三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)復(fù)習(xí)導(dǎo)學(xué)案

§4.3三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)1.考查三角函數(shù)的圖像：五點法作簡圖、圖像變換、圖像的解析式；2.考查三角函數(shù)的性質(zhì)：值域或最值，單調(diào)區(qū)間、對稱性等；3.考查數(shù)形結(jié)合思想．復(fù)習(xí)備考要這樣做1.會作三角函數(shù)的圖像，通過圖像研究三角函數(shù)的性質(zhì)；2.對三角函數(shù)進行恒等變形，然后討論其圖像、性質(zhì)；3.注重函數(shù)與方程、轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想方法的應(yīng)用．1．“五點法”作圖原理在確定正弦函數(shù)y＝sinx在[0,2π]上的圖像形狀時，起關(guān)鍵作用的五個點是(0,0)、eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，1))、(π，0)、eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)π，－1))、(2π，0)．余弦函數(shù)呢？2．三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)函數(shù)性質(zhì)y＝sinxy＝cosxy＝tanx定義域RR{x|x≠kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z}圖像值域[－1,1][－1,1]R對稱性對稱軸：x＝kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)；對稱中心：(kπ，0)(k∈Z)對稱軸：x＝kπ(k∈Z)；對稱中心：(kπ＋eq\f(π,2)，0)(k∈Z)對稱中心：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(kπ,2)，0))(k∈Z)周期2π2ππ單調(diào)性單調(diào)增區(qū)間[2kπ－eq\f(π,2)，2kπ＋eq\f(π,2)](k∈Z)；單調(diào)減區(qū)間[2kπ＋eq\f(π,2)，2kπ＋eq\f(3π,2)](k∈Z)單調(diào)增區(qū)間[2kπ－π，2kπ](k∈Z)；單調(diào)減區(qū)間[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)單調(diào)增區(qū)間(kπ－eq\f(π,2)，kπ＋eq\f(π,2))(k∈Z)奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)[難點正本疑點清源]1．函數(shù)的周期性若f(ωx＋φ＋T)＝f(ωx＋φ)(ω>0)，常數(shù)T不能說是函數(shù)f(ωx＋φ)的周期．因為f(ωx＋φ＋T)＝feq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(ω\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(T,ω)))＋φ))，即自變量由x增加到x＋eq\f(T,ω)，eq\f(T,ω)是函數(shù)的周期．2．求三角函數(shù)值域(最值)的方法(1)利用sinx、cosx的有界性；(2)形式復(fù)雜的函數(shù)應(yīng)化為y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式逐步分析ωx＋φ的范圍，根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性寫出函數(shù)的值域；(3)換元法：把sinx或cosx看作一個整體，可化為求函數(shù)在區(qū)間上的值域(最值)問題．1．設(shè)點P是函數(shù)f(x)＝sinωx(ω≠0)的圖像C的一個對稱中心，若點P到圖像C的對稱軸的距離的最小值是eq\f(π,4)，則f(x)的最小正周期是________．答案π解析由正弦函數(shù)的圖像知對稱中心與對稱軸的距離的最小值為最小正周期的eq\f(1,4)，故f(x)的最小正周期為T＝4×eq\f(π,4)＝π.2．y＝2－3coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)))的最大值為______，此時x＝_______________________.答案5eq\f(3,4)π＋2kπ，k∈Z解析當coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)))＝－1時，函數(shù)y＝2－3coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)))取得最大值5，此時x＋eq\f(π,4)＝π＋2kπ(k∈Z)，從而x＝eq\f(3,4)π＋2kπ，k∈Z.3．(2012·福建)函數(shù)f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,4)))的圖像的一條對稱軸是 ()A．x＝eq\f(π,4)B．x＝eq\f(π,2)C．x＝－eq\f(π,4)D．x＝－eq\f(π,2)答案C解析方法一∵正弦函數(shù)圖像的對稱軸過圖像的最高點或最低點，故令x－eq\f(π,4)＝kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z，∴x＝kπ＋eq\f(3π,4)，k∈Z.取k＝－1，則x＝－eq\f(π,4).方法二用驗證法．