第十六章 虛位移原理

第十六章虛位移原理第一頁(yè)，共三十六頁(yè)，2022年，8月28日1、完整約束與非完整約束

完整約束：如：?jiǎn)螖[：曲面上的質(zhì)點(diǎn)：約束方程的一般形式：約束方程中不含，或能夠通過(guò)積分消去坐標(biāo)對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)。非完整約束：約束方程中含有，且不可通過(guò)積分消除。xyOAzxyzM純滾動(dòng)的圓輪：——幾何約束——運(yùn)動(dòng)約束第二頁(yè)，共三十六頁(yè)，2022年，8月28日非定常約束：約束方程中顯含時(shí)間t

2、定常約束與非定常約束定常約束：約束方程中不包含時(shí)間t如：約束方程的一般形式：約束方程的一般形式：約束方程的一般形式：第三頁(yè)，共三十六頁(yè)，2022年，8月28日單面約束：在約束方程含有不等號(hào)表示的約束。3、單面約束與雙面約束雙面約束：在約束方程中用嚴(yán)格的等號(hào)表示的約束。一般研究：定常、雙面、完整約束。二、廣義坐標(biāo)、自由度自由度：唯一確定質(zhì)點(diǎn)系空間位置的獨(dú)立參變量個(gè)數(shù)平面質(zhì)點(diǎn):空間質(zhì)點(diǎn):廣義坐標(biāo)：用以確定質(zhì)點(diǎn)系位置的獨(dú)立參變量

i=1,2,······nn個(gè)質(zhì)點(diǎn)一般地自由度為k取廣義坐標(biāo)：第四頁(yè)，共三十六頁(yè)，2022年，8月28日§16-2虛位移的概念與分析方法

一、基本概念

虛位移：質(zhì)點(diǎn)系在給定瞬時(shí)為約束所容許的任何微小的位移M實(shí)位移：在無(wú)限小時(shí)間間隔dt內(nèi),系統(tǒng)的真實(shí)運(yùn)動(dòng)所產(chǎn)生的位移所謂真實(shí)運(yùn)動(dòng),是指既滿足約束方程又滿足運(yùn)動(dòng)微分方程和初始條件的系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)。因此,在任意時(shí)刻,系統(tǒng)的實(shí)位移是唯一的,1、虛位移與實(shí)位移虛位移不唯一虛位移可以是線位移，也可以是角位移第五頁(yè)，共三十六頁(yè)，2022年，8月28日（1）靜止質(zhì)點(diǎn)可以有虛位移，但肯定沒(méi)有實(shí)位移。即：實(shí)位移與力有關(guān)，而虛位移只與約束有關(guān)。

（2）虛位移是約束允許的微小位移，與時(shí)間無(wú)關(guān)，實(shí)位移是真實(shí)發(fā)生的位移，可以是微小值，也可以是有限值，而且與時(shí)間有關(guān)。

2、虛位移與實(shí)位移的區(qū)別與聯(lián)系（4）在定常系統(tǒng)中，微小的實(shí)位移是虛位移之一，

在非定常系統(tǒng)中，微小的實(shí)位移不再成為虛位移之一。

（3）虛位移不唯一，而實(shí)位移是唯一的。第六頁(yè)，共三十六頁(yè)，2022年，8月28日二、虛位移的分析方法1、幾何法

（虛速度法）自由度：k＝3×2－2－2－1＝1在同一時(shí)刻（位置），各點(diǎn)之間的虛位移的關(guān)系等同于各點(diǎn)之間的虛速度的關(guān)系。第七頁(yè)，共三十六頁(yè)，2022年，8月28日2、解析法

(i=1,…,n)

21BAabxyn個(gè)質(zhì)點(diǎn)自由度為k取廣義坐標(biāo)：自由度：2取廣義坐標(biāo)：j1，j2第八頁(yè)，共三十六頁(yè)，2022年，8月28日§16-3虛位移原理

