波動方程和行波法

波動方程和行波法演示文稿1當(dāng)前1頁，總共117頁。波動方程和行波法2當(dāng)前2頁，總共117頁。第一章波動方程和行波法3當(dāng)前3頁，總共117頁。引言1.1弦振動方程1.2行波法4當(dāng)前4頁，總共117頁。數(shù)理方程（泛定方程）（三類）在物理學(xué)的研究中起著重要作用。如何從物理學(xué)的實(shí)際問題中導(dǎo)出數(shù)理方程呢？我們先從弦振動方程入手。引言5當(dāng)前5頁，總共117頁。基本步驟：1.建立坐標(biāo)系（時間，空間）2.選擇表征所研究過程的物理量

表征物理量的選擇常常是建立一個新方程的起點(diǎn)。（一個或幾個）。數(shù)學(xué)模型物理模型6當(dāng)前6頁，總共117頁。3.尋找（猜測）物理過程所遵守的物理定律或物理公理;4.寫出物理定律的表達(dá)式，即數(shù)學(xué)模型。7當(dāng)前7頁，總共117頁。一、弦的橫振動方程二、定解條件的提出三、三類定解問題1.1弦振動方程8當(dāng)前8頁，總共117頁。一、弦的橫振動方程（均勻弦的微小橫振動）演奏弦樂（二胡，提琴）的人用弓在弦上來回拉動，弓所接觸的是弦的很小的一段，似乎只能引起這個小段的振動，實(shí)際上振動總是傳播到整個弦，弦的各處都振動起來。振動如何傳播呢？9當(dāng)前9頁，總共117頁。實(shí)際問題：設(shè)有一根細(xì)長而柔軟的弦,緊繃于A，B兩點(diǎn)之間，在平衡位置附近產(chǎn)生振幅極為微小的橫振動（以某種方式激發(fā)，在同一平面內(nèi)，弦上各點(diǎn)的振動方向相互平行，且與波的傳播方向（弦的長度方向）垂直），求弦上各點(diǎn)的運(yùn)動規(guī)律。1.物理模型10當(dāng)前10頁，總共117頁。2.分析弦是柔軟的，即在放松的條件下，把弦彎成任意的形狀，它都保持靜止?？嚲o后，相鄰小段之間有拉力，這種拉力稱為弦中的張力，張力沿線的切線方向。11當(dāng)前11頁，總共117頁。

由于張力的作用，一個小段的振動必帶動它的鄰段，鄰段又帶動它自己的鄰段，這樣一個小段的振動必然傳播到整個弦，這種振動的傳播現(xiàn)象叫作波。弦是輕質(zhì)弦（其質(zhì)量只有張力的幾萬分之一）。跟張力相比，弦的質(zhì)量完全可以略去。12當(dāng)前12頁，總共117頁。①模型實(shí)際上就是：柔軟輕質(zhì)細(xì)弦（“沒有質(zhì)量”的弦）②將無質(zhì)量的弦緊繃，不振動時是一根直線，取為x

軸。③將弦上個點(diǎn)的橫向位移記為13當(dāng)前13頁，總共117頁。④已知：線密度

重量不計，沿切線方向，不隨x變化，弦中各點(diǎn)的張力相等（小振動下T與t也無關(guān)）.

張力⑤研究方法：連續(xù)介質(zhì)，微積分思想，任意性。14當(dāng)前14頁，總共117頁。3.研究建立方程①如圖，選弦繃緊時（不振動）直線為x

軸AB15當(dāng)前15頁，總共117頁。為表征物理量。②弦離開平衡位置的位移記為③因弦的振動是機(jī)械振動，基本規(guī)律為：然而弦不是質(zhì)點(diǎn)，故對整根弦并不適用。但整根弦可以細(xì)分為許多極小的小段，每個小段可以抽象為質(zhì)點(diǎn)。16當(dāng)前16頁，總共117頁。即整根弦由相互牽連的質(zhì)點(diǎn)組成，對每個質(zhì)點(diǎn)即每個小段可應(yīng)用

.方法：將連續(xù)分布的介質(zhì)離散化為多質(zhì)點(diǎn)系統(tǒng)，再取內(nèi)部任一代表性的點(diǎn)進(jìn)行研究。將弦細(xì)分為許多極小的小段，取區(qū)間上小段為代表。無質(zhì)量且柔軟，故該段僅受到相鄰兩段的拉力.和