x＝eq\f(π,4)時，y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－\f(π,4)))＝0，不合題意，排除A；x＝eq\f(π,2)時，y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－\f(π,4)))＝eq\f(\r(2),2)，不合題意，排除B；x＝－eq\f(π,4)時，y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)－\f(π,4)))＝－1，符合題意，C項正確；x＝－eq\f(π,2)時，y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)－\f(π,4)))＝－eq\f(\r(2),2)，不合題意，故D項也不正確．4．函數(shù)y＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－x))的定義域為 ()A．{x|x≠kπ－eq\f(π,4)，k∈Z} B．{x|x≠2kπ－eq\f(π,4)，k∈Z}C．{x|x≠kπ＋eq\f(π,4)，k∈Z} D．{x|x≠2kπ＋eq\f(π,4)，k∈Z}答案A解析令eq\f(π,4)－x≠kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z，∴x≠kπ－eq\f(π,4)，k∈Z.5．給出下列四個命題，其中不正確的命題為 ()①若cosα＝cosβ，則α－β＝2kπ，k∈Z；②函數(shù)y＝2coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))的圖像關(guān)于x＝eq\f(π,12)對稱；③函數(shù)y＝cos(sinx)(x∈R)為偶函數(shù)；④函數(shù)y＝sin|x|是周期函數(shù)，且周期為2π.A．①② B．①④ C．①②③ D．①②④答案D解析命題①：若α＝－β，則cosα＝cosβ，假命題；命題②：x＝eq\f(π,12)，coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))＝coseq\f(π,2)＝0，故x＝eq\f(π,12)不是y＝2coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))的對稱軸；命題④：函數(shù)y＝sin|x|不是周期函數(shù)．題型一三角函數(shù)的定義域、值域問題例1(1)求函數(shù)y＝lgsin2x＋eq\r(9－x2)的定義域；(2)求函數(shù)y＝cos2x＋sinxeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(|x|≤\f(π,4)))的最大值與最小值．思維啟迪：求函數(shù)的定義域可利用三角函數(shù)的圖像或數(shù)軸；求函數(shù)值域時要利用正弦函數(shù)的值域或化為二次函數(shù)．解(1)由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sin2x>0,9－x2≥0))，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2kπ<2x<2kπ＋π，k∈Z，,－3≤x≤3.))∴－3≤x<－eq\f(π,2)或0<x<eq\f(π,2).∴函數(shù)y＝lgsin2x＋eq\r(9－x2)的定義域為{x|－3≤x<－eq\f(π,2)或0<x<eq\f(π,2)}．(2)令t＝sinx，∵|x|≤eq\f(π,4)，∴t∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(\r(2),2)，\f(\r(2),2))).∴y＝－t2＋t＋1＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t－\f(1,2)))2＋eq\f(5,4)，∴當t＝eq\f(1,2)時，ymax＝eq\f(5,4)，t＝－eq\f(\r(2),2)時，ymin＝eq\f(1－\r(2),2).∴函數(shù)y＝cos2x＋sinx(|x|≤eq\f(π,4))的最大值為eq\f(5,4)，最小值為eq\f(1－\r(2),2).探究提高(1)求三角函數(shù)的定義域?qū)嶋H上是解簡單的三角不等式，常借助三角函數(shù)線或三角函數(shù)圖像來求解．(2)求解三角函數(shù)的值域(最值)常見到以下幾種類型的題目：①形如y＝asinx＋bcosx＋c的三角函數(shù)化為y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式，再求最值(值域)；②形如y＝asin2x＋bsinx＋c的三角函數(shù)，可先設(shè)sinx＝t，化為關(guān)于t的二次函數(shù)求值域(最值)；③形如y＝asinxcosx＋b(sinx±cosx)＋c的三角函數(shù)，可先設(shè)t＝sinx±cosx，化為關(guān)于t的二次函數(shù)求值域(最值)．(1)求函數(shù)y＝eq\r(sinx－cosx)的定義域；(2)已知函數(shù)f(x)＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3)))＋2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,4)))·sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)))，求函數(shù)f(x)在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,12)，\f(π,2)))上的最大值與最小值．解(1)要使函數(shù)有意義，必須使sinx－cosx≥0.利用圖像，在同一坐標系中畫出[0,2π]內(nèi)y＝sinx和y＝cosx的圖像，如圖所示．