第十三章 動能定理

各種運動形式存在能量轉換和功的關系，其表現為動能定理，與動量定理和動量矩定理用矢量法研究不同，動能定理從能量角度研究動力學問題，建立了與運動有關的物理量—動能和作用力的物理量—功之間的聯系，有時可以方便有效地解決動力學問題。第一頁，共三十八頁，2022年，8月28日13-1力的功力的功是力沿路程累積效應的度量。圖13-1，質點在常力作用下，力F的功定義為：力的功是代數量。在國際單位制中，其單位為對變力的功，如圖13-2，質點作曲線運動。在無限小位移dr中力F視為常力，ds視為直線，力F的功稱為元功，記為dW。則（13-1）或（13-2）第二頁，共三十八頁，2022年，8月28日力在全路程上作的功為元功之和，即（13-3）則力從M1到M2過程作的功為——（13-4）第三頁，共三十八頁，2022年，8月28日1．重力的功對質點系，重力功為：質點系重力的功，等于質點系的重量與其在始末位置重心的高度差的乘積，而與各質點的路徑無關。重力投影：（13-5）第四頁，共三十八頁，2022年，8月28日2．彈性力的功彈簧原長，在彈性極限內，k為剛度系數，表示彈簧發(fā)生單位變形時所需的力。N/m,N/cm。彈性力的功只與彈簧的起始變形和終了變形有關，而與質點運動的路徑無關。如圖示則彈性力作的功為（13-7）第五頁，共三十八頁，2022年，8月28日作用于轉動剛體上力的功等于力矩的功。如果作用力偶,則力偶作的功仍可用上式計算

3．定軸轉動剛體上作用力的功、力偶的功設在繞定軸z軸轉動的剛體上A點作用有力F，如圖示，則力F在切線上投影為因為FtR等于力F對軸z的力矩Mz，則轉角j與弧s長的關系為則力F的元功為（13-8）剛體從j1到j2轉動過程中力F作的功為（13-9）第六頁，共三十八頁，2022年，8月28日4．平面剛體上力系的功剛體上各力作功的代數和；也等于力系向質心簡化所得力與力偶作功之和。簡單證明如下：如圖所示，以剛體質心C為基點，當剛體有無限小位移時，任一力Fi作用點Mi的位移為力Fi在點Mi位移上所作元功為則力系全部元功之和為（13-10）為主矢，Mc為主矩。剛體質心有C1到C2，同時由j1轉到j2角度時，力系作功為（13-11）第七頁，共三十八頁，2022年，8月28日正壓力N，摩擦力F作用于瞬心C處，而瞬心的元位移(2)圓輪沿固定面作純滾動時，滑動摩擦力的功(3)滾動摩擦阻力偶m的功

(1)動滑動摩擦力的功N=常量時,W=–f′NS,與質點的路徑有關。若M=常量則*萬有引力所作的功只與質點的始末位置有關，與路徑無關。*摩擦力的功5．其它常見力作的功第八頁，共三十八頁，2022年，8月28日§13-2質點和質點系的動能上面第二式為第i個質點相對質心的速度，稱為柯尼希定理動能是因物體運動而具有的能量，是機械運動強弱的另一度量。1．質點的動能質點質量為m，速度為v，則質點的動能為2．質點系的動能或（1）平移剛體的動能（13-12）（2）定軸轉動剛體的動能（13-13）（3）定軸轉動剛體的動能（13-14）第九頁，共三十八頁，2022年，8月28日§13-3動能定理1．質點的動能定理：或即（13-15）積分上式，得或（13-16）上面式（13-15）和（13-16）分別稱為質點動能定理的微分形式和積分形式，表明質點動能的增量等于質點上的力所作的功。第十頁，共三十八頁，2022年，8月28日2．質點系的動能定理對任一質點mi，有n個方程相加得到（13-17）或積分上式，得（13-18）上面式（13-17）和（13-16）分別稱為質點系動能定理的微分形式和積分形式，表明質點系動能的增量等于該質點系上全部力作的功。第十一頁，共三十八頁，2022年，8月28日在理想約束的條件下，質點系的動能定理可寫成以下的形式3．理想約束與內力作功約束反力作功為零的約束稱為理想約束。在理想約束下，質點系動能的改變只與主動力有關，式（13-17）和（13-18）中只需要計算主動力所作的功。（1）光滑固定面約束（2）活動鉸支座、固定鉸支座和向心軸承第十二頁，共三十八頁，2022年，8月28日對質點系內力的功不變質點系的內力功之和等于零。剛體的內力功之和等于零。不可伸長的繩索內力功之和等于零。（3）剛體沿固定面作純滾動（4）聯接剛體的光滑鉸鏈（中間鉸）（5）柔索約束（不可伸長的繩索）

