第四章 橢球數學投影變換節(jié)

第四章橢球數學投影變換節(jié)*FundationofGeodesy1第一頁，共五十頁，2022年，8月28日*FundationofGeodesy21.以大地線在大地坐標系中的微分方程為基礎，直接在地球橢球面上進行積分運算。主要特點：解算精度與距離有關，距離越長，收斂越慢，因此只適用于較短的距離典型解法：高斯平均引數法

第二頁，共五十頁，2022年，8月28日*FundationofGeodesy32.以白塞爾大地投影為基礎1)按橢球面上的已知值計算球面相應值，即實現橢球面向球面的過渡；2)在球面上解算大地問題；3)按球面上得到的數值計算橢球面上的相應數值，即實現從圓球向橢球的過渡。典型解法：白塞爾大地主題解算

特點：解算精度與距離長短無關，它既適用于短距離解算，也適用于長距離解算?？蛇m應20000km或更長的距離，這對于國際聯測，精密導航，遠程導彈發(fā)射等都具有重要意義。

第三頁，共五十頁，2022年，8月28日*FundationofGeodesy44.7.2勒讓德級數式

為了計算的級數展開式，關鍵問題是推求各階導數。第四頁，共五十頁，2022年，8月28日*FundationofGeodesy5第五頁，共五十頁，2022年，8月28日*FundationofGeodesy6一階導數：二階導數：第六頁，共五十頁，2022年，8月28日*FundationofGeodesy7三階導數第七頁，共五十頁，2022年，8月28日*FundationofGeodesy8第八頁，共五十頁，2022年，8月28日*FundationofGeodesy9第九頁，共五十頁，2022年，8月28日*FundationofGeodesy10第十頁，共五十頁，2022年，8月28日*FundationofGeodesy114.7.3高斯平均引數正算公式

高斯平均引數正算公式推導的基本思想：

首先把勒讓德級數在P１點展開改在大地線長度中點M展開，以使級數公式項數減少，收斂快，精度高；其次，考慮到求定中點M的復雜性，將M點用大地線兩端點平均緯度及平均方位角相對應的m點來代替，并借助迭代計算便可順利地實現大地主題正解。

第十一頁，共五十頁，2022年，8月28日*FundationofGeodesy12(1)建立級數展開式:

第十二頁，共五十頁，2022年，8月28日*FundationofGeodesy13同理可得:

(2)第十三頁，共五十頁，2022年，8月28日*FundationofGeodesy14第十四頁，共五十頁，2022年，8月28日(3)由大地線微分方程依次求偏導數:第十五頁，共五十頁，2022年，8月28日*FundationofGeodesy16第十六頁，共五十頁，2022年，8月28日*FundationofGeodesy17第十七頁，共五十頁，2022年，8月28日*FundationofGeodesy18同理可得：第十八頁，共五十頁，2022年，8月28日*FundationofGeodesy19

注意：從公式可知，欲求ΔＬ，ΔＢ及ΔＡ，必先有Ｂｍ及Ａｍ。但由于Ｂ2和Ａ21未知，故精確值尚不知，為此須用逐次趨近的迭代方法進行公式的計算。除此之外，此方法適合與200公里以下的大地問題解算，其計算經緯計算精度可達到0.0001”,方位角計算精度可達到0.001”。第十九頁，共五十頁，2022年，8月28日*FundationofGeodesy204.7.4高斯平均引數反算公式

高斯平均引數反算公式可以依正算公式導出:上述兩式的主式為:第二十頁，共五十頁，2022年，8月28日*FundationofGeodesy21第二十一頁，共五十頁，2022年，8月28日*FundationofGeodesy22已知：求得：第二十二頁，共五十頁，2022年，8月28日*FundationofGeodesy23計算范例第二十三頁，共五十頁，2022年，8月28日*FundationofGeodesy24第二十四頁，共五十頁，2022年，8月28日*FundationofGeodesy25第二十五頁，共五十頁，2022年，8月28日*FundationofGeodesy264.7.5白塞爾大地主題解算方法

白塞爾法解算大地主題的基本思想:

以輔助球面為基礎,將橢球面三角形轉換為輔助球面的相應三角形,由三角形對應元素關系,將橢球面上的大地元素按照白塞爾投影條件投影到輔助球面上，然后在球面上進行大地主題解算，最后再將球面上的計算結果換算到橢球面上。

這種方法的關鍵問題是找出橢球面上的大地元素與球面上相應元素之間的關系式,同時也要解決在球面上進行大地主題解算的方法。

第二十六頁，共五十頁，2022年，8月28日*FundationofGeodesy27在球面上進行大地主題解算

球面上大地主題正算:已知求解

球面上大地主題反算:

已知

求解第二十七頁，共五十頁，2022年，8月28日*FundationofGeodesy28球面三角元素間的相互關系第二十八頁，共五十頁，2022年，8月28日*FundationofGeodesy29

球面上大地主題正解第二十九頁，共五十頁，2022年，8月28日*FundationofGeodesy30

球面上大地主題反解方法

第三十頁，共五十頁，2022年，8月28日*FundationofGeodesy312

橢球面和球面上坐標關系式第三十一頁，共五十頁，2022年，8月28日*FundationofGeodesy32在橢球面上與單位球面上的大地線微分方程為:第三十二頁，共五十頁，2022年，8月28日*FundationofGeodesy33白塞爾提出如下三個投影條件：1.橢球面大地線投影到球面上為大圓弧2.大地線和大圓弧上相應點的方位角相等；

3.球面上任意一點緯度等于橢球面上相應點的歸化緯度。

第三十三頁，共五十頁，2022年，8月28日*FundationofGeodesy34第三十四頁，共五十頁，2022年，8月28日*FundationofGeodesy35

以上為白塞爾微分方程.第三十五頁，共五十頁，2022年，8月28日*FundationofGeodesy363白塞爾微分方程的積分第三十六頁，共五十頁，2022年，8月28日*FundationofGeodesy37第三十七頁，共五十頁，2022年，8月28日*FundationofGeodesy38積分得到下式：第三十八頁，共五十頁，2022年，8月28日適合于反算:適合于正算:迭代法:

直接法:第三十九頁，共五十頁，2022年，8月28日*FundationofGeodesy40適合于反算:適合于正算:迭代法:直接法:第四十頁，共五十頁，2022年，8月28日*FundationofGeodesy41第四十一頁，共五十頁，2022年，8月28日*FundationofGeodesy42將三角函數冪級數用倍角函數代替，合并同類項，積分。截去4倍角項，其值小于0.0001秒。第四十二頁，共五十頁，2022年，8月28日*FundationofGeodesy43正算：反算：第四十三頁，共五十頁，2022年，8月28日*FundationofGeodesy444白塞爾法大地主題正算步驟

1.計算起點的歸化緯度2.計算輔助函數值解球面三角形可得:3.按公式計算相關系數A,B,C以及α,β

第四十四頁，共五十頁，2022年，8月28日*FundationofGeodesy454.計算球面長度

迭代法:

直接法:第四十五頁，共五十頁，2022年，8月28日*FundationofGeodesy465.計算經度差改正數6.計算終點大地坐標及大地方位角

第四十六頁，共五十頁，2022年，8月28日*FundationofGeodesy47第四十七頁，共五十頁，2022年，8月28日*FundationofGeodesy485白塞爾法大地主題反算步驟

1.輔助計算第四十八頁，共五十頁，2022年，8