在[0,2π]內(nèi)，滿足sinx＝cosx的x為eq\f(π,4)，eq\f(5π,4)，再結(jié)合正弦、余弦函數(shù)的周期是2π，所以定義域為{x|2kπ＋eq\f(π,4)≤x≤2kπ＋eq\f(5π,4)，k∈Z}．(2)由題意得：f(x)＝eq\f(1,2)cos2x＋eq\f(\r(3),2)sin2x＋(sinx－cosx)·(sinx＋cosx)＝eq\f(1,2)cos2x＋eq\f(\r(3),2)sin2x＋sin2x－cos2x＝eq\f(1,2)cos2x＋eq\f(\r(3),2)sin2x－cos2x＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6))).又x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,12)，\f(π,2)))，∴2x－eq\f(π,6)∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)，\f(5π,6)))，∴sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6)))∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2)，1)).故當x＝eq\f(π,3)時，f(x)取最大值1；當x＝－eq\f(π,12)時，f(x)取最小值－eq\f(\r(3),2).題型二三角函數(shù)的單調(diào)性與周期性例2寫出下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及周期：(1)y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2x＋\f(π,3)))；(2)y＝|tanx|.思維啟迪：(1)化為y＝－sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3)))，再求單調(diào)區(qū)間及周期．(2)由y＝tanx的圖像→y＝|tanx|的圖像→求單調(diào)性及周期．解(1)y＝－sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3)))，它的增區(qū)間是y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3)))的減區(qū)間，它的減區(qū)間是y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3)))的增區(qū)間．由2kπ－eq\f(π,2)≤2x－eq\f(π,3)≤2kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z，得kπ－eq\f(π,12)≤x≤kπ＋eq\f(5π,12)，k∈Z.由2kπ＋eq\f(π,2)≤2x－eq\f(π,3)≤2kπ＋eq\f(3π,2)，k∈Z，得kπ＋eq\f(5π,12)≤x≤kπ＋eq\f(11π,12)，k∈Z.故所給函數(shù)的減區(qū)間為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(kπ－\f(π,12)，kπ＋\f(5π,12)))，k∈Z；增區(qū)間為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(kπ＋\f(5π,12)，kπ＋\f(11π,12)))，k∈Z.最小正周期T＝eq\f(2π,2)＝π.(2)觀察圖像可知，y＝|tanx|的增區(qū)間是eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ，kπ＋\f(π,2)))，k∈Z，減區(qū)間是eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(kπ－\f(π,2)，kπ))，k∈Z.最小正周期T＝π.探究提高(1)求形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(其中A≠0，ω>0)的函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，可以通過解不等式的方法去解答．列不等式的原則：①把“ωx＋φ(ω>0)”視為一個“整體”；②A>0(A<0)時，所列不等式的方向與y＝sinx(x∈R)，y＝cosx(x∈R)的單調(diào)區(qū)間對應(yīng)的不等式方向相同(反)．(2)對于y＝Atan(ωx＋φ)(A、ω、φ為常數(shù))，其周期T＝eq\f(π,|ω|)，單調(diào)區(qū)間利用ωx＋φ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ－\f(π,2)，kπ＋\f(π,2)))，解出x的取值范圍，即為其單調(diào)區(qū)間．對于復(fù)合函數(shù)y＝f(v)，v＝φ(x)，其單調(diào)性的判定方法：若y＝f(v)和v＝φ(x)同為增(減)函數(shù)時，y＝f(φ(x))為增函數(shù)；若y＝f(v)和v＝φ(x)一增一減時，y＝f(φ(x))為減函數(shù)．(3)求含有絕對值的三角函數(shù)的單調(diào)性及周期時，通常要畫出圖像，結(jié)合圖像判定．求函數(shù)y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)＋4x))＋coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4x－\f(π,6)))的周期、單調(diào)區(qū)間及最大、最小值．