17當(dāng)前17頁，總共117頁。④對弦的每一小段dx,沿x方向（縱向）沒有運(yùn)動，沿

x方向所受合外力為零。任一小段弦在振動過程中只受到相鄰段對它的張力和施加在弦上的外力。設(shè)單位長度上受到的橫向外力為18當(dāng)前18頁，總共117頁。于是由牛頓第二定律對dx

所對應(yīng)的這一小段弦有:沿

方向（縱向）：

沿

方向（縱向）：

①②19當(dāng)前19頁，總共117頁。近似：考慮小的振動，

，為小量。

其中:

是弦的線密度，即單位長度的為對應(yīng)弧長，

為弦的橫向?yàn)橄业臋M向加速度。

質(zhì)量，位移，20當(dāng)前20頁，總共117頁?！?/p>

21當(dāng)前21頁，總共117頁。于是①、②化簡為：兩點(diǎn)間任一時刻橫小振動近似：

與與

相比是一向位移之差

個小量，即

22當(dāng)前22頁，總共117頁。即令

則上式為:23當(dāng)前23頁，總共117頁。應(yīng)用微積分中值定理:24當(dāng)前24頁，總共117頁。即——弦的強(qiáng)迫橫振動方程其中:

，

量綱分析：

，25當(dāng)前25頁，總共117頁。即：振動的傳播速度

它與弦的張力的平方根成正比，與弦的線密度的平方根成反比。

∴

26當(dāng)前26頁，總共117頁。對樂器來講，意味著弦繃的越緊，波速越大；弦的質(zhì)料越密，波速越小。則得弦的自由橫振動方程：

消失，即

上式中,外力f27當(dāng)前27頁，總共117頁。注意：上述推導(dǎo)過程中，并沒有考慮重力。不僅弦振動，一維波動方程，如彈性桿的橫振動。二維波動方程，如薄膜的橫振動方程，管道中小振動的傳播，理想傳輸線的電報方程等均可用上述波動方程描述。故稱為一類方程，即波動方程。（也是稱其為泛定方程的遠(yuǎn)大）可描述一類物理現(xiàn)象。流體力學(xué)與聲學(xué)中推導(dǎo)三維波動方程，這里不再一一推導(dǎo)。28當(dāng)前28頁，總共117頁。二、定解條件的提出

1、必要性。導(dǎo)出方程后，就得對方程進(jìn)行求解。但是只有泛定方程不足以完全確定方程的解，即不足以完全確定具體的物理過程，因?yàn)榫唧w的物理過程還與其初始狀態(tài)及邊界所受的外界作用有關(guān)，因而必須找一些補(bǔ)充條件，用以確定該物理過程。29當(dāng)前29頁，總共117頁。

從物理角度看：泛定方程僅表示一般性（共性），要為物體的運(yùn)動個性化附加條件。

從數(shù)學(xué)角度看：微分方程解的任意性也需附加條件。通解中含任意函數(shù)（解不能唯一確定）。通過附加條件確定任意函數(shù)（常數(shù)），從而確定解。這些附加條件就是前面所談的問題的“歷史”與“環(huán)境”，即初始條件和邊界條件，統(tǒng)稱為定解條件。30當(dāng)前30頁，總共117頁。2、初始條件在求解含時間t變量的數(shù)理方程時，往往要追溯到早些某個所謂“初始”時間的狀況（“歷史”），于是稱物理過程初始狀況的數(shù)學(xué)表達(dá)式為初始條件。31當(dāng)前31頁，總共117頁。如弦振動方程:

其初始條件為:同一時刻(

)情況

注意：(a）初始條件應(yīng)是整個系統(tǒng)的初始狀態(tài)，而不是系統(tǒng)中個別點(diǎn)的初始狀態(tài)。32當(dāng)前32頁，總共117頁。若

就錯了。

如：一根長為l的兩端固定的弦，用手把它的中點(diǎn)朝橫向拔開距離h，然后放手任其振動（初始時該就為放手的時刻），則初始條件應(yīng)為：33當(dāng)前33頁，總共117頁。(b)時間t

的n階方程需n個初始條件，n個常數(shù)。如：34當(dāng)前34頁，總共117頁。3、邊界條件求解方程時還需考慮邊界狀況（周邊“環(huán)境”）（邊界狀況將通過逐點(diǎn)影響所討論的整個區(qū)域），稱物理過程邊界狀況的表達(dá)式為邊界條件，或稱為邊值條件。邊界條件在數(shù)學(xué)上分為三類：35當(dāng)前35頁，總共117頁。

