第六章應力應變分析

第六章應力應變分析第一頁，共六十七頁，2022年，8月28日應力應變分析§.1一點處的應力狀態(tài)§.2應力張量的表示方法§.3平面應力狀態(tài)§.4應力圓§.5三向應力狀態(tài)§.6應變狀態(tài)(與平面應力狀態(tài)對應的)§.7應力應變關系第二頁，共六十七頁，2022年，8月28日§.1一點處的應力狀態(tài)內(nèi)力是截面上的分布內(nèi)力的等效力系載荷集度稱為上的平均應力將分解為與法向和切向的力，第三頁，共六十七頁，2022年，8月28日內(nèi)力與應力的概念第四頁，共六十七頁，2022年，8月28日則稱為正應力（法向應力）

稱為剪應力（切應力）M點在截面上的正應力M點在截面上的剪應力第五頁，共六十七頁，2022年，8月28日應力的量綱第六頁，共六十七頁，2022年，8月28日一點處所有各方位截面上的應力的集合稱為該點的應力狀態(tài)，一點處的應力與其集度以及的法向相關,因此可用兩個并在一起的矢量表示,并且在不同的坐標系中滿足一點的坐標轉換關系，這在數(shù)學上成為張量，描述應力的張量稱為應力張量第七頁，共六十七頁，2022年，8月28日§.2應力張量的表示方法取一包圍該點的微元體（單元體）其各棱邊相互垂直，各棱邊的長分別為第八頁，共六十七頁，2022年，8月28日或由于單元體很小其上的應力可看作均勻分布各面上的應力可用3*3的矩陣表示第九頁，共六十七頁，2022年，8月28日（i,j=1,2,3）應力分量,應力張量。按上述約定假設應力的方向對正應力，則是拉應力為正?？紤]單元體力矩對軸的平衡方程有：（不考慮體力偶）第十頁，共六十七頁，2022年，8月28日同理上述關系稱為剪應力互等定理設表示軸與軸的方向余弦。第十一頁，共六十七頁，2022年，8月28日則可以證明應力張量可用來描述一點的應力狀態(tài)坐標變換矩陣第十二頁，共六十七頁，2022年，8月28日§11.3平面應力狀態(tài)若單元體上不為零的應力分量都位于同一平面內(nèi)稱為平面應力狀態(tài)。例如當物體的表面不受力時在表面取出單元體第十三頁，共六十七頁，2022年，8月28日例如外力作用在板平面內(nèi)的薄板第十四頁，共六十七頁，2022年，8月28日設不為0的應力分量都位于xy平面內(nèi)第十五頁，共六十七頁，2022年，8月28日一點的應力狀態(tài)應給出各方位截面上的應力情況，截面上的應力,其與軸正向的夾角以逆時針方向為正初始單元體：第十六頁，共六十七頁，2022年，8月28日顯然：由將代入

第十七頁，共六十七頁，2022年，8月28日由同理可得(a)(b)第十八頁，共六十七頁，2022年，8月28日第十九頁，共六十七頁，2022年，8月28日(c)式有兩個解將(c)式代入(b)式有單元體上剪應力為0的截面稱為主平面第二十頁，共六十七頁，2022年，8月28日主平面上的正應力稱為主應力主應力為各方程截面上正應力的極值一個為極大值一個為極小值、以主平面為單元體的各面稱為主單元體第二十一頁，共六十七頁，2022年，8月28日第二十二頁，共六十七頁，2022年，8月28日同理可求出的極值及第二十三頁，共六十七頁，2022年，8月28日例已知初始單元體上的應力（Mpa）求主單元體上的應力并畫出主單元體解：第二十四頁，共六十七頁，2022年，8月28日第二十五頁，共六十七頁，2022年，8月28日§11.4應力圓一點處平面應力狀態(tài)的圖解法，直觀各方位的應力情況一目了然。第二十六頁，共六十七頁，2022年，8月28日由(a)(b)第二十七頁，共六十七頁，2022年，8月28日上兩式兩邊平方后相加

第二十八頁，共六十七頁，2022年，8月28日則上式在應力坐標中為一圓稱為應力圓莫爾圓圓心坐標：半徑：第二十九頁，共六十七頁，2022年，8月28日因此，當連續(xù)變化至時，坐標繞應力圓的圓心轉一周