解∵eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)＋4x))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－4x))＝eq\f(π,2)，∴coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4x－\f(π,6)))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－4x))＝coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)＋4x))))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)＋4x)).∴y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4x＋\f(π,3)))，周期T＝eq\f(2π,4)＝eq\f(π,2).當－eq\f(π,2)＋2kπ≤4x＋eq\f(π,3)≤eq\f(π,2)＋2kπ(k∈Z)時，函數(shù)單調(diào)遞增，∴函數(shù)的遞增區(qū)間為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(5π,24)＋\f(kπ,2)，\f(π,24)＋\f(kπ,2)))(k∈Z)．當eq\f(π,2)＋2kπ≤4x＋eq\f(π,3)≤eq\f(3π,2)＋2kπ(k∈Z)時，函數(shù)單調(diào)遞減，∴函數(shù)的遞減區(qū)間為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,24)＋\f(kπ,2)，\f(7π,24)＋\f(kπ,2)))(k∈Z)．當x＝eq\f(π,24)＋eq\f(kπ,2)(k∈Z)時，ymax＝2；當x＝－eq\f(5π,24)＋eq\f(kπ,2)(k∈Z)時，ymin＝－2.題型三三角函數(shù)的對稱性與奇偶性例3(1)已知f(x)＝sinx＋eq\r(3)cosx(x∈R)，函數(shù)y＝f(x＋φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(|φ|≤\f(π,2)))的圖像關(guān)于直線x＝0對稱，則φ的值為________．(2)如果函數(shù)y＝3cos(2x＋φ)的圖像關(guān)于點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4π,3)，0))中心對稱，那么|φ|的最小值為()A.eq\f(π,6) B.eq\f(π,4)C.eq\f(π,3) D.eq\f(π,2)答案(1)eq\f(π,6)(2)A解析(1)f(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,3)))，y＝f(x＋φ)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,3)＋φ))圖像關(guān)于x＝0對稱，即f(x＋φ)為偶函數(shù)．∴eq\f(π,3)＋φ＝eq\f(π,2)＋kπ，k∈Z，φ＝kπ＋eq\f(π,6)，k∈Z，又∵|φ|≤eq\f(π,2)，∴φ＝eq\f(π,6).(2)由題意得3coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2×\f(4π,3)＋φ))＝3coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)＋φ＋2π))＝3coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)＋φ))＝0，∴eq\f(2π,3)＋φ＝kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z，∴φ＝kπ－eq\f(π,6)，k∈Z，取k＝0，得|φ|的最小值為eq\f(π,6).故選A.探究提高若f(x)＝Asin(ωx＋φ)為偶函數(shù)，則當x＝0時，f(x)取得最大值或最小值．若f(x)＝Asin(ωx＋φ)為奇函數(shù)，則當x＝0時，f(x)＝0.如果求f(x)的對稱軸，只需令ωx＋φ＝eq\f(π,2)＋kπ(k∈Z)，求x.如果求f(x)的對稱中心的橫坐標，只需令ωx＋φ＝kπ(k∈Z)即可．(1)定義運算eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(ab,cd))＝ad－bc，則函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(3\r(3)sinx,1cosx))的圖像的一條對稱軸方程是 ()A．x＝eq\f(5π,6) B．x＝eq\f(2π,3)C．x＝eq\f(π,3) D．x＝eq\f(π,6)答案A解析f(x)＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(3\r(3)sinx,1cosx))＝3cosx－eq\r(3)sinx＝2eq\r(3)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6))).所以當x＝eq\f(5π,6)時，f(x)＝2eq\r(3)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)＋\f(π,6)))＝－2eq\r(3).(2)若函數(shù)f(x)＝asinωx＋bcosωx(0<ω<5，ab≠0)的圖像的一條對稱軸方程是x＝eq\f(π,4ω)，函數(shù)f′(x)的圖像的一個對稱中心是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,8)，0))，則f(x)的最小正周期是________．