(huán)所劃分的兩個(gè)區(qū)域都是穩(wěn)定的，因此系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)最終將趨于環(huán)內(nèi)的平衡點(diǎn)，不會(huì)產(chǎn)生自振蕩。第六十三頁，共七十九頁，2022年，8月28日?qǐng)D7-34各種類型的極限環(huán)第六十四頁，共七十九頁，2022年，8月28日7.5非線性系統(tǒng)的相平面法分析

1、步驟（1）將非線性特性分段線性化，并寫出相應(yīng)線段的數(shù)學(xué)表達(dá)式。（2）首先在相平面上選擇合適的坐標(biāo)，當(dāng)系統(tǒng)有階躍輸入或斜坡輸入時(shí)，一般常用誤差e及其導(dǎo)數(shù)分別為橫縱坐標(biāo)。然后將相平面根據(jù)非線性特性分成若干區(qū)域，使非線性特性在每個(gè)區(qū)域內(nèi)都呈線性特性。（3）確定每個(gè)區(qū)域的奇點(diǎn)類別和在相平面上的位置。（4）在各個(gè)區(qū)域內(nèi)分別畫出各自的相軌跡。（5）將相鄰區(qū)域的相軌跡，根據(jù)在相鄰兩區(qū)分界線上的點(diǎn)對(duì)于相鄰兩區(qū)具有相同工作狀態(tài)的原則連接起來，便得到整個(gè)非線性系統(tǒng)的相軌跡。第六十五頁，共七十九頁，2022年，8月28日例7-9設(shè)含飽和非線性特性的非線性系統(tǒng)如圖所示，試?yán)孟嗥矫娣ǚ治鱿到y(tǒng)的階躍響應(yīng)。第六十六頁，共七十九頁，2022年，8月28日解1）非線性特性