第四章 統(tǒng)計(jì)推斷

第四章統(tǒng)計(jì)推斷第一頁(yè)，共九十八頁(yè)，2022年，8月28日總體與樣本之間的關(guān)系包括兩個(gè)方面：從總體到樣本的研究；由樣本推斷總體，它是以各種樣本統(tǒng)計(jì)量的抽樣分布為基礎(chǔ)的，一般是正態(tài)分布、t分布、χ2分布和F分布。對(duì)總體做統(tǒng)計(jì)推斷有兩種途徑，在實(shí)際應(yīng)用時(shí)可互相參照使用首先對(duì)所估計(jì)的總體做一假設(shè)，然后通過(guò)樣本數(shù)據(jù)推斷這個(gè)假設(shè)是否接受，這種途徑稱為統(tǒng)計(jì)假設(shè)檢驗(yàn)通過(guò)樣本統(tǒng)計(jì)量估計(jì)總體參數(shù)，稱為總體參數(shù)估計(jì)第二頁(yè)，共九十八頁(yè)，2022年，8月28日總體樣本統(tǒng)計(jì)量(X)估計(jì)&檢驗(yàn)第三頁(yè)，共九十八頁(yè)，2022年，8月28日總體抽樣樣本（實(shí)驗(yàn)結(jié)果）檢驗(yàn)（抽樣分布規(guī)律）接受拒絕小概率事件未發(fā)生小概率事件發(fā)生某種假設(shè)統(tǒng)計(jì)假設(shè)檢驗(yàn)圖解第四頁(yè)，共九十八頁(yè)，2022年，8月28日總體我相信人的平均血紅蛋白含量是126g(零假設(shè))Mean

X=136隨機(jī)樣本接受零假設(shè)!

拒絕備擇！4.1單個(gè)樣本的統(tǒng)計(jì)假設(shè)檢驗(yàn)一、一般原理及兩種類(lèi)型的錯(cuò)誤基本思想抽樣分布P50第五頁(yè)，共九十八頁(yè)，2022年，8月28日m

=126H0我們能得到一個(gè)均值是136樣本因而我們接受零假設(shè)

=126樣本平均數(shù)136P＝0.114第六頁(yè)，共九十八頁(yè)，2022年，8月28日假設(shè)零（無(wú)效）假設(shè):記為H0，假設(shè)總體的平均數(shù)μ等于某一給定的值μ0，即μ-μ0=0，記為

H0：μ-μ0=0（零假設(shè)是針對(duì)實(shí)驗(yàn)考查的內(nèi)容提出的，就是處理無(wú)效，在P50例子中考查的內(nèi)容是：在這種藥物下能否提高血紅蛋白含量，所以在例子中零假設(shè)記為，H0：μ=μ0(126g)備擇假設(shè):與零假設(shè)相對(duì)的假設(shè)記為HA，它是在拒絕H0的情況下，可供選擇的假設(shè)如HA：μ＞μ0，HA：μ＜μo及HA：μ≠μ0。備擇假設(shè)的選定視實(shí)際情況而定。

在例子中備擇假設(shè)記為，HA：μ≠μ0(126g)第七頁(yè)，共九十八頁(yè)，2022年，8月28日小概率原理小概率的事件是指在一次試驗(yàn)中，幾乎是不會(huì)發(fā)生的事件。若根據(jù)一定的假設(shè)條件計(jì)算出來(lái)的該事件發(fā)生的概率很小，而在一次試驗(yàn)中它竟然發(fā)生了，則可認(rèn)為原假設(shè)條件不正確，給予否定。根據(jù)小概率原理所建立起來(lái)的檢驗(yàn)方法稱為顯著性檢驗(yàn)。在生物統(tǒng)計(jì)工作中，通常規(guī)定5%或1%以下為小概率，稱為顯著性水平，記為“α”。檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量：u

t

χ2

F

等第八頁(yè)，共九十八頁(yè)，2022年，8月28日例4.1用實(shí)驗(yàn)動(dòng)物作實(shí)驗(yàn)材料，現(xiàn)從一批動(dòng)物中抽取含量n=10的樣本并已經(jīng)計(jì)算出平均值為10.23克。要求動(dòng)物滿足平均體重μ=10.00g，σ=0.4的正態(tài)分布總體，若μ<10.00g需再飼養(yǎng)，若μ>10.00g則應(yīng)淘汰，問(wèn)此批動(dòng)物材料是否淘汰（顯著性水平α=0.05）？

從正態(tài)分布表查出P=0.03438<0.05，或查α=0.05時(shí)的uα=1.645<1.82，表明這是一個(gè)小概率事件。結(jié)果：該樣本幾乎不可能抽自μ=10.00g的總體。結(jié)論？解：該樣本平均數(shù)滿足正態(tài)分布。零假設(shè)H0：μ=μ0=10.00(g)備擇假設(shè)HA：μ＞10.00(g)第九頁(yè)，共九十八頁(yè)，2022年，8月28日單側(cè)檢驗(yàn)(one-sidedtest)上尾檢驗(yàn)：拒絕H0后，接受μ>μ0，如左圖。下尾檢驗(yàn)：拒絕H0后，接受μ<μ0，如右圖。樣本統(tǒng)計(jì)量樣本統(tǒng)計(jì)量樣本統(tǒng)計(jì)量臨界值第十頁(yè)，共九十八頁(yè)，2022年，8月28日雙側(cè)檢驗(yàn)

在生物學(xué)問(wèn)題中，有時(shí)只要考慮μ是否等于μ0，并不關(guān)心究竟是大于還是小于μ0，這時(shí)就要使用雙側(cè)檢驗(yàn)。在α水平上，H0的拒絕域由P(∣U∣＞uα/2)=α

決定。拒絕域包括大于uα/2或小于－uα/2的區(qū)域，這兩個(gè)尾區(qū)的曲線下面積之和為α。由于單側(cè)檢驗(yàn)時(shí)利用了已知有一側(cè)是不可能的這一條件，從而提高了它的辨別力，所以單側(cè)檢驗(yàn)比雙側(cè)檢驗(yàn)的辨別力更強(qiáng)些。實(shí)際應(yīng)用時(shí)，要盡量選用單側(cè)檢驗(yàn)，但也要根據(jù)實(shí)際情況而定。第十一頁(yè)，共九十八頁(yè)，2022年，8月28日兩種類(lèi)型的錯(cuò)誤Ⅰ型錯(cuò)誤（α錯(cuò)誤）：當(dāng)μ＝μ0時(shí)假設(shè)是正確的，卻錯(cuò)誤地拒絕了它。犯Ⅰ型錯(cuò)誤的概率不會(huì)大于α。（以真為假——