第一類邊界條件(Dirichlet邊界條件)：直接規(guī)定所研究的物理量在邊界上的數(shù)值其中為已知函數(shù)。

36當(dāng)前36頁，總共117頁。

第二類邊界條件（Neuman邊界條件）：規(guī)定所研究物理量在邊界外法線方向上的方向?qū)?shù)的數(shù)值.，37當(dāng)前37頁，總共117頁。

第三類邊界條件（混合邊界條件也叫Robin邊界條件）：規(guī)定所研究物理量及其外法向?qū)?shù)的線性組合在邊界上的值:常系數(shù)38當(dāng)前38頁，總共117頁。第一、二、三類齊次邊界條件。時，以上三類邊界條件當(dāng)分別稱為39當(dāng)前39頁，總共117頁。⑴

銜接條件集中地由于一些原因，在所研究的區(qū)域里出現(xiàn)躍變點(diǎn)，泛定方程在該點(diǎn)失去意義。如波動方程（弦），如果有橫向力作用于點(diǎn)，這就成了弦的折點(diǎn)。在點(diǎn)斜率的左極限不同于右極限，因而不存在,

4、其它條件40當(dāng)前40頁，總共117頁。在各段上,弦振動方程有意義，但它是一根弦的兩段，并不是各自振動的。從數(shù)學(xué)上來講，不可能在兩端上分別列出定解問題。兩段可作為一個整體來研究，兩段的振動是相互關(guān)聯(lián)的。在這一點(diǎn)無意義.如果,將分成，兩段分別考慮，41當(dāng)前41頁，總共117頁。F（0,t）α1α2xu42當(dāng)前42頁，總共117頁。雖是折點(diǎn)，但它們連續(xù)，即①在

，力

應(yīng)和張力平衡，即②

①、②合稱為銜接條件，這時振動問題適定。43當(dāng)前43頁，總共117頁。再如，不同材料組成的桿的振動，在銜接處的位移和能量相等，即：：桿的兩部分位移.：兩部分的楊氏模量.

44當(dāng)前44頁，總共117頁。靜電場中，兩種電介質(zhì)的交界面上電勢應(yīng)相等（連續(xù)），電位移矢量的法向分量也應(yīng)相等（連續(xù)）,其銜接條件是:45當(dāng)前45頁，總共117頁。代表兩種電介質(zhì)的介電常數(shù)，（設(shè)電其中代表兩種電介質(zhì)的電勢，

則,位移矢量分別為46當(dāng)前46頁，總共117頁。⑵

自然邊界條件某些情況下，出于物理上的合理性等原因，要求解為單值、有限，就提出自然邊界條件，這些條件通常都不是要研究的問題直接給出，而是根據(jù)解的特性要求自然加上去，故稱為自然邊界條件，如：47當(dāng)前47頁，總共117頁。通解為：

在區(qū)間

上要求解有限，故

有限，從而在

中的解為:

48當(dāng)前48頁，總共117頁。但并非所有的定解問題中，都一定同時具有初始條件和邊界條件。三、三類定解問題定解問題泛定方程定解條件初始條件邊界條件+銜接條件49當(dāng)前49頁，總共117頁。

（1）初值問題(Cauchy問題）：定解問題中僅初始條件而無邊界條件,如無界弦的振動:50當(dāng)前50頁，總共117頁。

（2）邊值問題：定解條件為邊界條件

如

51當(dāng)前51頁，總共117頁。（3）混合問題:即有初始條件又有邊界條件。如有界弦的自由振動52當(dāng)前52頁，總共117頁。物理系統(tǒng)總是有限的，必須有界，要求邊界條件，如：弦總是有限長的，有兩個端點(diǎn)，但如果注重研究靠近一端的一段弦，即在不太長的時間里，另一端還沒來得及傳到，可認(rèn)為另一端不存在這樣就可將真實(shí)的弦抽象為半無界弦。（4）無界半無界問題：53當(dāng)前53頁，總共117頁。如果注重考慮不靠近兩端點(diǎn)的某段弦，在不太長的時間里，兩端點(diǎn)的影響還沒來得及傳到，可認(rèn)為兩端點(diǎn)都不存在，即兩端點(diǎn)都在無限遠(yuǎn)，就不提邊界條件了，這樣有限的真實(shí)弦抽象成無界的弦，分別稱為半無界問題、無界問題。54當(dāng)前54頁，總共117頁。舉例：弦振動問題中

