第二節(jié) 牛頓迭代法

第二節(jié)牛頓迭代法第一頁，共十一頁，2022年，8月28日xyx*x0只要f

C1，每一步迭代都有而且，則

x*就是f

的根。是如下線性方程的根！第二頁，共十一頁，2022年，8月28日3.牛頓迭代法的幾何解釋：方程的根在幾何上是曲線與x

軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)。若是根的一個(gè)近似，過曲線上橫坐標(biāo)為的點(diǎn)作曲線的切線，則該切線與

x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即為。xyx*x0第三頁，共十一頁，2022年，8月28日例2.5：寫出求的牛頓迭代格式；寫出求的牛頓迭代格式,要求公式中既無開方運(yùn)算，又無除法運(yùn)算。解：等價(jià)于求方程的正根解法一：等價(jià)于求方程的根退化為二分法?。〉谒捻?，共十一頁，2022年，8月28日解法二：等價(jià)于求方程的正根設(shè)x*

為方程f(x)=0的根，在包含x*的某個(gè)開區(qū)間內(nèi)連續(xù)，且，則存在x*的鄰域，使得任取初值，由牛頓迭代法產(chǎn)生的序列以不低于二階的收斂速度收斂于x*，且4、牛頓迭代法的局部收斂性定理第五頁，共十一頁，2022年，8月28日其中，則收斂由泰勒展開：在單根附近收斂快！只要，則令可得結(jié)論。證明：牛頓迭代法事實(shí)上是一種特殊的不動(dòng)點(diǎn)迭代在和之間第六頁，共十一頁，2022年，8月28日牛頓迭代法的改進(jìn)重根Q1:

若，牛頓迭代法是否仍收斂？設(shè)x*是f

的n

重根，則：且。因?yàn)榕ｎD迭代法事實(shí)上是一種特殊的不動(dòng)點(diǎn)迭代，其中，則A1:

有局部收斂性，但重?cái)?shù)n

越高，收斂越慢。Q2:

如何加速重根的收斂？A2:

根的重?cái)?shù)已知，可將

f

的重根轉(zhuǎn)化為另一函數(shù)的單根。令，則f

的重根是

的單根，且第七頁，共十一頁，2022年，8月28日從而可構(gòu)造出相應(yīng)的迭代法格式為對(duì)構(gòu)造出相應(yīng)的牛頓迭代格式，迭代函數(shù)為若已知根的重?cái)?shù)為n，可將迭代格式改為，則，所以上述格式是平方收斂的。第八頁，共十一頁，2022年，8月28日①收斂速度快，穩(wěn)定性好；②

精度高。①在重根附近收斂速度會(huì)降階；②每次都要計(jì)算函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)值，計(jì)算量大。優(yōu)點(diǎn)缺點(diǎn)注解：牛頓法是局部收斂的，所以要求初值選在解的附近，實(shí)際計(jì)算時(shí)，常先用簡(jiǎn)單迭代法算幾步，估計(jì)出一個(gè)質(zhì)量較好的初值??！主要缺陷！！第九頁，共十一頁，2022年，8月28日收斂比牛頓迭代法慢，且對(duì)初值要求同樣高。第五節(jié)弦割法x0x1切線

割線

切線斜率

割線斜率需要2個(gè)初值x0

和x1?；舅枷耄号ｎD迭代法每一步要計(jì)算f和，為了避免計(jì)算導(dǎo)數(shù)值，現(xiàn)用f

的差商近似代替微商，從而得到弦割法。x2第十頁，共十一頁，2022年，8月28日Th2.10

局部收斂性設(shè)表示區(qū)間，x*為方程f(x)=0的根，函數(shù)f(x)在

中有足夠階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且滿足則對(duì)