答案π解析由題設(shè)，有feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4ω)))＝±eq\r(a2＋b2)，即eq\f(\r(2),2)(a＋b)＝±eq\r(a2＋b2)，由此得到a＝b.又f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,8)))＝0，∴aωeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(ωπ,8)－sin\f(ωπ,8)))＝0，從而taneq\f(ωπ,8)＝1，eq\f(ωπ,8)＝kπ＋eq\f(π,4)，k∈Z，即ω＝8k＋2，k∈Z，而0<ω<5，∴ω＝2，于是f(x)＝a(sin2x＋cos2x)＝eq\r(2)asineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,4)))，故f(x)的最小正周期是π.方程思想在三角函數(shù)中的應(yīng)用典例：(12分)已知函數(shù)f(x)＝2asineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3)))＋b的定義域為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，函數(shù)的最大值為1，最小值為－5，求a和b的值．審題視角①求出2x－eq\f(π,3)的范圍，求出sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3)))的值域．②系數(shù)a的正、負影響著f(x)的值，因而要分a>0，a<0兩種情況討論．③根據(jù)a>0或a<0求f(x)的最值，列方程組求解．規(guī)范解答解∵0≤x≤eq\f(π,2)，∴－eq\f(π,3)≤2x－eq\f(π,3)≤eq\f(2,3)π，∴－eq\f(\r(3),2)≤sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3)))≤1，[3分]若a>0，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a＋b＝1,－\r(3)a＋b＝－5))，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝12－6\r(3),b＝－23＋12\r(3)))；[7分]若a<0，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a＋b＝－5,－\r(3)a＋b＝1))，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－12＋6\r(3),b＝19－12\r(3))).[11分]綜上可知，a＝12－6eq\r(3)，b＝－23＋12eq\r(3)或a＝－12＋6eq\r(3)，b＝19－12eq\r(3).[12分]溫馨提醒(1)對此類問題的解決，首先利用正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的有界性或單調(diào)性求出y＝Aasin(ωx＋φ)或y＝Aacos(ωx＋φ)的最值，但要注意對a的正負進行討論，以便確定是最大值還是最小值．(2)再由已知列方程求解．(3)本題的易錯點是忽視對參數(shù)a>0或a<0的分類討論，導(dǎo)致漏解.方法與技巧1．利用函數(shù)的有界性(－1≤sinx≤1，－1≤cosx≤1)，求三角函數(shù)的值域(最值)．2．利用函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的值域或最值．3．利用換元法求復(fù)合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間(要注意x系數(shù)的正負號)．失誤與防范1．閉區(qū)間上最值或值域問題，首先要在定義域基礎(chǔ)上分析單調(diào)性，含參數(shù)的最值問題，要討論參數(shù)對最值的影響．2．求三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時，應(yīng)先把函數(shù)式化成形如y＝Asin(ωx＋φ)(ω>0)的形式，再根據(jù)基本三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，求出x所在的區(qū)間．應(yīng)特別注意，考慮問題應(yīng)在函數(shù)的定義域內(nèi)考慮．注意區(qū)分下列兩題的單調(diào)增區(qū)間的不同：(1)y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,4)))；(2)y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－2x)).3．利用換元法求三角函數(shù)最值時注意三角函數(shù)的有界性，如：y＝sin2x－4sinx＋5，令t＝sinx(|t|≤1)，則y＝(t－2)2＋1≥1，解法錯誤．A組專項基礎(chǔ)訓(xùn)練(時間：35分鐘，滿分：57分)一、選擇題(每小題5分，共20分)1．函數(shù)y＝eq\r(cosx－\f(1,2))的定義域為 ()A.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)，\f(π,3)))B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(kπ－\f(π,3)，kπ＋\f(π,3)))，k∈ZC.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2kπ－\f(π,3)，2kπ＋\f(π,3)))，k∈ZD．