棄真錯(cuò)誤）Ⅱ型錯(cuò)誤（β錯(cuò)誤）：當(dāng)μ≠μ0但錯(cuò)誤地接受了μ=μ0的假設(shè)時(shí)所犯的錯(cuò)誤。（以假為真——

存?zhèn)五e(cuò)誤）第十二頁(yè)，共九十八頁(yè)，2022年，8月28日關(guān)于兩種類(lèi)型錯(cuò)誤的三點(diǎn)解釋為了同時(shí)降低α和β就需增加樣本含量，當(dāng)樣本含量增加后，樣本標(biāo)準(zhǔn)誤降低，曲線就會(huì)變得陡峭，則犯兩種錯(cuò)誤的概率都會(huì)降低。樣本含量不變時(shí)，你不能同時(shí)減少兩類(lèi)錯(cuò)誤!當(dāng)μ1越接近于μ0時(shí)，犯Ⅱ型錯(cuò)誤的概率愈大；當(dāng)μ1越遠(yuǎn)離μ0時(shí)，犯Ⅱ型錯(cuò)誤的概率愈小。在樣本含量和樣本平均數(shù)都固定時(shí)，為了降低犯Ⅰ型錯(cuò)誤的概率α（就應(yīng)將上圖中的豎線右移），必然增加犯Ⅱ型錯(cuò)誤的概率。第十三頁(yè)，共九十八頁(yè)，2022年，8月28日兩點(diǎn)說(shuō)明通常把P＜α?xí)r，拒絕Ho稱為差異是顯著的。這一結(jié)論嚴(yán)格的說(shuō)應(yīng)當(dāng)是“由樣本推斷出的總體平均數(shù)μ與μo之間的差異有統(tǒng)計(jì)學(xué)意義”，即它們屬于兩個(gè)不同總體（冒α風(fēng)險(xiǎn)）。統(tǒng)計(jì)推斷的目的:?因此，所謂μ和μ0之間的差異有統(tǒng)計(jì)學(xué)意義是指在給定的樣本含量下推斷出該總體的平均數(shù)μ與μ0來(lái)自不同總體。太小的樣本有可能檢驗(yàn)不出總體之間真正存在的差異，太大時(shí)又會(huì)在人力物力上投入過(guò)多，如何確定合理的樣本含量，是試驗(yàn)設(shè)計(jì)中應(yīng)認(rèn)真對(duì)待的問(wèn)題。nup結(jié)論第十四頁(yè)，共九十八頁(yè)，2022年，8月28日二、單個(gè)樣本顯著性檢驗(yàn)的程序1、假設(shè)零假設(shè)：根據(jù)經(jīng)驗(yàn)或?qū)嶒?yàn)結(jié)果；依據(jù)某種理論或模型；依據(jù)預(yù)先的規(guī)定。備擇假設(shè)：除零假設(shè)以外的值；擔(dān)心會(huì)出現(xiàn)的值；希望會(huì)出現(xiàn)的值；有重要意義或其他意義的值。2、顯著性水平α=0.10試驗(yàn)條件下不易控制或易產(chǎn)生較大誤差α=0.05α=0.01容易產(chǎn)生嚴(yán)重后果的一些試驗(yàn)，如藥物的毒性實(shí)驗(yàn)兩種類(lèi)型的錯(cuò)誤：α不宜定得太嚴(yán)，太嚴(yán)會(huì)增加β。在條件許可的情況下盡量增加樣本含量n3、確定檢驗(yàn)方法：u檢驗(yàn)、t檢驗(yàn)、X2檢驗(yàn)、F檢驗(yàn)等。第十五頁(yè)，共九十八頁(yè)，2022年，8月28日4、建立在α水平上的Ho的拒絕域（注意單側(cè)或雙側(cè)）單側(cè)檢驗(yàn)時(shí)，拒絕域只在零假設(shè)的一側(cè)有一區(qū)間；做雙側(cè)檢驗(yàn)時(shí)，拒絕域在零假設(shè)的兩側(cè)各有一個(gè)區(qū)間。5、對(duì)推斷的解釋?zhuān)喝艚y(tǒng)計(jì)量的值落在接受域內(nèi)，決不是說(shuō)總體參數(shù)一定等于零假設(shè)的值。對(duì)于接受θ=θ0。這一零假設(shè)可以有以下幾種解釋?zhuān)孩倭慵僭O(shè)的值是真實(shí)的，并產(chǎn)生一個(gè)正如我們所見(jiàn)到的樣本。②θ可能非常接近于θ0

。③抽樣結(jié)果符合零假設(shè)的值θ0

，樣本統(tǒng)計(jì)量的值與θ0之間的不符合是由于偶然因素造成。第十六頁(yè)，共九十八頁(yè)，2022年，8月28日三、在σ已知情況下，單個(gè)平均數(shù)的顯著性檢驗(yàn)——u檢驗(yàn)1、假設(shè)從σ已知的正態(tài)或近似正態(tài)總體中抽出含量為n的樣本。零假設(shè)H0：μ＝μ0

備擇假設(shè)HA：①μ>μ0②μ<μ0③μ≠μ02、顯著性水平在α＝0.05水平上拒絕H0稱為差異顯著在α＝0.01水平上拒絕H0稱為差異極顯著3、檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量4、得出結(jié)論并給予解釋第十七頁(yè)，共九十八頁(yè)，2022年，8月28日例4.3已知豌豆籽粒重量服從正態(tài)分布N(377.2，3.32)在改善栽培條件后，隨機(jī)抽取9粒，其籽粒平均重為379.2，若標(biāo)準(zhǔn)差仍為3.3，問(wèn)改善栽培條件是否顯著提高了豌豆籽粒重量？解①假設(shè)：H0：μ＝377.2

HA：μ>377.2②顯著性水平：α＝0.05③σ已知，使用u檢驗(yàn)