拉緊時，內部拉力的元功之和恒等于零。只要A、B兩點間距離保持不變,內力的元功和就等于零。第十三頁，共三十八頁，2022年，8月28日[例1]圖示系統(tǒng)中,均質圓盤A、B各重P，半徑均為R,兩盤中心線為水平線,盤A上作用矩為M(常量)的一力偶；重物D重Q。問下落距離h時重物的速度與加速度。(繩重不計，繩不可伸長，盤B作純滾動，初始時系統(tǒng)靜止)第十四頁，共三十八頁，2022年，8月28日解：取系統(tǒng)為研究對象上式求導得：第十五頁，共三十八頁，2022年，8月28日動能定理的應用練習題

1．圖示的均質桿OA的質量為30kg，桿在鉛垂位置時彈簧處于自然狀態(tài)。設彈簧常數k=3kN/m，為使桿能由鉛直位置OA轉到水平位置OA'，在鉛直位置時的角速度至少應為多大？解：研究OA桿由第十六頁，共三十八頁，2022年，8月28日2．行星齒輪傳動機構,放在水平面內。動齒輪半徑r,重P,視為均質圓盤；曲柄重Q,長l,作用一力偶,矩為M(常量),曲柄由靜止開始轉動；求曲柄的角速度(以轉角的函數表示)和角加速度。解：取整個系統(tǒng)為研究對象根據動能定理，得將式對t求導數，得第十七頁，共三十八頁，2022年，8月28日3．兩根均質直桿組成的機構及尺寸如圖示；OA桿質量是AB桿質量的兩倍，各處摩擦不計，如機構在圖示位置從靜止釋放，求當OA桿轉到鉛垂位置時，AB桿B端的速度。解：取整個系統(tǒng)為研究對象第十八頁，共三十八頁，2022年，8月28日§13-4功率·功率方程·機械效率1.功率力在單位時間內所作的功（它是衡量機器工作能力的一個重要指標），以P表示。作用于剛體上力的功率：等于該力對轉軸的矩與角速度的乘積，功率的單位：瓦特（W），千瓦（kW），１W=１J/s。等于切向力與力作用點速度乘積或（13-20）（13-19）第十九頁，共三十八頁，2022年，8月28日2.功率方程取質點系動能定理的微分形式，兩端除以dt，得（13-21）該式為功率方程，即質點系動能對時間的一階導數，等于作用于質點系的所有功率的代數和。每部機器的功率可以分為輸出功率、有用功率和無用功率，則或（13-22）第二十頁，共三十八頁，2022年，8月28日顯然：起動階段（加速）：即制動階段（減速）：即穩(wěn)定階段（勻速）：即是評定機器質量優(yōu)劣的重要指標之一。一般情況下＜１。3.機械效率有效功率=P有用+，有效功率與輸入功率的比值成為機械的機械效率，用h表示。（13-23）對n級傳動系統(tǒng)，總效率為：第二十一頁，共三十八頁，2022年，8月28日§13-5勢力場、勢能、機械能守恒定律若質點或物體在某空間內的任何位置都受到一個大小和方向完全由所在位置確定的力的作用，則此空間稱為力場。在力場中,如果作用于質點或物體力所作的功只決定于質點的始末位置，與運動軌跡無關，這種力場稱為勢力場或保守場。重力場、萬有引力場、彈性力場都是勢力場。1．勢力場2．勢能在勢力場中,質點從位置M運動到任選位置M0,有勢力所作的功稱為質點在位置M相對于位置M0的勢能，用V表示。（13-24）M0作為基準位置，勢能為零，稱為零勢能點。勢能具有相對性。第二十二頁，共三十八頁，2022年，8月28日*幾種常見的勢能1）.重力場中的勢能（13-25）2）.彈性力場中的勢能（13-26）如取自然位置為零勢能點，則有（13-27）3）.萬有引力場中的勢能：取A0為零勢能點，則選取無窮遠處為零勢能點（13-28）很顯然，對于不同的零勢能位置，系統(tǒng)的勢能是不相同的，出于方便對常見的重力—彈力系統(tǒng)，一般取其平衡位置為零勢能點。*質點系在有勢場中，有勢力的功可通過勢能計算：第二十三頁，共三十八頁，2022年，8月28日如圖，由M1經M2到達M0時，有勢力的功為：（13-29）即有勢力的功等于質點系在運動的始末位置的勢能之差。3．機械能守恒定律

