第三章 平面與空間直線

第三章平面與空間直線第一頁，共七十五頁，2022年，8月28日第一節(jié)平面及其方程一、由平面上一點與平面的方位向量決定的平面的方程1、方位向量

在空間給定一個點M0與兩個不共線的向量a,b，則通過點M0且與a,b平行的平面就被唯一確定。向量a,b稱為平面的方位向量。

顯然，任何一對與平面平行的不共線向量都可作為平面的方位向量。第二頁，共七十五頁，2022年，8月28日2、平面的向量式參數(shù)方程

在空間，取標(biāo)架{O；e1,e2,e3},并設(shè)點M0的徑矢OM0=r0,平面上的任意一點M的徑矢為OM=r，M0M=ua+vb又因為M0M=r-r0所以r-r0=ua+vb即r=r0+ua+vb（1）方程（1）稱為平面的向量式參數(shù)方程。bxyzaM0MOr0r顯然點M在平面上的充要條件為向量M0M與a,b,面，因為a,b不共線，所以這個共面的條件可寫成：第三頁，共七十五頁，2022年，8月28日3、平面的坐標(biāo)式參數(shù)方程若設(shè)M0，M的坐標(biāo)分別為(x0,y0,z0),(x,y,z),則r0={x0,y0,z0},r={x,y,z}并設(shè)a={X1,Y1,Z1},b={X2,Y2,Z2}則由（1）可得（2）式稱為平面的坐標(biāo)式參數(shù)方程。r=r0+ua+vb（1）第四頁，共七十五頁，2022年，8月28日例1、已知不共線的三點M1(x1,y1,z1),M2(x2,y2,z2),M3(x3,y3,z3),求過這三點的平面的方程。解：r2-r1=M1M2={x2-x1,y2-y1,z2-z1},因此，平面的向量式參數(shù)方程為r=r1+u(r2-r1)+v(r3-r1)(3)坐標(biāo)式參數(shù)方程為設(shè)M(x,y,z)是平面上任意一點，已知點為Mi的徑矢為ri=OMi，則可取方位向量為r3-r1=M1M3={x3-x1,y3-y1,z3-z1},第五頁，共七十五頁，2022年，8月28日從（3），（4）中分別消去參數(shù)u,v可得：（r-r1,r2-r1,r3-r1)=0（5）與或（5）（6）（7）都有叫做平面的三點式方程。第六頁，共七十五頁，2022年，8月28日特別地，若平面與三坐標(biāo)軸的交點分別為M1(a,0,0)M2(0,b,0),M3(0,0,c),其中abc≠0,則平面的方程為稱為平面的截距式方程。其中a,b,c分別稱為平面在三坐標(biāo)軸上的截距。xzyM1M2M3o第七頁，共七十五頁，2022年，8月28日

如果一非零向量垂直于一平面，這向量就叫做該平面的法向量．法向量的特征：垂直于平面內(nèi)的任一向量．二、平面的點法式方程1.法向量:注:1對平面,法向量n不唯一;2平面的法向量n與上任一向量垂直.第八頁，共七十五頁，2022年，8月28日2.平面的點法式方程設(shè)平面過定點M0(x0,

y0,z0),且有法向量n={A,B,C}.對于平面上任一點M(x,

y,z),向量M0M與n垂直.

yxzM0MnOn

M0M=0而M0M={xx0,yy0,zz0},得:A(xx0)+B(yy0)+C(zz0)=0稱方程(1)為平面的點法式方程.(1)第九頁，共七十五頁，2022年，8月28日例1:求過點(2,3,0)且以n={1,2,3}為法向量的平面的方程.解:根據(jù)平面的點法式方程(1),可得平面方程為:1(x2)2(y+3)+3(z0)=0即:x2y+3z8=0第十頁，共七十五頁，2022年，8月28日nM3M2M1解:先找出該平面的法向量n.由于n與向量M1M2,M1M3都垂直.而M1M2={3,4,6}M1M3={2,3,1}可取n=M1M2M1M3=14i+9j