④H0的拒絕域：因HA：μ>μ0，故為上尾檢驗(yàn)，當(dāng)u>u0.05時(shí)拒絕H0。u0.05=1.645。⑤結(jié)論：u>u0.05,即P<0.05,所以拒絕零假設(shè)。栽培條件的改善，顯著地提高了豌豆籽粒重量。第十八頁(yè)，共九十八頁(yè)，2022年，8月28日四、σ未知時(shí)平均數(shù)的顯著性檢驗(yàn)——

t檢驗(yàn)1、假設(shè)從σ未知的正態(tài)或近似正態(tài)總體中抽出含量為n的樣本。零假設(shè):H0：μ＝μ0

備擇假設(shè):HA：①μ>μ0②μ<μ0③μ≠μ02、顯著性水平:在α＝0.05水平上拒絕H0稱為差異顯著在α＝0.01水平上拒絕H0稱為差異極顯著3、檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量:當(dāng)σ未知時(shí)以s代替之，標(biāo)準(zhǔn)化的變量稱為t，服從n－1自由度的t分布。4、相應(yīng)于1中各備擇假設(shè)之H0的拒絕域:①t>tα②t<－tα③|t|>tα/25、得出結(jié)論并給予解釋。

t檢驗(yàn)不如u檢驗(yàn)精確第十九頁(yè)，共九十八頁(yè)，2022年，8月28日例4.4已知某玉米種群的平均穗重μ0＝300g，σ0＝9.5g。噴藥后，隨機(jī)抽取9個(gè)果穗，其穗重為：308、305、311、298、315、300、321、294、320g。問(wèn)噴藥前后的果穗重差異是否顯著？解：①假設(shè)：H0：μ＝300HA：μ≠300

藥物濃度適合時(shí)可促進(jìn)生長(zhǎng)，濃度過(guò)高反而會(huì)抑制生長(zhǎng)，所以噴藥的效果未知，需采用雙側(cè)檢驗(yàn)。②顯著性水平：α＝0.05③σ未知應(yīng)使用t檢驗(yàn)，已計(jì)算出＝308，s＝9.62④H0的拒絕域：因HA：μ≠μ0，故為雙側(cè)檢驗(yàn)，當(dāng)|t|>t0.025時(shí)拒絕H0。t0.025=2.306。⑤結(jié)果：因|t|>t0.025,即P<0.05，所以拒絕零假設(shè)。噴藥前后果穗重的差異是顯著的。若規(guī)定α＝0.01，t0.01/2=3.355，t<t0.005，因此噴藥前后果穗重的差異尚未達(dá)到“極顯著”。第二十頁(yè)，共九十八頁(yè)，2022年，8月28日五、變異性的顯著性檢驗(yàn)－χ2檢驗(yàn)

1、假設(shè)從正態(tài)總體中隨機(jī)抽取含量為n的樣本，計(jì)算出樣本s2。零假設(shè):H0：σ＝σ0

備擇假設(shè):HA：①σ>σ0②σ<σ0③σ≠σ02、顯著性水平:在α＝0.05水平上拒絕H0稱為差異顯著在α＝0.01水平上拒絕H0稱為差異極顯著3、檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量:4、相應(yīng)于1中各備擇假設(shè)之H0的拒絕域:①χ2>χ2α②χ2<χ21－α③χ2<χ21-α/2和χ2>χ2α/25、得出結(jié)論并給予解釋。第二十一頁(yè)，共九十八頁(yè)，2022年，8月28日例4.5一個(gè)混雜的小麥品種,株高標(biāo)準(zhǔn)差σ0＝14cm,經(jīng)提純后隨機(jī)抽出10株,它們的株高為:90、105、101、95、100、100、101、105、93、97cm,考查提純后的群體是否比原群體整齊？

解①株高服從正態(tài)分布,μ未知,對(duì)未知總體的方差做檢驗(yàn)②假設(shè):H0：σ＝14cm

HA：σ<σ0

小麥經(jīng)提純后株高只能變得更整齊，因而使用下側(cè)檢驗(yàn)。③顯著性水平:在α＝0.01水平上做檢驗(yàn)④檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量:

0.990.99⑤相應(yīng)于備擇假設(shè)HA:σ<σ0，H0的拒絕域?yàn)棣?<χ21－α，從附表4中可以查出χ20.99＝2.09⑥結(jié)論：因χ2<χ20.99，即P<0.01，所以拒絕H0。結(jié)論是植株經(jīng)提純后變得非常整齊。第二十二頁(yè)，共九十八頁(yè)，2022年，8月28日單個(gè)樣本的平均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差的顯著性檢驗(yàn)小結(jié)：本節(jié)的顯著性檢驗(yàn)，是通過(guò)樣本值對(duì)總體做推斷，即推斷該樣本是否從零假設(shè)總體得出來(lái)，在小概率原理的基礎(chǔ)上通過(guò)判定u

，t，χ2值是否具有顯著性差異來(lái)得出結(jié)論。第二十三頁(yè)，共九十八頁(yè)，2022年，8月28日4.2兩個(gè)樣本的差異顯著性檢驗(yàn)單個(gè)樣本的顯著性檢驗(yàn)需要事先能夠提出合理的參數(shù)假設(shè)值和對(duì)參數(shù)有某種意義的備擇值。然而，實(shí)際工作中很難提出，故限制了實(shí)際應(yīng)用。在實(shí)際應(yīng)用時(shí)，常常選用兩個(gè)樣本，一個(gè)作為處理，一個(gè)作為對(duì)照，在這兩個(gè)樣本之間作比較，判定它們之間的差異能否用偶然性誤差解釋?zhuān)舨荒苡门既恍越忉寱r(shí)，則認(rèn)為它們之間存在足夠顯著的差異，從而判斷這兩個(gè)樣本來(lái)自兩個(gè)不同的總體。第二十四頁(yè)，共九十八頁(yè)，2022年，8月28日一、兩個(gè)方差的檢驗(yàn)(方差齊性分析)—F檢驗(yàn)1、從兩個(gè)正態(tài)或近似正態(tài)總體中，獨(dú)立地抽取含量分別為n1和n2的兩個(gè)隨機(jī)樣本，計(jì)算出s12和s22。與總體平均數(shù)μi無(wú)關(guān)。2、零假設(shè):H0：σ1＝σ2