第一類邊界條件：

55當(dāng)前55頁，總共117頁。端點(diǎn)的運(yùn)動規(guī)律:

左端點(diǎn)，

右端點(diǎn)

若兩端點(diǎn)固定，則

為齊次邊界條件，稱固定端點(diǎn)邊界條件。

56當(dāng)前56頁，總共117頁。第二類邊界條件：

若左端點(diǎn)自由地上下運(yùn)動，則

稱自由（端點(diǎn)）邊界條件

.57當(dāng)前57頁，總共117頁。第三類邊界條件：

的彈簧，弦的左端點(diǎn)固定于彈簧的自由頂端，弦的左端點(diǎn)受到垂直于軸的已知外力的作用而上下運(yùn)動。

設(shè)在處安置了一個垂直于

軸的58當(dāng)前58頁，總共117頁。59當(dāng)前59頁，總共117頁。若彈性支承邊界條件：

弦的一端與一個其他系統(tǒng)相連接，弦在左端處連接于一彈簧質(zhì)量系統(tǒng)，保持其運(yùn)動是完全垂直的。60當(dāng)前60頁，總共117頁。想象質(zhì)量在垂直軌道上無摩擦，軌道對質(zhì)量施加一個張力，防止張力的水平分量拉翻質(zhì)量系統(tǒng)，弦與此質(zhì)量未連接，質(zhì)量的位置為弦在端點(diǎn)的位置

，未知的量，滿足牛頓第二定律的一個ODE。61當(dāng)前61頁，總共117頁。彈簧的拉伸長度為:

由牛頓第二定律：

彈簧上的其它力假設(shè)彈簧的未拉伸的長度為

，且滿足胡克定律，設(shè)弦的支撐點(diǎn)按照其解的方式移動。彈簧的長度為62當(dāng)前62頁，總共117頁。其中

為小振動近似，

常量，63當(dāng)前63頁，總共117頁。邊界條件為（連接于一個彈簧質(zhì)量系統(tǒng)，帶動支撐

的外力的一條振動的處,則弦在64當(dāng)前64頁，總共117頁。若無外力作用于質(zhì)量上

充分小，則其中:

是質(zhì)量的平衡位置65當(dāng)前65頁，總共117頁。若質(zhì)量的平衡位置與弦的平衡位置重合，即

則：

若弦和質(zhì)量的，若

處

，。成正比，與平衡位置都是則必有66當(dāng)前66頁，總共117頁。端點(diǎn)處無任何其它垂直外力，彈力在端點(diǎn)的垂直分量必為0，否則此端點(diǎn)將會有無限垂直加速度。對

取極限

若端點(diǎn)附在前述無摩擦的垂直軌道上，上下自由移動，無彈簧質(zhì)量系統(tǒng)也無外力，67當(dāng)前67頁，總共117頁。1.2行波法一、定解問題二、求解定解問題三、分析解答四、依賴區(qū)域五、其它:問題68當(dāng)前68頁，總共117頁。引言上節(jié)課我們已經(jīng)了解了數(shù)學(xué)物理方程所研究的對象、特點(diǎn)，并推導(dǎo)出一類典型的方程——波動方程（弦振動方程），接下來的問題就是對這些問題如何來求解？先來回顧一下的求解

。的求解

１.69當(dāng)前69頁，總共117頁。先求方程通解（含任意常數(shù)）常微分方程（

）的求解思路：

(利用初值條件)方程的特解確定條件中的數(shù)70當(dāng)前70頁，總共117頁。例如：

通解為:

71當(dāng)前71頁，總共117頁。2.的求解

對，可否也用這種思路來求解？即先求通解（通解中包含任意常數(shù)或函數(shù)），然后利用各種條件確定常數(shù)或函數(shù)，從而得到特解。已經(jīng)表明，對如下困難：來講有72當(dāng)前72頁，總共117頁。其一，通解不好求；其二，用定解條件確定函數(shù)較困難，但也卻非不能解決任何方程，對一類問題是可行的：無界區(qū)域齊次波動方程的定解問題。73當(dāng)前73頁，總共117頁。齊次波動方程（