k例2:求過三點M1(2,1,4),M2(1,3,2)和M3(0,2,3)的平面的方程.所以,所求平面的方程為:14(x2)+9(y+1)(z4)=0即:14x+9yz15=0第十一頁，共七十五頁，2022年，8月28日例3、已知兩點M1(1,-2,3),M2(3,0,-1)，求線段的垂直平分面的方程。解：因為向量M1M2={2，2，-4}=2{1，1，-2}垂直于平面，所以平面的一個法向量為n={1,1,-2}.又所求平面過點M1M2的中點M0(2,-1,1)，故平面的點法式方程為(x-2)+(y+1)-2(z-1)=0整理得x+y-2z+1=0第十二頁，共七十五頁，2022年，8月28日三、平面的一般方程1.定理1:任何x,y,z的一次方程.Ax+By+Cz+D=0都表示平面,且此平面的一個法向量是:n={A,B,C}證:A,B,C不能全為0,不妨設(shè)A

0,則方程可以化為它表示過定點注：一次方程:Ax+By+Cz+D=0(2)稱為平面的一般方程.且法向量為n={A,B,C}的平面.第十三頁，共七十五頁，2022年，8月28日例2:已知平面過點M0(1,2,3),且平行于平面2x3y+4z1=0,求其方程.解:所求平面與已知平面有相同的法向量n={23,4}2(x+1)3(y2)+4(z3)=0即:2x3y+4z4=0第十四頁，共七十五頁，2022年，8月28日2.平面方程的幾種特殊情形(1)過原點的平面方程由于O(0,0,0)滿足方程,所以D=0.于是,過原點的平面方程為:Ax+By+Cz=0第十五頁，共七十五頁，2022年，8月28日(2)平行于坐標(biāo)軸的方程考慮平行于x軸的平面Ax+By+Cz+D=0,它的法向量n={A,B,C}與x軸上的單位向量i={1,0,0}垂直,所以n·i=A·1+B·0+C·0=A=0于是:平行于x軸的平面方程是By+Cz+D=0;平行于y軸的平面方程是Ax+Cz+D=0;

平行于z軸的平面方程是Ax+By+D=0.特別:D=0時,平面過坐標(biāo)軸.第十六頁，共七十五頁，2022年，8月28日(3)平行于坐標(biāo)面的平面方程平行于xOy面的平面方程是平行于xOz面的平面方程是平行于yOz面的平面方程是.Cz+D=0;By+D=0;Ax+D=0第十七頁，共七十五頁，2022年，8月28日例3:求通過x軸和點(4,3,1)的平面方程.解:由于平面過x軸,所以A=D=0.設(shè)所求平面的方程是By+Cz=0又點(4,3,1)在平面上,所以3BC=0C=3B所求平面方程為By

3Bz=0即:y

3z=0第十八頁，共七十五頁，2022年，8月28日例4:設(shè)平面與x,y,z軸的交點依次為P(a,0,0),Q(0,b,0),R(0,0,c)三點,求這平面的方程.解:設(shè)所求平面的方程為Ax+By+Cz+D=0因P(a,0,0),Q(0,b,0),R(0,0,c)三點都在這平面上,于是aA+D=0bB+D=0cC+D=0解得:oyPxzQR第十九頁，共七十五頁，2022年，8月28日所求平面的方程為:即:(3)第二十頁，共七十五頁，2022年，8月28日設(shè)平面為由所求平面與已知平面平行得（向量平行的充要條件）解第二十一頁，共七十五頁，2022年，8月28日化簡得令代入體積式所求平面方程為第二十二頁，共七十五頁，2022年，8月28日若平面上的一點特殊地取自原點O向平面所引垂線的垂足，而的法向量取單位向量，設(shè)，那么由點和法向量決定的平面的向量式法式方程為：平面的坐標(biāo)式方程，簡稱法式方程為平面的法式方程是具有下列兩個特征的一種一般方程：①一次項的系數(shù)是單位法向量的坐標(biāo)，它們的平方和等于1；②因為p是原點O到平面的距離，所以常數(shù)第二十三頁，共七十五頁，2022年，8月28日平面的一般方程Ax+By+Cz+D=0與法式方程的互化取乘平面的一般方程Ax+By+Cz+D=0