備擇假設(shè):HA：①σ1>σ2②σ1<σ2③σ1≠σ23、顯著性水平:在α＝0.05水平上拒絕H0稱為差異顯著在α＝0.01水平上拒絕H0稱為差異極顯著4、檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量:在抽樣分布一章中已經(jīng)給出F的定義在零假設(shè)σ1＝σ2下，統(tǒng)計(jì)量F變?yōu)榈诙屙?yè)，共九十八頁(yè)，2022年，8月28日5、相應(yīng)于2中各備擇假設(shè)之H0的拒絕域:①相應(yīng)于HA：σ1>σ2，做上尾單側(cè)檢驗(yàn)，當(dāng)F>Fα?xí)r拒絕H0。

②相應(yīng)于HA：σ1<σ2，做下尾單側(cè)檢驗(yàn)，當(dāng)F<F1-α?xí)r拒絕H0，F(xiàn)的下側(cè)分位數(shù)F1－α由下式給出一種變通的辦法是把s

2中較大者稱為s12（分子），這時(shí)只會(huì)用上側(cè)檢驗(yàn)，處理起來(lái)更方便些，對(duì)于結(jié)果無(wú)影響。③相應(yīng)于HA：σ1≠σ2，應(yīng)做雙側(cè)檢驗(yàn)，當(dāng)F>Fα/2和

F<F1-α/2時(shí)拒絕H0。6、得出結(jié)論并給予生物學(xué)解釋。第二十六頁(yè)，共九十八頁(yè)，2022年，8月28日例4.6測(cè)定了20位青年男子和20位老年男子的血壓值（收縮壓mmHg）如表5-2所示。問(wèn)老年人血壓值個(gè)體間的波動(dòng)是否顯著高于青年人？解：1）人類(lèi)血壓值是正態(tài)分布的隨機(jī)變量，而且兩樣本為獨(dú)立獲得。2）假設(shè)：H0:σ1=σ2

HA:σ1<σ2(老年人血壓值的波動(dòng)只會(huì)大于青年人，單側(cè))

以s

2較大者作為分子，備擇假設(shè)則變?yōu)镠A：σ2>σ1，成為上尾檢驗(yàn)3）顯著性水平：根據(jù)問(wèn)題的要求（是否顯著），選α=0.05。4）統(tǒng)計(jì)量的值：5）結(jié)論：F0.05=2.18，F(xiàn)>F0.05,P<0.05

，所以結(jié)論是拒絕H0，接受HA。即老年人的血壓值在個(gè)體間的波動(dòng)高于青年人。第二十七頁(yè)，共九十八頁(yè)，2022年，8月28日第二十八頁(yè)，共九十八頁(yè)，2022年，8月28日二.標(biāo)準(zhǔn)差(σi)已知時(shí)，兩個(gè)平均數(shù)間差異顯著性的檢驗(yàn)1、從σ1和σ2已知的正態(tài)或近似正態(tài)總體中抽出含量分別為n1和n2的樣本。2、零假設(shè)H0：μ1＝μ2

備擇假設(shè)HA：①μ1>μ2，若已知μ1不可能小于μ2；②μ1<μ2，若已知μ1不可能大于μ2；③μ1≠μ2，包括μ1>μ2和μ1<μ2。3、顯著性水平在α＝0.05水平上拒絕H0稱為差異顯著在α＝0.01水平上拒絕H0稱為差異極顯著

第二十九頁(yè)，共九十八頁(yè)，2022年，8月28日4、檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量在σi已知時(shí)兩平均數(shù)差的標(biāo)準(zhǔn)化變量：在H0：μ1＝μ2下，檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為：

上式的分母稱為平均數(shù)差的標(biāo)準(zhǔn)誤差，記為5、相應(yīng)于2中各備擇假設(shè)之H0的拒絕域①u(mài)>uα②u<－uα③|u|>uα/26、得出結(jié)論并給予生物學(xué)解釋第三十頁(yè)，共九十八頁(yè)，2022年，8月28日例4.7

調(diào)查兩個(gè)不同漁場(chǎng)的馬面鲀魚(yú)的體長(zhǎng)，每一漁場(chǎng)調(diào)查20條魚(yú)。平均體長(zhǎng)分別為：=19.8cm，=18.5cm。σ1=σ2=7.2cm。問(wèn)在α=0.05水平上，第一號(hào)漁場(chǎng)的馬面鲀魚(yú)是否顯著高于第二號(hào)漁場(chǎng)的馬面鲀魚(yú)的體長(zhǎng)？

解①馬面鲀體長(zhǎng)是服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量，σ1和σ2已知。②假設(shè)：H0：μ1＝μ2

HA：μ1>μ2③顯著性水平：已規(guī)定為α＝0.05④統(tǒng)計(jì)量的值：

⑤建立H0的拒絕域：上尾單側(cè)檢驗(yàn)，當(dāng)u>u0.05時(shí)拒絕H0。從表中查出u0.05=1.645.⑥結(jié)論：u<u0.05,即P>0.05，不能拒絕H0，第一號(hào)漁場(chǎng)馬面鲀體長(zhǎng)并不比第二號(hào)的長(zhǎng)。第三十一頁(yè)，共九十八頁(yè)，2022年，8月28日三、標(biāo)準(zhǔn)差（σi）未知但相等時(shí)兩平均數(shù)間差異顯著性檢驗(yàn)——成組數(shù)據(jù)t檢驗(yàn)

先做方差齊性檢驗(yàn)（F-雙側(cè)檢驗(yàn)）判斷σi

是否相等I.方差齊性檢驗(yàn)：1、從兩個(gè)正態(tài)或近似正態(tài)總體中，獨(dú)立地抽取含量分別為n1和n2的兩個(gè)隨機(jī)樣本，分別計(jì)算出s12和s22。2、零假設(shè):H0：σ1＝σ2

備擇假設(shè):HA：σ1≠σ23、顯著性水平:α＝0.054、檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量:5、建立H0的拒絕域:

對(duì)于方差齊性做雙側(cè)檢驗(yàn)，當(dāng)F>Fα/2和F<F1-α/2時(shí)拒絕H0。6、得出結(jié)論判斷方差是否相等。第三十二頁(yè)，共九十八頁(yè)，2022年，8月28日Ⅱ.平均數(shù)差異顯著性檢驗(yàn)1、從σ1和σ2未知的正態(tài)或近似正態(tài)總體中抽出含量分別為n1和n2的樣本。2、零假設(shè)：H0：μ1＝μ2

