第七章線性代數(shù)中的數(shù)值計(jì)算問題

第七章線性代數(shù)中的數(shù)值計(jì)算問題第一頁，共三十三頁，2022年，8月28日要解決的問題矩陣求逆行列式的求法及其應(yīng)用線性方程組的求解第二頁，共三十三頁，2022年，8月28日一、對(duì)角陣與三角陣

1．對(duì)角陣

只有對(duì)角線上有非0元素的矩陣稱為對(duì)角矩陣，對(duì)角線上的元素相等的對(duì)角矩陣稱為數(shù)量矩陣，對(duì)角線上的元素都為1的對(duì)角矩陣稱為單位矩陣。7.1特殊矩陣第三頁，共三十三頁，2022年，8月28日提取矩陣的對(duì)角線元素

設(shè)A為m×n矩陣，diag(A)函數(shù)用于提取矩陣A主對(duì)角線元素，產(chǎn)生一個(gè)具有min(m,n)個(gè)元素的列向量。

構(gòu)造對(duì)角矩陣

設(shè)V為具有m個(gè)元素的向量，diag(V)將產(chǎn)生一個(gè)m×m對(duì)角矩陣，其主對(duì)角線元素即為向量V的元素。

第四頁，共三十三頁，2022年，8月28日例7-1先建立5×5矩陣A，然后將A的第一行元素乘以1，第二行乘以2，…，第五行乘以5。

A=[17,0,1,0,15;23,5,7,14,16;4,0,13,0,22;10,12,19,21,3;...

11,18,25,2,19];

D=diag(1:5);

D*A%用D左乘A，對(duì)A的每行乘以一個(gè)指定常數(shù)

第五頁，共三十三頁，2022年，8月28日2．三角陣

三角陣又進(jìn)一步分為上三角陣和下三角陣，所謂上三角陣，即矩陣的對(duì)角線以下的元素全為0的一種矩陣，而下三角陣則是對(duì)角線以上的元素全為0的一種矩陣。第六頁，共三十三頁，2022年，8月28日(1)上三角矩陣

求矩陣A的上三角陣的MATLAB函數(shù)是triu(A)。

triu(A)函數(shù)有另一種形式triu(A,k)，其功能是求矩陣A的第k條對(duì)角線以上的元素。例如，提取矩陣A的第2條對(duì)角線以上的元素，形成新的矩陣B。(2)下三角矩陣

在MATLAB中，提取矩陣A的下三角矩陣的函數(shù)是tril(A)和tril(A,k)，其用法與提取上三角矩陣的函數(shù)triu(A)和triu(A,k)完全相同。第七頁，共三十三頁，2022年，8月28日一、矩陣的轉(zhuǎn)置與旋轉(zhuǎn)

1．矩陣的轉(zhuǎn)置

轉(zhuǎn)置運(yùn)算符是單撇號(hào)(‘)。

2、矩陣的左右翻轉(zhuǎn)

對(duì)矩陣實(shí)施左右翻轉(zhuǎn)是將原矩陣的第一列和最后一列調(diào)換，第二列和倒數(shù)第二列調(diào)換，…，依次類推。MATLAB對(duì)矩陣A實(shí)施左右翻轉(zhuǎn)的函數(shù)是fliplr(A)。7.2矩陣分析第八頁，共三十三頁，2022年，8月28日3、矩陣的上下翻轉(zhuǎn)

MATLAB對(duì)矩陣A實(shí)施上下翻轉(zhuǎn)的函數(shù)是flipud(A)。第九頁，共三十三頁，2022年，8月28日1．矩陣的逆

對(duì)于一個(gè)方陣A，如果存在一個(gè)與其同階的方陣B，使得：

A·B=B·A=I(I為單位矩陣)

則稱B為A的逆矩陣，當(dāng)然，A也是B的逆矩陣。

求一個(gè)矩陣的逆是一件非常煩瑣的工作，容易出錯(cuò)，但在MATLAB中，求一個(gè)矩陣的逆非常容易。求方陣A的逆矩陣可調(diào)用函數(shù)inv(A)。

二、矩陣的逆與偽逆第十頁，共三十三頁，2022年，8月28日例7-2用求逆矩陣的方法解線性方程組。設(shè)則原線性方程組可簡寫為：其解為：第十一頁，共三十三頁，2022年，8月28日第十二頁，共三十三頁，2022年，8月28日逆矩陣的求解方法1：A^-1方法2：inv(A)方法3：A\eye(4)方法4：U=rref([A,eye(4)]);U(:,5:8)第十三頁，共三十三頁，2022年，8月28日rref函數(shù)：求矩陣的行最簡階梯形矩陣matlab把“最簡行階梯形式（reducedrowechelomform）”的計(jì)算過程集成為一個(gè)子程序rref，它的輸入變元可以是線性方程組的系數(shù)矩陣，也可以是其增廣矩陣，輸出變元是它的最簡行階梯形式。第十四頁，共三十三頁，2022年，8月28日用matlab語言表達(dá)行變換：1)將矩陣的第i,j兩行進(jìn)行交換的語句為：a([i,j],:)=a([j,i],:)2)將矩陣的第j行乘以常數(shù)k的語句為：a(j,:)=k*a(j,:)3)將矩陣的第i行乘以常數(shù)k加到第j行的語句為：a(j,:)=a(j,:)+k*a(i,:)第十五頁，共三十三頁，2022年，8月28日當(dāng)方陣為奇異矩陣（行列式等于零）時(shí)，要求其逆矩陣，matlab將給出警告信息：MatrixisclosetosingularorbadlyscaledResultsmaybeinaccurate.第十六頁，共三十三頁，2022年，8月28日2．矩陣的偽逆