可得法式方程在取定符號后叫做法式化因子選取的符號通常與常數(shù)項相反的符號第二十四頁，共七十五頁，2022年，8月28日例

把平分面的方程化為法式方程，求自原點指向平面的單位向量及其方向余弦，并求原點到平面的距離第二十五頁，共七十五頁，2022年，8月28日第二節(jié)平面與點的相關(guān)位置

設(shè)P0(x0,y0,z0)是平面Ax+By+Cz+D=0外一點，求點P0到平面的距離。

在平面上任取一點P1(x1,y1,z1)則P1P0={x0x1,y0y1,z0z1}過P0點作一法向量n={A,B,C}于是:第二十六頁，共七十五頁，2022年，8月28日又A(x0x1)+B(y0y1)+C(z0z1)=Ax0+By0+Cz0+D

(Ax1+By1+C

z1+D)=Ax0+By0+Cz0+D所以,得點P0到平面Ax

+By

+Cz

+D=0的距離:(4)第二十七頁，共七十五頁，2022年，8月28日例如:求點A(1,2,1)到平面:x+2y

+2z10=0的距離第二十八頁，共七十五頁，2022年，8月28日第三節(jié)兩平面的相關(guān)位置1、設(shè)兩個平面的方程為：1：A1x+B1y+c1z+D1=0(1)2：A2x+B2y+c2z+D2=0(2)定理1：兩個平面（1）與（2）相交A1:B1:C1≠A2:B2:C2.

平行重合第二十九頁，共七十五頁，2022年，8月28日（1）定義（通常取銳角）兩平面法向量之間的夾角稱為兩平面的夾角.2、兩平面的夾角第三十頁，共七十五頁，2022年，8月28日（2）、兩個平面的交角公式

設(shè)兩個平面1，2間的二面角用(1,2)表示，而兩平面的法向量n1,n2的夾角記為θ=(n1,n2），顯然有(1,2)=θ或-θ因此1n1n22第三十一頁，共七十五頁，2022年，8月28日3、兩平面垂直的充要條件兩平面(1)(2)垂直的充要條件為A1A2+B1B2+C1C2=0第三十二頁，共七十五頁，2022年，8月28日例5:一平面通過兩點M1(1,1,1)和M2(0,1,1),且垂直于平面x+y+z=0,求它的方程.解:設(shè)所求平面的一個法向量n={A,B,C}已知平面x+y+z=0的法向量n1={1,1,1}所以:nM1M2

且nn1

而M1M2={1,0,2}于是:A

(1)+B

0+C(2)=0

A

1+B

1+C1=0第三十三頁，共七十五頁，2022年，8月28日解得:B=CA=2C取C=1,得平面的一個法向量n={2,1,1}所以,所求平面方程是2(x1)+1(y1)+1(z1)=0即:2xyz=0第三十四頁，共七十五頁，2022年，8月28日例6

研究以下各組里兩平面的位置關(guān)系：解兩平面相交，夾角第三十五頁，共七十五頁，2022年，8月28日兩平面平行兩平面平行但不重合．兩平面平行兩平面重合.第三十六頁，共七十五頁，2022年，8月28日練習(xí)題第三十七頁，共七十五頁，2022年，8月28日第三十八頁，共七十五頁，2022年，8月28日練習(xí)題答案第三十九頁，共七十五頁，2022年，8月28日