備擇假設(shè)：HA：①μ1>μ2;②μ1<μ2;③μ1≠μ23、顯著性水平：在α=0.05水平上拒絕H0稱為差異顯著在α=0.01水平上拒絕H0稱為差異極顯著4、檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量：在標(biāo)準(zhǔn)差未知時(shí)，平均數(shù)差的標(biāo)準(zhǔn)化變量在抽樣分布一章中已經(jīng)給出。5、相應(yīng)于2中各備擇假設(shè)之H0的拒絕域:①t>tα;②t<－tα;③|t|>tα/26、得出結(jié)論并給予解釋。第三十三頁(yè)，共九十八頁(yè)，2022年，8月28日例4.8兩個(gè)小麥品種從播種到抽穗所需天數(shù)如下表，問(wèn)兩者所需的天數(shù)差異是否顯著？解：I.方差齊性檢驗(yàn)：使用雙側(cè)F檢驗(yàn)。①小麥生長(zhǎng)天數(shù)是服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量。

②假設(shè):H0：σ1＝σ2

HA：σ1≠σ2③顯著性水平:α＝0.05④檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量:⑤建立H0的拒絕域:

F9,9,0.025＝4.026，F(xiàn)9,9,0.975＝0.248⑥結(jié)論：F0.975<F<F0.025,即P>0.05。方差具齊性。兩者所需的天數(shù)差異不顯著。第三十四頁(yè)，共九十八頁(yè)，2022年，8月28日第三十五頁(yè)，共九十八頁(yè)，2022年，8月28日II.平均數(shù)差異顯著性檢驗(yàn)①小麥生長(zhǎng)天數(shù)是服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量。②假設(shè)：H0：μ1＝μ2

HA：μ1≠μ2③顯著性水平：α＝0.05④檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量：⑤建立H0的拒絕域:本例為雙側(cè)檢驗(yàn)，當(dāng)|t|>tα/2時(shí)拒絕H0，從附表4中查出t18,

0.025=2.10。⑥結(jié)論：t<t0.025，即P>0.05，接受H0。兩個(gè)小麥品種從播種到抽穗所需天數(shù)差異不顯著。第三十六頁(yè)，共九十八頁(yè)，2022年，8月28日例4.9

研究?jī)煞N激素類(lèi)藥物對(duì)腎組織切片氧消耗的影響，研究第一種藥物樣本數(shù)為9，平均數(shù)為27.92，樣本方差為8.673;第二種的樣本數(shù)為6，平均數(shù)為25.11，樣本方差為1.843。問(wèn)兩種藥物對(duì)腎組織切片氧消耗的影響差異是否顯著？解I.方差齊性檢驗(yàn)

H0：σ1=σ2，HA：σ1≠σ2；α=0.05F<F0.025,即P>0.05。可以接受σ1=σ2的假設(shè),即方差齊性

II.平均數(shù)間差異顯著性檢驗(yàn)

H0：μ1=μ2

，HA：μ1≠μ2

；α=0.05t0.025=2.160,t>t0.025,

即P<0.05。結(jié)論：在α=0.05水平上，兩種藥物對(duì)腎組織切片氧消耗的影響差異顯著。

第三十七頁(yè)，共九十八頁(yè)，2022年，8月28日四、標(biāo)準(zhǔn)差(σi)未知且可能不相等時(shí)，兩個(gè)平均數(shù)間差異顯著性的檢驗(yàn)（Aspin-Welch檢驗(yàn)，近似t檢驗(yàn)）

若經(jīng)F（雙尾）檢驗(yàn)得出的結(jié)論是σ1≠σ2，這時(shí)可用近似t檢驗(yàn)判定平均數(shù)之間的差異顯著性。檢驗(yàn)程序類(lèi)似成組數(shù)據(jù)t檢驗(yàn)該檢驗(yàn)的臨界值仍由t表查出自由度由公式得出：t檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量公式：第三十八頁(yè)，共九十八頁(yè)，2022年，8月28日例4.10

兩組類(lèi)似的大鼠，一組對(duì)照，另一組藥物處理，然后測(cè)定血糖。其中對(duì)照組樣本數(shù)為12，平均數(shù)109.17，樣本方差97.430。經(jīng)催產(chǎn)素處理組的樣本數(shù)為8，平均數(shù)為106.88，樣本方差為7.268。問(wèn)藥物對(duì)大鼠血糖含量的影響是否顯著？解：Ⅰ、方差齊性檢驗(yàn)：

H0：σ1=σ2，HA：σ1≠σ2

；α=0.05F11，7=97.430/7.268=13.41，F(xiàn)11，7，0.025=4.714F>F0.025，結(jié)論是方差不具齊性，即σ1≠σ2

Ⅱ、平均數(shù)之間差異顯著性檢驗(yàn)

H0：μ1=μ2，HA：μ1≠μ2

，α=0.05；計(jì)算出k=0.899→df=13.35，

用線性內(nèi)插法可以求出t13.35,0.05(雙側(cè)）=2.15,t<t0.05(雙側(cè)）。結(jié)論是催產(chǎn)素藥物對(duì)大鼠的影響是不顯著的。第三十九頁(yè)，共九十八頁(yè)，2022年，8月28日性質(zhì)相同的兩個(gè)供試單位配成一對(duì)，并設(shè)多個(gè)配對(duì)，然后對(duì)每一配對(duì)的兩個(gè)供試單位分別隨機(jī)地給予不同處理，所得的觀察值為成對(duì)數(shù)據(jù)。每對(duì)材料其他各種條件盡可能一致，然后做不同處理例如：同一個(gè)人服藥前后的數(shù)據(jù)；同一窩動(dòng)物的不同處理檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)對(duì)象為每對(duì)材料測(cè)量值的差，作單樣本檢驗(yàn)檢驗(yàn)程序同單個(gè)樣本的t檢驗(yàn)基本相同。五、配對(duì)數(shù)據(jù)的顯著性檢驗(yàn)－成對(duì)數(shù)據(jù)t檢驗(yàn)第四十頁(yè)，共九十八頁(yè)，2022年，8月28日

