第四章理想流體的動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)

第四章理想流體的動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)第一頁(yè)，共四十一頁(yè)，2022年，8月28日第一節(jié)理想流體運(yùn)動(dòng)微分方程在牛頓第二定律基礎(chǔ)上給出微分方程式。如圖：ozxyp-?p/?y·dy/2p+?p/?y·dy/2QA(x,y,z)第二頁(yè)，共四十一頁(yè)，2022年，8月28日在流體中取平行六面微元體，邊長(zhǎng)dx，dy，dz

。在某時(shí)刻t，中心A（x,y,z）處，壓強(qiáng)p（x,y,z,t），中心速度v分量vx，vy，vz

。因?yàn)槭抢硐肓黧w，無(wú)牛頓內(nèi)摩擦力存在，只有法向壓力。先看質(zhì)量力，F(xiàn)Q分力：第三頁(yè)，共四十一頁(yè)，2022年，8月28日再看表面力，按泰勒展開(kāi)，略去二階以上微小量，于是：在y軸方向表面力第四頁(yè)，共四十一頁(yè)，2022年，8月28日按第二定律，產(chǎn)生ay加速度，m=ρdxdydz同理得x，z方向即：第五頁(yè)，共四十一頁(yè)，2022年，8月28日（4-1）向量：

（4-２）第六頁(yè)，共四十一頁(yè)，2022年，8月28日(4-1)變形（4-３）向量：

（4-４）第七頁(yè)，共四十一頁(yè)，2022年，8月28日

這就是理想流體運(yùn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)微分方程——?dú)W拉方程。

（4-3）中未知量：

對(duì)靜止流體變?yōu)槠胶鈿W拉方程。fx

,fy

,fz已知，聯(lián)立連續(xù)方程第八頁(yè)，共四十一頁(yè)，2022年，8月28日對(duì)不可壓縮ρ=const，四個(gè)方程封閉可解。例：對(duì)可壓流體，加上連續(xù)方程，狀態(tài)方程ρ=f（p，T），封閉。雖然理論上可解，但是初始條件，邊界條件難以用數(shù)學(xué)表達(dá)給出，一般不可解。第九頁(yè)，共四十一頁(yè)，2022年，8月28日

第二節(jié)運(yùn)動(dòng)微分方程的葛羅米柯

——蘭姆形式第十頁(yè)，共四十一頁(yè)，2022年，8月28日代入（4-3），有：第十一頁(yè)，共四十一頁(yè)，2022年，8月28日向量：

（4-6）假定：（1）質(zhì)量力是有勢(shì)力，存在力函數(shù)U（x,y,z,t），有。(2）ρ=f(p)，p(x,y,z,t)，引入壓力函數(shù)微分（4-7）第十二頁(yè)，共四十一頁(yè)，2022年，8月28日dx,dy,dz

系數(shù)相同，于是：

對(duì)于ρ=const，展開(kāi)：

第十三頁(yè)，共四十一頁(yè)，2022年，8月28日對(duì)等溫下，可壓縮流體：

有對(duì)等熵變化

于是（4-5）式變?yōu)?/p>

第十四頁(yè)，共四十一頁(yè)，2022年，8月28日即為葛羅米柯——蘭姆形式。由此可見(jiàn)：運(yùn)動(dòng)有有旋、有勢(shì)之分。第十五頁(yè)，共四十一頁(yè)，2022年，8月28日第三節(jié)恒定有旋流動(dòng)沿流線的