已知直線l通過定點M0(x0,y0),且與非零矢量v

={X,Y}共線，求直線l的方程。解：設(shè)M(x,y)為直線l上任意一點，并設(shè)OM=r，OM0=r0，則點M在l上的充要條件為矢量M0M與v共線，即M0M=tv(t為隨M而定的實數(shù)）又因為M0M=r-r0所以r-r0=tv（1）矢量式參數(shù)方程為

r=r0+tv(＜t＜+)（2）矢量式參數(shù)方程為故得l的

第四節(jié)空間直線及其方程第四十頁，共七十五頁，2022年，8月28日注1：參數(shù)t的幾何意義：當(dāng)v是單位矢量時，|t|為點M與M0之間距離。事實上，|MM0|=|tv|=|t|注2：直線的方向矢量：與直線l共線的非零矢量v稱為直線l的方向矢量。（3）：直線的對稱式方程由直線的參數(shù)方程（2）中消去參數(shù)t可得：對稱式方程第四十一頁，共七十五頁，2022年，8月28日定義空間直線可看成兩平面的交線．空間直線的一般方程一、空間直線的一般方程第四十二頁，共七十五頁，2022年，8月28日1、方位向量的定義：

如果一非零向量s={m,n,p},平行于一條已知直線，這個向量稱為這條直線的方位向量．二、空間直線的對稱式方程

而s的坐標(biāo)m,n,p稱為直線L的一組方向數(shù).sM0L第四十三頁，共七十五頁，2022年，8月28日2.直線的對稱式方程已知直線L過M0(x0,y0,z0)點方位向量s={m,n,p}所以得比例式(2)稱為空間直線的對稱式方程或點向式方程.//第四十四頁，共七十五頁，2022年，8月28日三、空間直線的參數(shù)式方程得:稱為空間直線的參數(shù)方程.(3)令直線的一組方向數(shù)方位向量的余弦稱為直線的方向余弦.第四十五頁，共七十五頁，2022年，8月28日例1:寫出直線x+y+z+1=02xy+3z+4=0的對稱式方程.解:(1)先找出直線上的一點M0(x0,y0,z0)令z0=0,代入方程組,得x+y+1=02xy+4=0解得:所以,點在直線上.第四十六頁，共七十五頁，2022年，8月28日(2)再找直線的方位向量s.由于平面1:x+y+z+1=0的法線向量n1={1,1,1}平面2:2xy+3z+4=0的法線向量n2={2,1,3}所以,可取=4ij3k于是,得直線的對稱式方程:第四十七頁，共七十五頁，2022年，8月28日例2:求通過點A(2,3,4)與B(4,1,3)的直線方程.解:直線的方位向量可取AB={2,2,1}所以,直線的對稱式方程為第四十八頁，共七十五頁，2022年，8月28日

第五節(jié)直線與平面的相關(guān)位置設(shè)直線和平面的方程分別為一、直線與平面的位置關(guān)系的充要條件定理1直線(1)與平面(2)的相互位置關(guān)系有下列的充要條件：第四十九頁，共七十五頁，2022年，8月28日1o

相交：AX+BY+CZ≠02o

平行AX+BY+CZ=0Ax0+By0+CZ0+D≠03o

重合AX+BY+CZ=0Ax0+By0+CZ0+D=0證：將直線方程改與為參數(shù)式第五十頁，共七十五頁，2022年，8月28日將（3）代入（2）并整理得(AX+BY+CZ)t=-(Ax0+By0+Cz0+D)（4）因此，當(dāng)且僅當(dāng)AX+BY+CZ≠0時，（4）有唯一解這時直線與平面有唯一公共點；當(dāng)且僅當(dāng)AX+BY+CZ=0，Ax0+By0+Cz0+D≠0時方程（4）無解，這時直線與平面有沒有公共點；當(dāng)且僅當(dāng)AX+BY+CZ=0，Ax0+By0+Cz0+D=0時方程（4）有無數(shù)個解，這時直線在平面內(nèi)。第五十一頁，共七十五頁，2022年，8月28日定義直線和它在平面上的投影直線的夾角稱為直線與平面的夾角．^^二、直線與平面的夾角第五十二頁，共七十五頁，2022年，8月28日（1）直線與平面的夾角公式（2）直線與平面的位置關(guān)系：//s//ns