例下表為不同組合的雜種F1籽粒蛋白質(zhì)含量父本母本(a)母本(b)d=(a)-(b)d2

瑪納斯紅8.4787.9940.4840.234紅菲特瑞他7.5127.1410.3710.138忻粱77.2228.267–1.0451.092平羅娃娃頭8.0538.280–0.2270.052平頂冠7.6896.7400.9490.901洋大粒8.5287.6320.8960.803忻粱526.9725.9131.0591.121東海紅公雞7.7318.169–0.7980.637板農(nóng)15.7607.570–1.8103.276歪脖黃7.9307.5690.3610.131千斤紅7.2556.3220.9330.870忻粱716.7956.4170.3780.143總計(jì)1.5119.397第四十一頁(yè)，共九十八頁(yè)，2022年，8月28日1、配對(duì)數(shù)據(jù)，求出差以后即轉(zhuǎn)變?yōu)閱螛颖?，其平均?shù)為。2、零假設(shè):H0：備擇假設(shè):HA：①；②；③3、顯著性水平:在α=

0.05水平上拒絕H0稱為差異顯著在α=0.01水平上拒絕H0稱為差異極顯著4、檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量:標(biāo)準(zhǔn)化變量t

在零假設(shè)μ＝0下，

t服從n-1自由度的t分布，其中的n為數(shù)據(jù)的對(duì)數(shù)。5、相應(yīng)于2中各備擇假設(shè)之H0的拒絕域:①t>tα；②t<－tα；③|t|>tα/26、得出結(jié)論并給予解釋。上例的推斷如下：H0：μd

=0，HA：μd

≠0；α＝0.05

t11,0.025=2.201,|t|<t0.025,即P>0.05，接受H0。結(jié)論：用不同的母本所配成的高粱雜交種籽粒蛋白質(zhì)含量差異不顯著。第四十二頁(yè)，共九十八頁(yè)，2022年，8月28日配對(duì)法與成組法的比較配對(duì)法比成組法更容易檢出兩組數(shù)據(jù)平均數(shù)之間的差異。平均數(shù)及樣本含量均相同的條件下，s愈小則t值愈大，從而拒絕H0的可能性越大（即差異顯著）。而配對(duì)法比成組法的樣本方差小，所以配對(duì)法比成組法更容易檢出兩組數(shù)據(jù)平均數(shù)之間的差異。用配對(duì)法比較時(shí)，可排除數(shù)據(jù)之間可能存在的相關(guān)，提高檢驗(yàn)的能力，從而達(dá)到事半功倍的效果。第四十三頁(yè)，共九十八頁(yè)，2022年，8月28日兩個(gè)樣本間差異顯著性檢驗(yàn)的小結(jié)第四十四頁(yè)，共九十八頁(yè)，2022年，8月28日對(duì)總體參數(shù)的估計(jì)可分為點(diǎn)估計(jì)和區(qū)間估計(jì)。統(tǒng)計(jì)推斷假設(shè)檢驗(yàn)參數(shù)估計(jì)4.3參數(shù)估計(jì)第四十五頁(yè)，共九十八頁(yè)，2022年，8月28日估計(jì)過(guò)程均值未知總體我有95%的置信度認(rèn)為介于40和60之間樣本隨機(jī)樣本均值

X=50第四十六頁(yè)，共九十八頁(yè)，2022年，8月28日一、點(diǎn)估計(jì)我們?cè)囼?yàn)的目的就是希望獲得有關(guān)試驗(yàn)處理總體的認(rèn)識(shí)。用由樣本數(shù)據(jù)所計(jì)算出來(lái)的單個(gè)數(shù)值對(duì)總體參數(shù)所做的估計(jì)稱為點(diǎn)估計(jì)。樣本平均數(shù)是總體平均數(shù)的估計(jì)值；樣本百分?jǐn)?shù)是總體百分?jǐn)?shù)P的估計(jì)值二、區(qū)間估計(jì)點(diǎn)估計(jì)沒(méi)有考慮抽樣誤差和試驗(yàn)誤差的影響，也未指出這種估計(jì)的可靠程度。對(duì)總體平均數(shù)和總體百分?jǐn)?shù)P更合理的估計(jì)是在一定概率保證下，給出總體平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差及總體百分?jǐn)?shù)P的可能范圍，這種估計(jì)方法叫區(qū)間估計(jì)，所給出的可能范圍叫置信區(qū)間。第四十七頁(yè)，共九十八頁(yè)，2022年，8月28日

例如：要調(diào)查某市全體成人脈搏的平均數(shù)。

雖然不能知道某市全體成人脈搏均數(shù)的確切數(shù)值，但有95%的把握說(shuō)該市全體成人脈搏均數(shù)在73.9次/分--75.1次/分之間，有99%的把握說(shuō)該市全體成人脈搏均數(shù)在73.7次/分--75.3次/分之間。用樣本推斷總體平均數(shù)不能簡(jiǎn)單地以樣本平均數(shù)單一值做為結(jié)論。第四十八頁(yè)，共九十八頁(yè)，2022年，8月28日1、在σ已知時(shí)，μ的1－α置信區(qū)間可由下式導(dǎo)出。三、μ的置信區(qū)間μ的置信區(qū)間依σ已知和未知而不同。第四十九頁(yè)，共九十八頁(yè)，2022年，8月28日2、σ未知，用s代替，得出μ的1-α置信區(qū)間3、區(qū)間估計(jì)與假設(shè)檢驗(yàn)的關(guān)系假設(shè)檢驗(yàn)中，零假設(shè)的參數(shù)值若不包含在1－α置信區(qū)間內(nèi)，則在α水平拒絕H0。玉米噴藥試驗(yàn)(例4.5)的有關(guān)數(shù)據(jù)n=9,=308,s=9.62,α=0.05（查表得t0.05(雙)=2.306）代入上式,得出0.95置信區(qū)間為：300.6，315.4。這里不包括零假設(shè)的300，因而應(yīng)當(dāng)拒絕H0，與假設(shè)檢驗(yàn)的結(jié)果是一致的。第五十頁(yè)，共九十八頁(yè)，2022年，8月28日例4.5

已知某玉米種群的平均穗重μ0＝300g。噴藥后，隨機(jī)抽取9個(gè)果穗，其穗重為：308、305、311、298、315、300、321、294、320g。問(wèn)噴藥前后的果穗重差異是否顯著？解①σ未知②假設(shè)：H0：μ＝300HA：μ≠300