機械能：質點系在某瞬時的的動能與勢能的代數和。由動能定理和有勢力的功可用勢能計算的方法，有如果質點系還受到非保守力的作用，稱為非保守系統(tǒng)，對非保守系統(tǒng)，設非保守力的功為W12'

,則有上式為機械能守恒定律的數學表達式，即質點系僅在有勢力作用下運動時，其機械能保持不變，此類質點系稱為保守系統(tǒng)；（13-30）（13-31）第二十四頁，共三十八頁，2022年，8月28日*4．勢力場的其它性質

1）有勢力在直角坐標上的投影等于勢能對該坐標的偏導數冠以負號。如圖有勢力F從M到M’作功為（13-32）（13-33）2）在勢力場中，勢能相等的各點構成等勢能面，勢能等于零的等勢能面稱為零勢能面，等勢能面不能夠相交。3）有勢力的方向垂直與等勢能面，指向勢能減小的方向。第二十五頁，共三十八頁，2022年，8月28日[例1]長為l，質量為m的均質直桿，初瞬時直立于光滑的桌面上。當桿無初速度地傾倒后，求質心的速度（用桿的傾角和質心的位置表達）。解：因水平方向不受外力，且初始靜止，質心C鉛垂下降。因約束反力不作功,主動力為有勢力，因此可用機械能守恒定律求解。由機械能守恒定律：將代入上式，化簡后得初瞬時：任一瞬時：第二十六頁，共三十八頁，2022年，8月28日§14-6動力學普遍定理及綜合應用動力學普遍定理包括質點和質點系的動量定理、動量矩定理和動能定理。動量定理和動量矩定理是矢量形式，動能定理是標量形式，他們都可應用研究機械運動，而動能定理還可以研究其它形式的運動能量轉化問題。動力學普遍定理提供了解決動力學問題的一般方法。動力學普遍定理的綜合應用，大體上包括兩方面的含義：一是能根據問題的已知條件和待求量，選擇適當的定理求解，避開那些無關的未知量，直接求得需求的結果。二是對比較復雜的問題，能根據需要選用兩、三個定理聯合求解。求解過程中,要正確進行運動分析,提供正確的運動學補充方程。

第二十七頁，共三十八頁，2022年，8月28日舉例說明動力學普遍定理的綜合應用：

[例1]兩根均質桿AC和BC各重為P，長為l，在C處光滑鉸接，置于光滑水平面上；設兩桿軸線始終在鉛垂面內，初始靜止，C點高度為h，求鉸C到達地面時的速度。第二十八頁，共三十八頁，2022年，8月28日討論動量守恒定理＋動能定理求解。計算動能時，利用平面運動的運動學關系。解：由于不求系統(tǒng)的內力，可以不拆開。研究對象：整體分析受力：，且初始靜止，所以水平方向質心位置守恒。代入動能定理：第二十九頁，共三十八頁，2022年，8月28日

[例2]均質圓盤A：m，r；滑塊B：m；桿AB：質量不計，平行于斜面。斜面傾角，摩擦系數f，圓盤作純滾動，系統(tǒng)初始靜止。求：滑塊的加速度。解：選系統(tǒng)為研究對象運動學關系：由動能定理：對ｔ求導，得第三十頁，共三十八頁，2022年，8月28日[例3]重150N的均質圓盤與重60N、長24cm的均質桿AB在B處用鉸鏈連接。系統(tǒng)由圖示位置無初速地釋放。求系統(tǒng)經過最低位置B'點時的速度及支座A的約束反力。解：（1）取圓盤為研究對象，圓盤平動。第三十一頁，共三十八頁，2022年，8月28日（2）用動能定理求速度。取系統(tǒng)研究。初始時T1=0，最低位置時：代入數據，得第三十二頁，共三十八頁，2022年，8月28日（3）用動量矩定理求桿的角加速度。由于所以a＝0。桿質心C的加速度：盤質心加速度：