積分與路徑無關(guān)

積分與路徑無關(guān)第一頁，共四十六頁，2022年，8月28日引例.計算，其中L為:(1)從點O(0，0)沿上半圓x2+y2=2x到點A(2，0)。從點O(0，0)沿折線y=1-|1-x|到點A(2，0)。(3)從點O(0，0)沿x軸到點A(2，0)。yxoBA12可以算得:注意：被積函數(shù)相同，起點和終點也相同，路徑不同而積分結(jié)果相同!.第二類曲線積分與路徑無關(guān)？第二頁，共四十六頁，2022年，8月28日第7.4節(jié)曲線積分與路徑無關(guān)四、全微分方程一、曲線積分與路徑無關(guān)的定義二、平面曲線積分與路徑無關(guān)的條件三、求原函數(shù)第三頁，共四十六頁，2022年，8月28日一、曲線積分與路徑無關(guān)的定義設(shè)D是平面開區(qū)域，函數(shù)P(x,y)、Q(x,y)在D內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù).如果D內(nèi)任意兩個指定點A,B,以及在D內(nèi)從點A到點B的任意兩條有向曲線L1，L2,成立，則稱曲線積分在D內(nèi)與路徑無關(guān),問題：在什么條件下，第二類曲線積分與積分路徑無關(guān)？恒有：第四頁，共四十六頁，2022年，8月28日定理1設(shè)D為平面內(nèi)的單連通區(qū)域，函數(shù)P(x，y)，Q(x，y)在D上有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)，則下列四個命題等價，二平面曲線積分與路徑無關(guān)的條件(1)沿D內(nèi)任一閉曲線L，有(2)在D內(nèi)與積分路徑無關(guān)；(3)P(x，y)dx+Q(x，y)dy在D內(nèi)是某一函數(shù)u(x，y)的全微分，(4)在D內(nèi)每一點滿足即du(x，y)=P(x，y)dx+Q(x，y)dy.第五頁，共四十六頁，2022年，8月28日1.選取為積分路徑：求函數(shù)方法：（M0(x0,y0)為定點，M(x,y)為任意點,YX且積分與路徑無關(guān)?。┑诹?，共四十六頁，2022年，8月28日2.選取為積分路徑：YX第七頁，共四十六頁，2022年，8月28日1、在D內(nèi)與積分路徑無關(guān)2、P(x，y)dx+Q(x，y)dy是D內(nèi)某一函數(shù)u(x，y)的全微分，即du(x，y)=P(x，y)dx+Q(x，y)dy.由定理1知：（兩個常用結(jié)論）設(shè)D為單連通區(qū)域，函數(shù)P(x，y)，Q(x，y)在D內(nèi)有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)，（稱u(x,y)為P(x，y)dx+Q(x，y)dy的一個原函數(shù)）第八頁，共四十六頁，2022年，8月28日引例.計算，其中L為:(1)從點O(0，0)沿上半圓x2+y2=2x到點A(2，0)。從點O(0，0)沿折線y=1-|1-x|到點A(2，0)。(3)從點O(0，0)沿x軸到點A(2，0)。yxoBA12可以算得:所以該積分與路徑無關(guān)第九頁，共四十六頁，2022年，8月28日例1計算：解：O12(2，1)由于在整個平面(單連通區(qū)域)上均成立，則此積分與路徑無關(guān)，故可如圖選取路徑：

第十頁，共四十六頁，2022年，8月28日

例2：求，其中L:x2+xy+y2=1為逆時針方向

由在整個平面上均成立，解：在整個平面上與路徑無關(guān)第十一頁，共四十六頁，2022年，8月28日總結(jié):2.若L是未封閉的曲線，可選取簡單的路徑來計算積分.1.若L是封閉曲線，且則該積分在單連通區(qū)域D內(nèi)與路徑無關(guān)!計算(D為單連通區(qū)域，P,Q有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù))第十二頁，共四十六頁，2022年，8月28日注意:第二類曲線積分與路徑無關(guān)的定理要求區(qū)域D是單連通的，且函數(shù)P(x，y)，Q(x，y)在D內(nèi)有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)，否則結(jié)論未必成立。例如：所以在不含原點的單連通區(qū)域內(nèi)，積分與路徑無關(guān)。OL即當(dāng)L不包含原點時，（L為簡單閉曲線，方向為逆時針，見P186,例3）第十三頁，共四十六頁，2022年，8月28日當(dāng)L所圍區(qū)域D含原點時，P、Q在（0，0）點無意義（如圖）。LO（L方向為逆時針）第十四頁，共四十六頁，2022年，8月28日例3：求，其中L為從點(1，0)沿上半圓x2+y2=1到點(-1，0)。解：在整個平面上除原點外均成立，則OL則此積分在不含原點的單連通區(qū)域內(nèi)與路徑無關(guān)，故可選取新路徑：第十五頁，共四十六頁，2022年，8月28日其中t從0到O第十六頁，共四十六頁，2022年，8月28日計算的方法：方法三:直接轉(zhuǎn)化為定積分。方法二:格林公式。方法一:積分與路徑無關(guān)。(平面上的第二類曲線積分)第十七頁，共四十六頁，2022年，8月28日三、求原函數(shù)若存在可微函數(shù)u(x,y),則稱u(x,y)是P(x，y)dx+Q(x，y)dy的一個原函數(shù).使du(x,y)=P(x,y)dx+Q(x,y)dy,由定理1知，若P(x，y)，Q(x，y)在單連通區(qū)域D且P(x，y)dx+Q(x，y)dy是D內(nèi)某一函數(shù)u(x，y)的全微分，即du(x，y)=P(x，y)dx+Q(x，y)dy.且積分與路徑無關(guān)!）內(nèi)存在連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)，則（M0(x0,y0)為D內(nèi)定點，M(x,y)為任意點,第十八頁，共四十六頁，2022年，8月28日1.選取為積分路徑：求原函數(shù)的方法：（M0(x0,y0)為定點，M(x,y)為任意點,YX且積分與路徑無關(guān)?。┑谑彭摚菜氖?，2022年，8月28日2.選取為積分路徑：YX第二十頁，共四十六頁，2022年，8月28日