藥物濃度適合時(shí)可促進(jìn)生長(zhǎng)，濃度過(guò)高反而會(huì)抑制生長(zhǎng)，所以噴藥的效果未知，需采用雙側(cè)檢驗(yàn)。③顯著性水平：α＝0.05④σ未知應(yīng)使用t檢驗(yàn)，已計(jì)算出＝308，s＝9.62⑤H0的拒絕域：因HA：μ≠μ0，故為雙側(cè)檢驗(yàn)，當(dāng)|t|>t0.025時(shí)拒絕H0。t0.025=2.306。⑥結(jié)論：因|t|>t0.025,即P<0.05，所以拒絕零假設(shè)。噴藥前后果穗重的差異是顯著的。第五十一頁(yè)，共九十八頁(yè)，2022年，8月28日四、σ的置信區(qū)間根據(jù)可以建立σ的1－α置信區(qū)間第五十二頁(yè)，共九十八頁(yè)，2022年，8月28日將小麥提純?cè)囼?yàn)(例4.6)的有關(guān)數(shù)據(jù)s=4.92,n=10及上下側(cè)分位數(shù)（χ29，0.005=23.589，χ29，0.995=1.735）代入上式,得出σ的0.99置信區(qū)間為：3.04，11.21。

H0:σ=14不包含在置信區(qū)間內(nèi),應(yīng)拒絕H0。在做假設(shè)檢驗(yàn)時(shí)得出χ2=1.11,χ29，0.995=1.735,結(jié)論是拒絕H0。與區(qū)間估計(jì)的結(jié)論一致。第五十三頁(yè)，共九十八頁(yè)，2022年，8月28日例4.6

一個(gè)混雜的小麥品種,株高標(biāo)準(zhǔn)差σ0＝14cm,經(jīng)提純后隨機(jī)抽出10株,它們的株高為:90、105、101、95、100、100、101、105、93、97cm,考查提純后的群體是否比原群體整齊？

解①株高服從正態(tài)分布,μ未知,對(duì)未知總體的方差做檢驗(yàn)②假設(shè):H0：σ＝14cm0

HA：σ<σ0

小麥經(jīng)提純后株高只能變得更整齊，因而使用下側(cè)檢驗(yàn)。③顯著性水平:在α＝0.01水平上做檢驗(yàn)

④檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量:

⑤相應(yīng)于備擇假設(shè)HA:σ<σ0，H0的拒絕域?yàn)棣?<χ21－α，從附表6中可以查出χ20.99＝2.09⑥結(jié)論：因χ2<χ20.99，即P<0.01，所以拒絕H0。結(jié)論是植株經(jīng)提純后變得非常整齊。第五十四頁(yè)，共九十八頁(yè)，2022年，8月28日五、平均數(shù)差的置信區(qū)間

1σi已知由式導(dǎo)出μ1－μ2的1－α置信區(qū)間2σi未知但相等用類(lèi)似的方法可以得到μ1－μ2的1－α置信區(qū)間

例：第四章例4.9將小麥播種天數(shù)例子中的有關(guān)數(shù)據(jù)及臨界值代入上式，得出μ1－μ2的1－α置信區(qū)間為：－0.54，1.14。其中包括0（H0：μ1－μ2＝0），應(yīng)接受零假設(shè)。與假設(shè)檢驗(yàn)的結(jié)果一致。第五十五頁(yè)，共九十八頁(yè)，2022年，8月28日例4.9

兩個(gè)小麥品種從播種到抽穗所需天數(shù)如表，問(wèn)兩者所需的天數(shù)差異是否顯著？

解

I.方差齊性檢驗(yàn)：H0：σ1＝σ2

HA：σ1≠σ2

，α＝0.05

F9,9,0.025＝4.026，結(jié)論：F<F0.025,即P>0.05。方差具齊性。

II.平均數(shù)差異顯著性檢驗(yàn)

H0：μ1＝μ2

HA：μ1≠μ2

α＝0.05

當(dāng)|t|>tα/2時(shí)拒絕H0，從附表4中查出t18,

0.025=2.10。結(jié)論：t<t0.025，即P>0.05，接受H0。兩個(gè)小麥品種從播種到抽穗所需天數(shù)差異不顯著。第五十六頁(yè)，共九十八頁(yè)，2022年，8月28日3σi未知但不等可求出μ1－μ2的1－α的置信區(qū)間：例4.11將經(jīng)兩種處理方式的鼠血糖的數(shù)據(jù)帶入上式，得出μ1－μ2的1－α置信區(qū)間為：(-4.185，8.765)。因?yàn)檫@兩個(gè)界分別為正和負(fù)，即H0：μ1－μ2=0的假設(shè)包含在這兩個(gè)界內(nèi)，所以在α=0.05水平上接受零假設(shè)。與假設(shè)檢驗(yàn)的結(jié)果一致。第五十七頁(yè)，共九十八頁(yè)，2022年，8月28日例4.11

兩組類(lèi)似的大鼠，一組對(duì)照，另一組藥物處理，然后測(cè)定血糖。其中對(duì)照組樣本數(shù)為12，平均數(shù)109.17，樣本方差97.430。經(jīng)催產(chǎn)素處理組的樣本數(shù)為8，平均數(shù)為106.88，樣本方差為7.268。問(wèn)藥物對(duì)大鼠血糖含量的影響是否顯著？解：Ⅰ方差齊性檢驗(yàn)：

H0：σ1=σ2，HA：σ1≠σ2

；α=0.05F11，7=97.430/7.268=13.41，F(xiàn)11，7，0.025=4.714F>F0.025，結(jié)論是方差不具齊性，即σ1≠σ2

Ⅱ平均數(shù)之間差異顯著性檢驗(yàn)

H0：μ1=μ2，HA：μ1≠μ2

，α=0.05；計(jì)算出k=0.899→df=13.35，

用線性內(nèi)插法可以求出t13.35,0.05(雙側(cè)）=2.15,t<t0.05(雙側(cè)）。結(jié)論是催產(chǎn)素藥物對(duì)大鼠的影響是不顯著的。第五十八頁(yè)，共九十八頁(yè)，2022年，8月28日六、配對(duì)數(shù)據(jù)的置信區(qū)間:例：表4-3高粱蛋白質(zhì)分析實(shí)驗(yàn),將數(shù)據(jù)帶入,得0.95置信區(qū)間為:－0.452，0.710，其中包含0，所以應(yīng)接受H0：=0。七、方差比的置信區(qū)間