）反映介質(zhì)一經(jīng)擾動后在區(qū)域里不再受外力的運(yùn)動規(guī)律。如弦振動方程，所考慮的弦，長度很長，所需知道的又只是在較短的時間內(nèi)離邊界較遠(yuǎn)的一段范圍中的運(yùn)動情況，則邊界的影響可以不予考慮，就構(gòu)成一個無界問題，74當(dāng)前74頁，總共117頁。（初值問題）抽象成問題的區(qū)域是整個空間，由初始擾動所引起的振動就會一往無前的傳播下去，形成行進(jìn)的波，簡稱行波。（數(shù)學(xué)上將弦的長度視為無限）。這種求解行波問題的方法成為行波法。75當(dāng)前75頁，總共117頁。一、定解問題上式為無界弦的自由振動方程.其中為已知函數(shù)。

76當(dāng)前76頁，總共117頁。物理模型解釋：①無限長弦的自由振動②無限長桿的縱振動③無限長理想傳輸線上電流、電壓之比這里“無限長”指沒有受到外力作用，只研究其中一小段，則在不太長的時間里，兩77當(dāng)前77頁，總共117頁。端的影響來不及傳到，可認(rèn)為兩端不存在，因而為無限長。對該問題的處理思路（借鑒ODE處理方法）自變量變換簡化泛定方程定解問題的解得通解初始條件78當(dāng)前78頁，總共117頁。二、求解定解問題（一維齊次波動方程的通解）

（1）作自變量變換（行波變換）.目的：將泛定方程簡化成易積分的形式.設(shè)79當(dāng)前79頁，總共117頁。利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則有：

（上述變換的由來：

由有引入變換

找兩個微分算子：

80當(dāng)前80頁，總共117頁。使

為常數(shù)，

81當(dāng)前81頁，總共117頁。令則

故令

82當(dāng)前82頁，總共117頁。則有

這時

83當(dāng)前83頁，總共117頁。為了書寫簡便和對稱，令

即

84當(dāng)前84頁，總共117頁。85當(dāng)前85頁，總共117頁。86當(dāng)前86頁，總共117頁。87當(dāng)前87頁，總共117頁。（２）求通解兩邊對

求積分得：

和

無關(guān)，是關(guān)于

的函數(shù)，則有88當(dāng)前88頁，總共117頁。求積分有：

其中為的函數(shù)，然后再對自變量

其中，分別為

，函數(shù)，只要有兩次積分就可。

的任意89當(dāng)前89頁，總共117頁。故，通解為

90當(dāng)前90頁，總共117頁。（３）用初始條件定特解——確定由初始條件

由

有

91當(dāng)前91頁，總共117頁。92當(dāng)前92頁，總共117頁。由此解得

93當(dāng)前93頁，總共117頁。94當(dāng)前94頁，總共117頁。故:這叫做達(dá)朗貝爾解，簡稱達(dá)氏解，因此這種方法叫做達(dá)朗貝爾解法。95當(dāng)前95頁，總共117頁。三、分析解答（1）解的適定性(存在性、唯一性、穩(wěn)定性)（2）解的物理意義.通解的物理意義：先考慮

，時

，表示弦在

時的波形（位移），

96當(dāng)前96頁，總共117頁。初始時刻的狀態(tài)，經(jīng)過時間

后由

，的波形向

正方向右進(jìn)行，故

所描述的振動規(guī)律，稱為右行波（正行波、右傳播波）；

向平移距離，即這種波的傳播形式是保持波形不變地以速度97當(dāng)前97頁，總共117頁。表示不變地向左傳播，稱為左行波（逆行波、左傳播波），故弦振動方程的通解是左右行波的疊加，（即弦上任意擾動總是向相反的兩個方向傳播下去）同理，越大,表示波傳播速度越快。98當(dāng)前98頁，總共117頁。+99當(dāng)前99頁，總共117頁。表示初始位移引起的波動左右行波疊加由初始位移激發(fā)的行波，時刻波形為

向左右傳播.，以后分成幾部分以獨(dú)立的速度上式第一項(xiàng)為:100當(dāng)前100頁，總共117頁。表示由初始速度引起的波動.設(shè)

的一個原函數(shù)是

即則101當(dāng)前101頁，總共117頁。左右對稱地擴(kuò)展到的范圍，它表示左右行波疊加，由初始速度激發(fā)的行波，在

時刻，它傳播速度為.102當(dāng)前102頁，總共117頁。例1.求解初值問題（初始位移引起的波動）103當(dāng)前103頁，總共117頁。解：由

公式：

若104當(dāng)前104頁