R答案C解析由題意得cosx≥eq\f(1,2)，即2kπ－eq\f(π,3)≤x≤2kπ＋eq\f(π,3)，k∈Z，故函數(shù)定義域為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2kπ－\f(π,3)，2kπ＋\f(π,3)))，k∈Z.2．y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,4)))的圖像的一個對稱中心是 ()A．(－π，0) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3π,4)，0))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，0)) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，0))答案B解析∵y＝sinx的對稱中心為(kπ，0)(k∈Z)，∴令x－eq\f(π,4)＝kπ(k∈Z)，x＝kπ＋eq\f(π,4)(k∈Z)，由k＝－1，x＝－eq\f(3π,4)得y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,4)))的一個對稱中心是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3π,4)，0)).3．(2011·山東)若函數(shù)f(x)＝sinωx(ω>0)在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,3)))上是增加的，在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(π,2)))上是減少的，則ω等于 ()A.eq\f(2,3) B.eq\f(3,2) C．2 D．3答案B解析∵f(x)＝sinωx(ω>0)過原點，∴當0≤ωx≤eq\f(π,2)，即0≤x≤eq\f(π,2ω)時，y＝sinωx是增函數(shù)；當eq\f(π,2)≤ωx≤eq\f(3π,2)，即eq\f(π,2ω)≤x≤eq\f(3π,2ω)時，y＝sinωx是減函數(shù)．由f(x)＝sinωx(ω>0)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,3)))上是增加的，在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(π,2)))上是減少的，eq\f(π,2ω)＝eq\f(π,3)，∴ω＝eq\f(3,2).4．函數(shù)f(x)＝cos2x＋sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,2)＋x))是 ()A．非奇非偶函數(shù)B．僅有最小值的奇函數(shù)C．僅有最大值的偶函數(shù)D．有最大值又有最小值的偶函數(shù)答案D解析f(x)＝cos2x＋sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,2)＋x))＝2cos2x－1＋cosx＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cosx＋\f(1,4)))2－eq\f(9,8).顯然有最大值又有最小值，而且在R上有f(－x)＝f(x)，所以正確答案為D.二、填空題(每小題5分，共15分)5．函數(shù)y＝lg(sinx)＋eq\r(cosx－\f(1,2))的定義域為_____________________________．答案eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(2kπ，\f(π,3)＋2kπ))(k∈Z)解析要使函數(shù)有意義必須有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sinx>0,cosx－\f(1,2)≥0))，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sinx>0,cosx≥\f(1,2)))，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2kπ<x<π＋2kπ,－\f(π,3)＋2kπ≤x≤\f(π,3)＋2kπ))(k∈Z)，∴2kπ<x≤eq\f(π,3)＋2kπ，k∈Z，∴函數(shù)的定義域為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|2kπ<x≤\f(π,3)＋2kπ，k∈Z)).6．已知函數(shù)f(x)＝3sin(ωx－eq\f(π,6))(ω>0)和g(x)＝2cos(2x＋φ)＋1的圖像的對稱軸完全相同．若x∈[0，eq\f(π,2)]，則f(x)的取值范圍是________．答案[－eq\f(3,2)，3]解析由對稱軸完全相同知兩函數(shù)周期相同，∴ω＝2，∴f(x)＝3sin(2x－eq\f(π,6))．由x∈[0，eq\f(π,2)]，得－eq\f(π,6)≤2x－eq\f(π,6)≤eq\f(5,6)π，∴－eq\f(3,2)≤f(x)≤3.7．函數(shù)f(x)＝2sinωx(ω>0)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))上是增加的，且在這個區(qū)間上的最大值是eq\r(3)，那么ω＝________.答案eq\f(4,3)解析因為f(x)＝2sinωx(ω>0)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))上是增加的，且在這個區(qū)間上的最大值是eq\r(3)，所以2sineq\f(π,4)ω＝eq\r(3)，且0<eq\f(π,4)ω<eq\f(π,2)，因此ω＝eq\f(4,3).三、解答題(共22分)8．(10分)設(shè)函數(shù)f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋φ))(－π<φ<0)，y＝f(x)圖像的一條對稱軸是直線x＝eq\f(π,8).