所以，σ1/σ21－α置信區(qū)間：

第五十九頁(yè)，共九十八頁(yè)，2022年，8月28日第六十頁(yè)，共九十八頁(yè)，2022年，8月28日一、t分布的計(jì)算實(shí)例TDIST粘貼函數(shù)：?jiǎn)挝不螂p尾概率TINV粘貼函數(shù)：臨界t值（二尾概率）4.4用到的EXCEL的統(tǒng)計(jì)功能第六十一頁(yè)，共九十八頁(yè)，2022年，8月28日用TDIST粘貼函數(shù)計(jì)算二尾概率本計(jì)算也可直接在編緝欄中輸入TDIST（2，60，2）例如現(xiàn)要計(jì)算自由度等于60，t值與平均數(shù)相差2以上的2尾概率X：為需要計(jì)算分布的數(shù)字。第六十二頁(yè)，共九十八頁(yè)，2022年，8月28日用TINV粘貼函數(shù)計(jì)算臨界值

請(qǐng)計(jì)算自由度為10且二尾概率為0.05時(shí)的臨界t值本計(jì)算也可直接在編緝欄中為T(mén)INV（0.05，10）第六十三頁(yè)，共九十八頁(yè)，2022年，8月28日CHIDIST粘貼函數(shù)：計(jì)算單尾概率CHIINV粘貼函數(shù)：計(jì)算臨界值CHIDIST函數(shù)積分公式為：

CHIINV函數(shù)積分公式為：

二、卡方分布第六十四頁(yè)，共九十八頁(yè)，2022年，8月28日用CHIDIST粘貼函數(shù)計(jì)算概率請(qǐng)計(jì)算自由度等于1及卡方值等于3.84時(shí)的右尾概率本計(jì)算在編緝欄中為CHIDIST（3.84，1）第六十五頁(yè)，共九十八頁(yè)，2022年，8月28日用CHIINV粘貼函數(shù)計(jì)算臨界值請(qǐng)計(jì)算自由度為10及右尾概率為0.01時(shí)的2臨界值本計(jì)算在編緝欄中為CHIINV（0.01，10）第六十六頁(yè)，共九十八頁(yè)，2022年，8月28日FDIST粘貼函數(shù)：計(jì)算單尾概率FINV粘貼函數(shù)：計(jì)算臨界值FDIST函數(shù)積分公式為：

FINV函數(shù)積分公式為：三、F分布第六十七頁(yè)，共九十八頁(yè)，2022年，8月28日用函數(shù)FDIST計(jì)算一尾概率請(qǐng)計(jì)算第一自由度等于2、第二自由度等于4及F值等于18時(shí)的右尾概率本計(jì)算在編緝欄中為FDIST（18，2，4）第六十八頁(yè)，共九十八頁(yè)，2022年，8月28日用函數(shù)FINV計(jì)算臨界F值請(qǐng)計(jì)算df1=3，df2=10及右尾概率為0.05時(shí)的臨界F值

本計(jì)算在編緝欄中為FINV（0.05，3，10）第六十九頁(yè)，共九十八頁(yè)，2022年，8月28日四、EXCEL電子表格的模擬運(yùn)算功能模擬運(yùn)算表是可以顯示公式中某些值的變化對(duì)計(jì)算結(jié)果的影響。模擬運(yùn)算表為同時(shí)求解某一運(yùn)算中所有可能的變化值的組合提供了捷徑，并且還可以將所有不同的計(jì)算結(jié)果同時(shí)顯示在工作表中，便于查找和比較。模擬運(yùn)算表有兩種類(lèi)型：?jiǎn)巫兞磕M運(yùn)算表雙變量模擬運(yùn)算表第七十頁(yè)，共九十八頁(yè)，2022年，8月28日例利用模擬運(yùn)算計(jì)算臨界t值表單變量模擬運(yùn)算表：第七十一頁(yè)，共九十八頁(yè)，2022年，8月28日單變量模擬計(jì)算結(jié)果第七十二頁(yè)，共九十八頁(yè)，2022年，8月28日例利用模擬運(yùn)算計(jì)算臨界F值表雙變量模擬運(yùn)算表第七十三頁(yè)，共九十八頁(yè)，2022年，8月28日雙變量模擬計(jì)算結(jié)果第七十四頁(yè)，共九十八頁(yè)，2022年，8月28日習(xí)題：小麥株高服從N（63.33，2.882），求下列概率（利用插入函數(shù)和模擬計(jì)算表）（1）株高小于60cm；（2）株高大于69cm；（3）株高在62—64cm之間；（4） 株高落在μ±1.96σ之間；（5） 株高在多少cm以上的占全體的95%？習(xí)題：小麥株高服從N（63.33，2.882），求下列概率（利用插入函數(shù)和模擬計(jì)算表）（1）株高小于60cm；0.123789511（2）株高大于69cm；0.024490833（3）株高在62—64cm之間；0.269868645（4） 株高落在μ±1.96σ之間；0.95000435（5） 株高在多少cm以上的占全體的95%？58.59282199第七十五頁(yè)，共九十八頁(yè)，2022年，8月28日5.6、利用Excel由樣本推斷總體利用Excel的幾個(gè)函數(shù)組合，如求平均函數(shù)AVERAGE、標(biāo)準(zhǔn)差函數(shù)STDEV、T分布函數(shù)TINV等組合的使用可以構(gòu)造出一個(gè)專(zhuān)門(mén)用于實(shí)現(xiàn)單樣本推斷總體的Excel工作表.一、推斷置信區(qū)間例如：第七十六頁(yè)，共九十八頁(yè)，2022年，8月28日第七十七頁(yè)，共九十八頁(yè)，2022年，8月28日1．構(gòu)造工作表。如上圖：首先在各個(gè)單元格輸入以下的內(nèi)容，其中左邊是變量名，右邊是相應(yīng)的計(jì)算公式。2.為表格右邊的公式計(jì)算結(jié)果定義左邊的變量名。選定A4:B6,A8:B8和A10:B15單元格(先選擇第一部分，再按住CTRL鍵選取另外兩個(gè)部分)，選擇“插入”菜單的“名稱”子菜單的“指定