第六章動力學基礎

第六章動力學基礎第一頁，共三十五頁，2022年，8月28日本章主要介紹動力學的一些基本定律和處理動力學問題時常用的一些定理，它們是學習動力學的基礎。學習時主要掌握動力學定律的基本概念和公式，并能應用動力學的基本定律來解決具體問題。教學目的和要求第二頁，共三十五頁，2022年，8月28日質點運動的微分方程；剛體繞定軸轉動的微分方程；質點的動量矩定理和動能定理；質點的達朗伯原理。教學重點第三頁，共三十五頁，2022年，8月28日剛體繞定軸轉動微分方程及其應用；質點和質點系的動量定理；質點和質點系的動量矩定理；質點和質點系的達朗伯原理。

教學難點第四頁，共三十五頁，2022年，8月28日動力學——研究物體機械運動與作用在物體上的力之間的關系的科學。質點——具有質量而形狀和大小都可以忽略不計的物體。質點系——由幾個或無限個有聯(lián)系的質點所組成的系統(tǒng)。

運動量——從不同的側面來描述系統(tǒng)的運動特征。物理量

作用量——從不同的側面來描述力系的作用效果。動力學的幾個基本概念第五頁，共三十五頁，2022年，8月28日1.牛頓第一定律第一節(jié)動力學的基本定律牛頓第一定律——如果質點不受力的作用，那么它或者是靜止，或者是作勻速直線運動。牛頓第一定律表明，任何物體都有保持靜止或勻速直線運動狀態(tài)的屬性，該屬性習慣上稱為慣性。因此牛頓第一定律也稱慣性定律。第六頁，共三十五頁，2022年，8月28日2.牛頓第二定律牛頓第二定律——質點受力的作用時所獲得的加速度與力的大小成正比，與質點的質量成反比，加速度的方向與力的方向相同。即或這是一個矢量表達式，它表明力的方向與加速度方向是一致的。第七頁，共三十五頁，2022年，8月28日3.牛頓第三定律牛頓第三定律——兩物體間相互的作用力，總是大小相等，方向相反，并且沿著同一條直線。牛頓第三定律也稱為作用力和反作用力定律。這個定律不僅在物體平衡時適用，而且也適用于作任何形式運動的物體。牛頓定律所給出的結論只有在慣性參考系才是正確的。第八頁，共三十五頁，2022年，8月28日根據(jù)質點運動學中描述質點的運動的三種基本方法，可以將質點的動力學基本方程表示為不同形式的微分方程。第二節(jié)質點運動的微分方程一、質點運動微分方程的矢量形式

質點受到n個力F1，F(xiàn)2，…，F(xiàn)n作用時，由質點動力學的基本方程，有第九頁，共三十五頁，2022年，8月28日二、質點運動微分方程的直角坐標形式

由牛頓第二定律得

第十頁，共三十五頁，2022年，8月28日三、質點運動微分方程的自然坐標形式

若將課本中的式(6-2)在自然軸系的切線方向、法線方向投影可得質點運動微分方程的自然坐標形式，即

第十一頁，共三十五頁，2022年，8月28日例6-1質量為m的質點M繞橢圓形路線運動，如圖所示其運動方程為方程中a、b、k都是常數(shù)，求作用在質點上的力F。解以質點M為研究對象，將運動方程微分兩次得第十二頁，共三十五頁，2022年，8月28日力F與矢徑r共線、反向，這表明，此質點按給定的運動方程作橢圓運動。作用在此質點上的力在軸上的投影為由牛頓第二定律得第十三頁，共三十五頁，2022年，8月28日例6-2質量為m的質點在已知力Fx=Fsinωt的作用下沿x軸運動，在初始時t=0，x=x0,vx=v0，求該質點的運動。解取質點為研究對象，質點的運動微分方程為兩邊乘以dt得兩邊積分得推導出將代入，分離變量并積分得第十四頁，共三十五頁，2022年，8月28日第三節(jié)剛體繞定軸轉動的微分方程1.剛體繞定軸轉動的概念剛體繞定軸轉動——剛體轉動時，剛體內始終有一條直線固定不動，而這條直線以外的各點則繞此直線作圓周運動。2.剛體繞定軸轉動的微分方程剛體的轉動慣量是剛體轉動時慣性的度量，剛體對z軸的轉動慣量定義為影響轉動慣量的因素有：剛體的質量、質量的分布情況以及轉軸的位置，若z軸與剛體固連在一起時Jz是常量。第十五頁，共三十五頁，2022年，8月28日

以上各式稱為剛體繞定軸轉動的微分方程。第十六頁，共三十五頁，2022年，8月28日2）特殊情況對剛體繞定軸轉動微分方程的理解剛體繞定軸轉動時，其主動力對轉軸的矩使剛體轉動狀態(tài)發(fā)生變化。轉動慣量是剛體轉動狀態(tài)改變難易程度的度量。