如果矩陣A不是一個(gè)方陣，或者A是一個(gè)非滿秩的方陣時(shí)，矩陣A沒有逆矩陣，但可以找到一個(gè)與A的轉(zhuǎn)置矩陣A‘同型的矩陣B，使得：

A·B·A=A

B·A·B=B

此時(shí)稱矩陣B為矩陣A的偽逆，也稱為廣義逆矩陣。在MATLAB中，求一個(gè)矩陣偽逆的函數(shù)是：pinv(A)第十七頁，共三十三頁，2022年，8月28日把一個(gè)方陣看作一個(gè)行列式，并對(duì)其按行列式的規(guī)則求值，這個(gè)值就稱為矩陣所對(duì)應(yīng)的行列式的值。在MATLAB中，求方陣A所對(duì)應(yīng)的行列式的值的函數(shù)是

det(A)三、方陣的行列式(determination)第十八頁，共三十三頁，2022年，8月28日行列式計(jì)算方法很多，但化為三角矩陣最適合計(jì)算機(jī)求解。把方陣用消元法進(jìn)行簡化，將它主對(duì)角線以下的元素變?yōu)榱?，并保證消元過程中方陣的行列式不變，得到的上三角矩陣主對(duì)角線元素的連乘積就等于原方陣的行列式。第十九頁，共三十三頁，2022年，8月28日把方陣變換為上三角矩陣：LU分解matlab提供了矩陣的三角分解函數(shù)lu.m,其調(diào)用格式為：

[L,U]=lu(A)返回的結(jié)果是一個(gè)準(zhǔn)下三角矩陣L和一個(gè)上三角矩陣U。求出上三角矩陣U的主對(duì)角線元素的連乘積：

D=prod(diag(U))matlab已經(jīng)把上述過程集成在一起，給出了直接計(jì)算方陣行列式的函數(shù)det.m第二十頁，共三十三頁，2022年，8月28日例7-3用克拉默方法求解線性方程組根據(jù)克拉默方法求解一個(gè)n階的線性方程組要計(jì)算n+1個(gè)行列式的值，在matlab中要構(gòu)造n+1個(gè)矩陣第二十一頁，共三十三頁，2022年，8月28日D=[22-11;43-12;8;5-34;33-22];b=[4;6;12;6];D1=[b,D(:,2:4)];D2=[D(:,1),b,D(:,3:4)];D3=[D(:,1:2),b,D(:,4)];D4=[D(:,1:3),b];DD=det(D);x1=det(D1)/DD;x2=det(D2)/DD;x3=det(D3)/DD;x4=det(D4)/DD;[x1x2x3x4]第二十二頁，共三十三頁，2022年，8月28日1．矩陣的秩

矩陣線性無關(guān)的行數(shù)與列數(shù)稱為矩陣的秩。在MATLAB中，求矩陣秩的函數(shù)是rank(A)。2．矩陣的跡

矩陣的跡等于矩陣的對(duì)角線元素之和，也等于矩陣的特征值之和。在MATLAB中，求矩陣的跡的函數(shù)是trace(A)。四、矩陣的秩與跡第二十三頁，共三十三頁，2022年，8月28日五、線性方程組求解齊次線性方程組的求解第二十四頁，共三十三頁，2022年，8月28日齊次線性方程組有解的條件有唯一零解。1、當(dāng)有無窮多解。此時(shí)有r個(gè)獨(dú)立2、當(dāng)未知量，r個(gè)獨(dú)立方程，有n-r個(gè)自由未知量，有n-r個(gè)線性無關(guān)解向量第二十五頁，共三十三頁，2022年，8月28日例7-4若齊次線性方程組的系數(shù)矩陣為：第二十六頁，共三十三頁，2022年，8月28日令可求得：組合成基礎(chǔ)解系：此齊次方程的通解為：第二十七頁，共三十三頁，2022年，8月28日非齊次線性方程組的求解第二十八頁，共三十三頁，2022年，8月28日非齊次線性方程組有解的條件時(shí)無解。1、當(dāng)時(shí)有唯一解。2、當(dāng)時(shí)有無窮多解。3、當(dāng)?shù)诙彭摚踩摚?022年，8月28日例7-4若非齊次線性方程組的增廣矩陣為：因?yàn)椋苑匠探M有無窮多解。第三十頁，共三十三頁，2022年，8月28日令可求得特解：對(duì)應(yīng)其次方程組的基礎(chǔ)解系：此齊次方程的通解為：第三十一頁，共三十三頁，2022年，8月28日線性方程組的解第一步：判斷是齊次方程還是非齊次方程第二步：若為非齊次方程判斷rank(A)與rank(B)的關(guān)系1、若相等：1）rank(A)=n則有唯一解x=A\b2）rank(A)<n有無窮多解特解+通解

2、若不相等則方程無解，有最小二乘解第三步：若為齊次方程1）rank(A)=n則有零解2）rank(A)<n有無窮多解通解

第三十二頁，共三十三頁，2022年，8月28日function[x,y]=line_solution(A,b)[m,n]=size(A);x=[];y=[];ifnorm(b)>0ifrank(A)==rank([A,b])ifrank(A)==ndisp('原方程組有唯一解x');x=A\b;elsedisp('原方程組有無窮多個(gè)解，特解為x，其齊次方程組的基礎(chǔ)解系為y');x=A\b;y=null(A,'r');