n第五十三頁，共七十五頁，2022年，8月28日例1:判定下列各組直線與平面的關(guān)系.解:L的方位向量s={2,7,3}的法向量n={4,2,2}s

n=(2)4+(7)(2)+3(2)=0又M0(3,4,0)在直線L上,但不滿足平面方程,所以L與平行,但不重合.第五十四頁，共七十五頁，2022年，8月28日解:L的方位向量s={3,2,7}的法向量n={6,4,14}L與垂直.第五十五頁，共七十五頁，2022年，8月28日解:L的方位向量s={3,1,4}的法向量n={1,1,1}s

n=31+1

1+(4)

1=0又L上的點M0(2,2,3)滿足平面方程,所以,L與重合.第五十六頁，共七十五頁，2022年，8月28日解為所求夾角．第五十七頁，共七十五頁，2022年，8月28日第六節(jié)空間兩直線的位置關(guān)系一、空間兩直線的位置關(guān)系1、位置關(guān)系：共面異面相交平行重合2、相關(guān)位置的判定：設(shè)兩直線L1,L2的方程為s1={m1,n1,p1}s2={m2,n2,p2}第五十八頁，共七十五頁，2022年，8月28日定理1判定空間兩直線L1，L2的相關(guān)位置的充要條件：（1）異面（2）共面?=0相交：m1:n1:p1≠m2:n2:p2平行：m1:n1:p1=m2:n2:p2≠(x2-x1):(y2-y1):(z2-z1)重合：m1:n1:p1=m2:n2:p2=(x2-x1):(y2-y1):(z2-z1)第五十九頁，共七十五頁，2022年，8月28日二、兩直線的夾角定義:兩直線的方位向量間的夾角稱為兩直線的夾角,常指銳角.s1s2已知直線L1,L2的方程s1={m1,n1,p1}s2={m2,n2,p2}第六十頁，共七十五頁，2022年，8月28日1.L1與L2的夾角的余弦為:2.L1垂直于L2m1m2+n1n2+p1p2=03.L1平行于L2第六十一頁，共七十五頁，2022年，8月28日解:直線L1,L2的方位向量s1={1,4,1}

s2={2,2,1}有:所以:第六十二頁，共七十五頁，2022年，8月28日解設(shè)所求直線的方位向量為根據(jù)題意知取所求直線的方程第六十三頁，共七十五頁，2022年，8月28日解先作一過點M且與已知直線垂直的平面再求已知直線與該平面的交點N,令第六十四頁，共七十五頁，2022年，8月28日代入平面方程得,交點取所求直線的方位向量為所求直線方程為第六十五頁，共七十五頁，2022年，8月28日三、兩異面直線間的距離與公垂線的方程1、兩異面直線間的距離設(shè)兩異面直線L1，L2與其公垂線L0的交點為N1，N2，則L1與L2之間的距離L0L1L2N1N2M1M2s1s2第六十六頁，共七十五頁，2022年，8月28日所以兩異面直線L1，L2的距離為第六十七頁，共七十五頁，2022年，8月28日2、兩直線的公垂線方程

公垂線可看為由過L1上的點M1，以v1,v1v2為方位向量的平面與過L2上的點M2，以v2,v1v2為方位向量的平面的交線，因此，公垂線的方程為：其中{X，Y，Z}為v1v2

的分量。第六十八頁，共七十五頁，2022年，8月28日例1求通過點P(1,1,1)且與兩直線都相交的直線的方程。解：設(shè)所求直線的方向矢為v={X,Y,Z},則直線為因為L與L1，L2都相交，且L1過點M1(0,0,0),方向矢為v1={1,2,3},L2過點M2(1,2,3)，方向矢為v2={2,1,4}故第六十九頁，共七十五頁，2022年，8月28日即X-2Y+Z=0X+2Y-Z=0