若外力矩恒為零，則剛體作勻速轉動或保持靜止；

若外力矩為常量，則剛體作勻變速轉動。1）物理意義第十七頁，共三十五頁，2022年，8月28日

例6-3如圖所示，已知定滑輪半徑為r，轉動慣量為J，帶動定滑輪的膠帶拉力為F1和F2。求定滑輪的角加速度ε。解由剛體繞定軸的轉動微分方程，有

則由此可見，欲使跨過定滑輪的膠帶拉力相等，只有當定滑輪為勻速轉動(包括靜止)，或當非勻速轉動時可忽略定滑輪的轉動慣量的條件下才能實現(xiàn)。第十八頁，共三十五頁，2022年，8月28日第四節(jié)動量定理一、質點的動量質點的動量——設質量為m的質點相對于某一慣性參考系以速度v作運動。質點的動量等于質點的質量與其速度的乘積，即mv。動量是矢量，它的方向與質點速度的方向一致。二、質點系的動量質點系內各質點動量的矢量和稱為質點系的動量，即第十九頁，共三十五頁，2022年，8月28日三、質心的動量質心——組成質點系各質點的質量及其在空間的位置是不同的。表征質點系中各質點的質量及其位置的分布情況的一個幾何點稱為質量中心，簡稱質心。靜力學中求質心的公式為其坐標公式為,,第二十頁，共三十五頁，2022年，8月28日由于質點系的動量是質點系各質點動量的矢量和，再由質心的定義得可見質點系的動量（主矢）等于質點系的總質量與質心速度的乘積。寫成投影式為

第二十一頁，共三十五頁，2022年，8月28日例6-4求圖中各質點系的動量。(1)質量為m，質心速度為vc的均質圓盤在水平面上運動；(2)質量為m，長為l的均質桿繞O軸轉動的角速度為ω；(3)皮帶及皮帶輪的質量都是均勻的。解(1)

(2)

(3)因為皮帶及皮帶輪的質量均勻分布，系統(tǒng)在任何瞬時的形狀與質量分布都是相同的，所以質心的位置固定不動即故第二十二頁，共三十五頁，2022年，8月28日質點Q的動量對于O點的矩，定義為質點對點O的動量矩：1.質點的動量矩質點動量mv在Oxy平面的投影（mv)xy對于點O的矩，定義為質點動量對于z軸的矩，簡稱對于z軸的動量矩。質點對于O點的動量矩矢在z軸上的投影，等于對z軸的動量矩。正負號規(guī)定與力對軸矩的規(guī)定相同：對著軸看“順時針為負，逆時針為正”。第五節(jié)動量矩定理一、動量矩第二十三頁，共三十五頁，2022年，8月28日質點系對點O動量矩等于各質點對同一點O的動量矩的矢量和，或者稱為質點系動量對點O的主矩，即2.質點系的動量矩質點系對某軸z的動量矩等于各質點對同一軸z動量矩的代數(shù)和，即所以有上式表明：質點系對某點O的動量矩矢在通過該點的z軸上的投影等于質點系對于該軸的動量矩。第二十四頁，共三十五頁，2022年，8月28日1.質點的動量矩定理對質點動量矩求一次導數(shù)，得因為得二、動量矩定理第二十五頁，共三十五頁，2022年，8月28日上式表示質點對任意一定點的動量矩對時間的一階導數(shù)，等于作用力對同一點的矩，稱為質點的動量矩定理。2．質點系的動量矩定理對于n個質點，由質點動量矩定理有第二十六頁，共三十五頁，2022年，8月28日上式表明質點系對于某定點O的動量矩對時間的導數(shù)，等于作用于質點系的所有外力對于同一點的矩的矢量和（外力對點O的主矩），稱為質點系的動量矩定理。由于于是n個方程相加，有第二十七頁，共三十五頁，2022年，8月28日質點運動微分方程的矢量形式為一、質點的動能定理第六節(jié)動能定理兩邊同時乘以dr得：由于故

或

積分得即在質點運動的某個過程中，質點動能的改變量等于作用在質點的力所作的功。或第二十八頁，共三十五頁，2022年，8月28日對于由n個質點組成的質點系，其中任意一質點都符合動能定理，即二、質點系的動能定理將所有的質點動能方程相加得

或第二十九頁，共三十五頁，2022年，8月28日設一質點M質量m，受主動力和約束力，合力作用在質點上的主動力、約束力和虛加的慣性力在形式上組成平衡力系，這就是質點的達朗伯原理。一、質點的達朗伯原理第七節(jié)達朗伯原理若令稱為質點的慣性力第三十頁，共三十五頁，2022年，8月28日二、質點系的達朗伯原理對于由n個質點組成的質點系，其中任意一質點i的達朗伯原理表示為若將作用在質點上的力分為外力合力和內力合力，則

將各質點外力合力、內力合力與虛加慣性力合力相加得因為故：第三十一頁，共三十五頁，2022年，8月28日本章小結1.質點運動微分方程的矢量形式為

質點運動微分方程的直角坐標形式為

質點運動微分方程的自然坐標形式為