一、虛功理想約束反力的虛功：

約束反力在質(zhì)點(diǎn)系的任何虛位移中所作元功之和等于零。

(a)即約束處無(wú)虛位移，如固定端約束，鉸支座等；(b)即約束力與虛位移相垂直，如光滑接觸面約束等；

(c)即約束點(diǎn)上約束力的合力為零，如鉸鏈連接；

(d)即虛功之和即為零。如連接兩質(zhì)點(diǎn)的無(wú)重剛性桿。

作用于質(zhì)點(diǎn)或質(zhì)點(diǎn)系上的力在給定虛位移上所作的功。主動(dòng)力的虛功：計(jì)算方法與力的元功計(jì)算一樣。

第九頁(yè)，共三十六頁(yè)，2022年，8月28日二、虛位移原理（虛功原理）

具有雙側(cè)、定常、理想約束的質(zhì)點(diǎn)系，在給定位置平衡的充要條件是：所有主動(dòng)力在質(zhì)點(diǎn)系任何虛位移中的元功之和等于零?！馕鍪阶C明：（1）必要性

命題：如質(zhì)點(diǎn)系平衡，則上式成立。第十頁(yè)，共三十六頁(yè)，2022年，8月28日（2）充分性

命題：上式成立，則質(zhì)點(diǎn)系平衡。

反證法：設(shè)上式成立，而質(zhì)點(diǎn)系不平衡。

所以，質(zhì)點(diǎn)系必定平衡。設(shè)第i個(gè)質(zhì)點(diǎn)不平衡：第十一頁(yè)，共三十六頁(yè)，2022年，8月28日例16-1：已知OA=L，求系統(tǒng)在圖示位置平衡時(shí)，力偶矩M與力F的關(guān)系（不計(jì)摩擦）ABO基本步驟：1.確定系統(tǒng)是否滿足原理的應(yīng)用條件2.分析主動(dòng)力作用點(diǎn)的虛位移3.求主動(dòng)力的虛功之和第十二頁(yè)，共三十六頁(yè)，2022年，8月28日ABO解：第十三頁(yè)，共三十六頁(yè)，2022年，8月28日例16-2：結(jié)構(gòu)及其受力如圖所示，求A端的約束力偶。ABCDDAAAAFAyAAFAy第十四頁(yè)，共三十六頁(yè)，2022年，8月28日解：給出虛位移（如圖所示）ABCDD確定虛位移的關(guān)系將固定端A變成固定鉸鏈,將約束力偶變?yōu)橹鲃?dòng)力偶第十五頁(yè)，共三十六頁(yè)，2022年，8月28日例16-3:

圖示橢圓規(guī)機(jī)構(gòu),連桿A、B長(zhǎng)為l,，桿重和摩擦力不計(jì)，

求:在圖示位置平衡時(shí)主動(dòng)力FA和FB之間的關(guān)系。1.幾何法2.解析法解：xy0rBrA第十六頁(yè)，共三十六頁(yè)，2022年，8月28日虛位移：質(zhì)點(diǎn)系在給定瞬時(shí)為約束所容許的任何微小的位移虛位移原理

具有雙側(cè)、定常、理想約束的質(zhì)點(diǎn)系，在給定位置平衡的充要條件是：所有主動(dòng)力在質(zhì)點(diǎn)系任何虛位移中的元功之和等于零。幾何法：1確定自由度數(shù)，選廣義坐標(biāo)。2給虛位移，畫虛位移圖。3列方程。4找虛位移之間關(guān)系，解方程。解題步驟:解析法：1確定自由度數(shù)，選廣義坐標(biāo)。2取坐標(biāo)。3列方程。4取相關(guān)點(diǎn)位置坐標(biāo)，變分，解方程。第十七頁(yè)，共三十六頁(yè)，2022年，8月28日例16-5:

圖示桁架，各桿長(zhǎng)度均為l。求:FDE,FBC內(nèi)力。10kN15kNACDEB第十八頁(yè)，共三十六頁(yè)，2022年，8月28日解：幾何法:先求FDE,AC10kN15kNACDEByBxDxEyE對(duì)具有轉(zhuǎn)動(dòng)中心的剛體，可用力對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)中心的矩所做的虛功來(lái)代替。第十九頁(yè)，共三十六頁(yè)，2022年，8月28日再求FBCrEAIEC10kN15kNACDEBxCyB第二十頁(yè)，共三十六頁(yè)，2022年，8月28日例16-6：拱架結(jié)構(gòu),F1=2kN，F(xiàn)2=1kN，求:支架D、C處反力。aBCDGFEH2a2a2aADDFDxDDFDy第二十一頁(yè)，共三十六頁(yè)，2022年，8月28日第二十二頁(yè)，共三十六頁(yè)，2022年，8月28日解：1.求FDyaBCDGFEH2a2a2aArFrErBADrGFDyBrCrD第二十三頁(yè)，共三十六頁(yè)，2022年，8月28日2.求FDxaBCDGFEH2a2a2aArFrErBrGABDFDx第二十四頁(yè)，共三十六頁(yè)，2022年，8月28日3.求FCyaBCDGFEH2a2a2aAFCyrFrErBrGrcABD第二十五頁(yè)，共三十六頁(yè)，2022年，8月28日§16-4廣義力及以廣義力表示的質(zhì)點(diǎn)系平衡條件一、廣義力令：

Qj為對(duì)應(yīng)于廣義虛位移

的力，稱作為廣義力

(j=1,…k)解析表達(dá)式：

j=1,…k)

(i=1,…,n；

第二十六頁(yè)，共三十六頁(yè)，2022年，8月28日二、以廣義力表示的質(zhì)點(diǎn)系平衡條件

Qj=0(j=1,…,k)

具有雙側(cè)、定常、理想約束的質(zhì)點(diǎn)系，在給定位置上保持平衡的必要與充分條件是：所有與廣義坐標(biāo)對(duì)應(yīng)的廣義力均等于零。

——以廣義力表示的質(zhì)點(diǎn)系平衡條件

1、解析法

2、幾何法

取一組除，其余廣義坐標(biāo)變分均為零的虛位移，則第二十七頁(yè)，共三十六頁(yè)，2022年，8月28日例16-7:已知各桿長(zhǎng)為L(zhǎng)，重為W，求維持平衡所需力F的大小?解：不計(jì)摩擦自由度：1或廣義力平衡條件：選θ為廣義坐標(biāo)第二十八頁(yè)，共三十六頁(yè)，2022年，8月28日例16-8：均質(zhì)桿長(zhǎng)均為l，求圖示雙擺平衡時(shí)的力F和力偶M。解：1.令q1=1

0,q2=2=02.令q2=2

0,q1=1=01M12M22自由度：2，取廣義坐標(biāo)：j1，j2第二十九頁(yè)，共三十六頁(yè)，2022年，8月28日MPPF12yxAB得解析法：第三十頁(yè)，共三十六頁(yè)，2022年，8月28日虛位移原理：MPPF12yxAB第三十一頁(yè)，共三十六頁(yè)，2022年，8月28日§16-5勢(shì)力場(chǎng)中質(zhì)點(diǎn)系的平衡條件及平衡穩(wěn)定性

一、勢(shì)力場(chǎng)中質(zhì)點(diǎn)系的平衡條件勢(shì)力場(chǎng)中質(zhì)點(diǎn)系的平衡條件為：即第三十二頁(yè)，共三十六頁(yè)，2022年，8月28日二、勢(shì)力場(chǎng)中質(zhì)點(diǎn)系平衡穩(wěn)定性

穩(wěn)定平衡不穩(wěn)定平衡隨遇平衡一個(gè)自由度時(shí)，穩(wěn)定平衡條件：PPP第三十三頁(yè)，共三十六頁(yè)，2022年，8月28日例16-9：圖示平面緩沖機(jī)構(gòu),各桿的重量和摩擦不記，彈簧原長(zhǎng)為l，剛性系數(shù)為k。求:平衡時(shí)P與之間關(guān)系。解：lllll0ACBkyx重力勢(shì)能以x軸、彈性勢(shì)能以彈簧原長(zhǎng)