應力圓的畫法：建應力坐標系，取比例尺,定點或由圓心,半徑——畫圓

應力圓上一點，由繞圓心轉過角，對應截面上的應力

第三十頁，共六十七頁，2022年，8月28日第三十一頁，共六十七頁，2022年，8月28日應力圓畫法第三十二頁，共六十七頁，2022年，8月28日證明：第三十三頁，共六十七頁，2022年，8月28日同理可以證明：

及的方位極值點的方位與主平面方位相差對應的應力

第三十四頁，共六十七頁，2022年，8月28日任意兩相互垂直截面上的正應力之和由(a)式第三十五頁，共六十七頁，2022年，8月28日例確定主平面方程畫出主單元體及其上的應力，并在應力圓上標出圖示截面上的應力單位：

第三十六頁，共六十七頁，2022年，8月28日解：第三十七頁，共六十七頁，2022年，8月28日主單元體：

第三十八頁，共六十七頁，2022年，8月28日例2已知應力圓畫出初始單元體及其應力主單元體及應力單位解：初始單元體

第三十九頁，共六十七頁，2022年，8月28日半徑

主單元體：第四十頁，共六十七頁，2022年，8月28日§.5三向應力狀態(tài)

將三個主應力按代數(shù)量的大小順序排列

因此根據(jù)每一點的應力狀態(tài)可以找到3個相互垂直的主應力第四十一頁，共六十七頁，2022年，8月28日第四十二頁，共六十七頁，2022年，8月28日三向應力圓

空間任意方程截面上的應力，與三向應力圓所夾陰影面中某點的應力坐標表示。

一點處最大的剪應力

第四十三頁，共六十七頁，2022年，8月28日三向應力圓第四十四頁，共六十七頁，2022年，8月28日單向、雙向、三向應力狀態(tài)第四十五頁，共六十七頁，2022年，8月28日例：求

解：

在，平面內(nèi)

第四十六頁，共六十七頁，2022年，8月28日三向應力圓如圖

第四十七頁，共六十七頁，2022年，8月28日注意：不是同一平面的應力不能用平面應力狀態(tài)方法求解。

第四十八頁，共六十七頁，2022年，8月28日§.6應變狀態(tài)

（與平面應力狀態(tài)對應的）一點的變形有線應變和剪應變，單元體的相應尺寸與應變相乘得單元體的變形

在，坐標下

第四十九頁，共六十七頁，2022年，8月28日第五十頁，共六十七頁，2022年，8月28日在，坐標下，方向到方向夾角

令，各個方位應變的情況稱為一點的應變狀態(tài)與平面應力狀態(tài)的分析類似有

第五十一頁，共六十七頁，2022年，8月28日第五十二頁，共六十七頁，2022年，8月28日應變花：可證明：在應力或變形不是很大的情況下（線彈性范圍）主應力與主應變的方位是重合的。第五十三頁，共六十七頁，2022年，8月28日虎克定律

比例系數(shù)稱為材料的彈性模量

比例系數(shù)稱為泊松比

§.7應力應變關系1、單向應力狀態(tài)第五十四頁，共六十七頁，2022年，8月28日2、純剪應力狀態(tài)第五十五頁，共六十七頁，2022年，8月28日在線彈性范圍內(nèi)

剪切虎克定律

——剪切彈性模量

可證明

第五十六頁，共六十七頁，2022年，8月28日只有作用時3、廣義虎克定律第五十七頁，共六十七頁，2022年，8月28日第五十八頁，共六十七頁，2022年，8月28日對主單元體

例：已知一構件表面一點的應變

求該點的主應力和最大剪應力第五十九頁，共六十七頁，2022年，8月28日解：設

則

第六十頁，共六十七頁，2022年，8月28日整理后

第六十一頁，共六十七頁，2022年，8月28日例2已知，求設

解：

第六十二頁，共六十七頁，2022年，8月28日取一單元體體積受應力作用變形變形后的體積

4、體積變形第六十三頁，共六十七頁，2022年，8月28日單位體積的改變量

——體積應變

第六十四頁，共六十七頁，