(1)求φ；(2)求函數(shù)y＝f(x)的單調(diào)增區(qū)間．解(1)令2×eq\f(π,8)＋φ＝kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z，∴φ＝kπ＋eq\f(π,4)，k∈Z，又－π<φ<0，則－eq\f(5,4)<k<－eq\f(1,4)，k∈Z.∴k＝－1，則φ＝－eq\f(3π,4).(2)由(1)得：f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(3π,4)))，令－eq\f(π,2)＋2kπ≤2x－eq\f(3π,4)≤eq\f(π,2)＋2kπ，k∈Z，可解得eq\f(π,8)＋kπ≤x≤eq\f(5π,8)＋kπ，k∈Z，因此y＝f(x)的單調(diào)增區(qū)間為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,8)＋kπ，\f(5π,8)＋kπ))，k∈Z.9．(12分)(1)求函數(shù)y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))(－eq\f(π,6)<x<eq\f(π,6))的值域；(2)求函數(shù)y＝2cos2x＋5sinx－4的值域．解(1)∵－eq\f(π,6)<x<eq\f(π,6)，∴0<2x＋eq\f(π,3)<eq\f(2π,3)，∴0<sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))≤1，∴y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))的值域為(0,2]．(2)y＝2cos2x＋5sinx－4＝2(1－sin2x)＋5sinx－4＝－2sin2x＋5sinx－2＝－2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sinx－\f(5,4)))2＋eq\f(9,8).∴當sinx＝1時，ymax＝1，當sinx＝－1時，ymin＝－9，∴y＝2cos2x＋5sinx－4的值域為[－9,1]．B組專項能力提升(時間：25分鐘，滿分：43分)一、選擇題(每小題5分，共15分)1．(2012·天津)將函數(shù)f(x)＝sinωx(其中ω>0)的圖像向右平移eq\f(π,4)個單位長度，所得圖像經(jīng)過點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)，0))，則ω的最小值是 ()A.eq\f(1,3) B．1 C.eq\f(5,3) D．2答案D解析根據(jù)題意平移后函數(shù)的解析式為y＝sinωeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,4)))，將eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)，0))代入得sineq\f(ωπ,2)＝0，則ω＝2k，k∈Z，且ω>0，故ω的最小值為2.2．(2012·上海)若Sn＝sineq\f(π,7)＋sineq\f(2π,7)＋…＋sineq\f(nπ,7)(n∈N*)，則在S1，S2，…，S100中，正數(shù)的個數(shù)是 ()A．16 B．72 C．86 D．答案C解析易知S1>0，S2>0，S3>0，S4>0，S5>0，S6>0，S7>0.S8＝sineq\f(π,7)＋sineq\f(2π,7)＋…＋sineq\f(7π,7)＋sineq\f(8π,7)＝sineq\f(2π,7)＋sineq\f(3π,7)＋…＋sineq\f(7π,7)>0，S9＝sineq\f(3π,7)＋sineq\f(4π,7)＋…＋sineq\f(7π,7)>0，S10＝sineq\f(4π,7)＋…＋sineq\f(7π,7)>0，S11＝sineq\f(5π,7)＋sineq\f(6π,7)＋sineq\f(7π,7)>0，S12＝sineq\f(6π,7)＋sineq\f(7π,7)>0，S13＝sineq\f(7π,7)＝0，S14＝sineq\f(7π,7)＋sineq\f(14π,7)＝0，∴S1，S2，…，S100中，S13＝0，S14＝0，S27＝0，S28＝0，S41＝0，S42＝0，S55＝0，S56＝0，S69＝0，S70＝0，S83＝0，S84＝0，S97＝0，S98＝0，共14個．∴在S1，S2，…，S100中，正數(shù)的個數(shù)是100－14＝86(個)．3．已知函數(shù)f(x)＝2sinωx(ω>0)在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)，\f(π,4)))上的最小值是－2，則ω的最小值等于()A.eq\f(2,3) B.eq\f(3,2) C．2 D．3答案B 解析∵f(x)＝2sinωx(ω>0)的最小值是－2，∴x＝eq\f(2kπ,ω)－eq\f(π,2ω)，k∈Z，∴－eq\f(π,3)≤eq\f(2kπ,ω)－eq\f(π,2ω)≤eq\f(π,4)，k∈Z，∴ω≥－6k＋eq\f(3,2)且ω≥8k－2，k∈Z，∴ωmin＝eq\f(3,2)，故選B.二、填空題(每小題5分，共15分)4．函數(shù)y＝2sin(3x＋φ)(|φ|<eq\f(π,2))的一條對稱軸為x＝eq\f(π,12)，則φ＝________.答案eq\f(π,4)解析由題意得3×eq\f(π,12)＋φ＝kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z，∴φ＝kπ＋eq\f(π,4)，k∈Z，又|φ|<eq\f(π,2)，∴φ＝eq\f(π,4).5．函數(shù)y＝eq\f(sinx＋1,sinx)(0<x<π)的最小值為________．答案2解析令sinx＝t∈(0,1]，則函數(shù)y＝1＋eq\f(1,t)，t∈(0