例4驗證在整個xOy面上是某一函數(shù)的全微分，并求出一個這樣的函數(shù)。解：故在整個平面上是某函數(shù)u(x,y)的全微分；且O(x，0)(x，y)在整個平面上均成立第二十一頁，共四十六頁，2022年，8月28日判別：四、全微分方程若P(x，y)，Q(x，y)在單連通區(qū)域D內(nèi)存在連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)，則第二十二頁，共四十六頁，2022年，8月28日求解全微分方程：故求解全微分方程(C為任意常數(shù))亦即求P(x,y)dx+Q(x,y)dy的一個原函數(shù)u(x,y)。與同解.的通解為:第二十三頁，共四十六頁，2022年，8月28日例5求解微分方程(2x-y2)dx-(2xy+1)dy=0。解：故(2x-y2)dx-(2y+1)dy=0是全微分方程；(如圖取積分路徑)O(x，0)(x，y)則方程的通解：第二十四頁，共四十六頁，2022年，8月28日1.判定方程是否為全微分方程3.寫出通解u(x，y)=C；2.求P(x，y)dx+Q(x，y)dy的原函數(shù)u(x，y)；求解全微分方程的步驟：第二十五頁，共四十六頁，2022年，8月28日如xdy-ydx=0不是全微分方程，得(全微分方程!)而乘以注:有些非全微分方程可以轉(zhuǎn)化為全微分方程.稱為方程的一個積分因子.第二十六頁，共四十六頁，2022年，8月28日為全微分方程，則稱函數(shù)為方程的積分因子。一般來講，求積分因子的難度較大，在常微分方程中有詳細(xì)的涉及。若一階常微分方程：P(x，y)dx+Q(x，y)dy=0不是全微分方程。但存在使方程第二十七頁，共四十六頁，2022年，8月28日練習(xí)：故在不包含y軸的區(qū)域內(nèi),該積分與路徑無關(guān)解：第二十八頁，共四十六頁，2022年，8月28日第二十九頁，共四十六頁，2022年，8月28日第三十頁，共四十六頁，2022年，8月28日第三十一頁，共四十六頁，2022年，8月28日思考題:(單元檢測題)第三十二頁，共四十六頁，2022年，8月28日例5：驗證在右半平面(x>0)上是某一函數(shù)的全微分，并求出一個這樣的函數(shù)。由于上式在整個平面上除原點外均成立，故在右半平面上是某一函數(shù)的全微分；解：且第三十三頁，共四十六頁，2022年，8月28日如圖所示,取積分路徑，O(x，0)(x，y)1第三十四頁，共四十六頁，2022年，8月28日例5設(shè)函數(shù)具有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，且，試確定使方程為全微分方程，并求其通解。解：要使方程為全微分方程，只需即：又，從而C=-2，代入原方程得全微分方程：(見P203例7)第三十五頁，共四十六頁，2022年，8月28日于是則方程的通解：O(x，0)(x，y)第三十六頁，共四十六頁，2022年，8月28日§7.5場論初步場向量場的通量與散度向量場的環(huán)流量與旋度第三十七頁，共四十六頁，2022年，8月28日當(dāng)物理量為數(shù)量時,稱之為數(shù)量場.、場若在空間區(qū)域V中每一個點,都對應(yīng)著某個物理量的一個確定的值,則稱V中確定了該物理量的一個場.當(dāng)物理量為向量時,稱之為向量場.(如溫度場,密度場等)(如力場,流速場等)第三十八頁，共四十六頁，2022年，8月28日二.向量場的通量與散度:設(shè)空間區(qū)域V內(nèi)有向量場S為空間區(qū)域V內(nèi)有向光滑曲面,則稱為向量場通過S流向指定一側(cè)的通量.Gauss公式:即散度,第三十九頁，共四十六頁，2022年，8月28日三.向量場的環(huán)流量與旋度:設(shè)空間區(qū)域V內(nèi)有向量場L為空間區(qū)域V內(nèi)有向光滑封閉曲線,則稱為向量場沿L的環(huán)流量.Stokes公式:可表示為：旋度,第四十頁，共四十六頁，2022年，8月28日填空題:(2001年考研一)第四十一頁，共四十六頁，2022年，8月28日第四十二頁，共四十六頁，2022年，8月28日xyzo解作輔助面S1：Z=0,作輔助面S2：S1S2取下側(cè)；（為適當(dāng)小的正數(shù)）:計算其中S為曲面