伯努利方程先做如下假定：（１）理想流體恒定流動(dòng)；（２）質(zhì)量力有勢(shì)；（３）正壓流體，（４）沿流線積分。

由條件（1）；葛羅米柯形式含有（2），（3）兩個(gè)條件。

第十六頁(yè)，共四十一頁(yè)，2022年，8月28日于是變?yōu)?/p>

對(duì)恒定流動(dòng)，跡線與流線重合，沿流線積分即沿跡線積分。由于dl=vdt，dl分量為dx,dy,dz，dx=vxdt,dy=vydt，dz=vzdt.第十七頁(yè)，共四十一頁(yè)，2022年，8月28日將上式各式左邊分乘dx,dy,dz，右邊分乘vxdt，vydt，vzdt，相加，有第十八頁(yè)，共四十一頁(yè)，2022年，8月28日對(duì)不同流線，Cl不同，而在同一流線上，勢(shì)能，壓力能，動(dòng)能之和為常數(shù)。積分※我們是在有旋條件下得到，而在結(jié)果上卻與有旋，無(wú)旋無(wú)關(guān)，只要是理想，正壓，質(zhì)量力有勢(shì)，恒定沿流線即可。第十九頁(yè)，共四十一頁(yè)，2022年，8月28日

第四節(jié)恒定有勢(shì)流動(dòng)中的歐拉積分恒定流動(dòng)，有勢(shì)則：葛—蘭方程變成第二十頁(yè)，共四十一頁(yè)，2022年，8月28日

與x,y,z無(wú)關(guān)，也與t無(wú)關(guān)，分乘dx,dy,dz，相加，再積分：

此為歐拉積分。說(shuō)明：只要理想，正壓，流體在有勢(shì)質(zhì)量力作用下做恒定無(wú)旋運(yùn)動(dòng)，任一微團(tuán)的三項(xiàng)和為常數(shù)。與伯努利積分的不同在于歐拉積分沒(méi)有沿流線的限制。第二十一頁(yè)，共四十一頁(yè)，2022年，8月28日代入蘭姆方程：第五節(jié)非恒定有勢(shì)流動(dòng)的拉格朗日積分第二十二頁(yè)，共四十一頁(yè)，2022年，8月28日與x,y,z無(wú)關(guān)，為t的函數(shù)，對(duì)于有旋，只在同一流線上才成立。稱拉格朗日或柯西積分。對(duì)不可壓縮流體，若恒定流動(dòng)，則變?yōu)椋?/p>

轉(zhuǎn)化為歐拉積分。對(duì)于任一質(zhì)點(diǎn)都成立。顯然伯努利方程只適用于有旋。第二十三頁(yè)，共四十一頁(yè)，2022年，8月28日第六節(jié)重力作用下的伯努利方程對(duì)不可壓縮流體做恒定流動(dòng)，則均為：則U=-gz，只不過(guò)伯努利方程只對(duì)流線適用，有旋。而對(duì)歐拉（拉格朗日）積分，對(duì)整個(gè)流場(chǎng)適用。若質(zhì)量力只有重力，則fx=0，fy=0，fz=-g。第二十四頁(yè)，共四十一頁(yè)，2022年，8月28日

為理想不可壓縮流體在重力作用下（絕對(duì)運(yùn)動(dòng)）恒定流動(dòng)的伯努利方程?；蚍匠毯?jiǎn)單但重要，注意限制條件：（1）理想流體，恒定流動(dòng)；（2）不可壓縮；（3）只有重力作用；（4）有旋只適用同一流線，無(wú)旋對(duì)任一質(zhì)點(diǎn)均成立。第二十五頁(yè)，共四十一頁(yè)，2022年，8月28日第七節(jié)伯努利方程的意義每一項(xiàng)均表示單位重力液體具有的水頭。（1）z——研究點(diǎn)相對(duì)于基準(zhǔn)面的幾何高度，稱為位置水頭；（2）p/ρg——研究點(diǎn)壓強(qiáng)對(duì)應(yīng)的高度，表示與壓強(qiáng)相當(dāng)?shù)囊褐叨龋Q測(cè)壓管水頭；（3）v2/2g——速度對(duì)應(yīng)的高度，稱速度水頭。

1.幾何意義第二十六頁(yè)，共四十一頁(yè)，2022年，8月28日即：幾何高度，測(cè)壓管高度，測(cè)速管高度之和為常數(shù)。若無(wú)旋，三項(xiàng)之和為常數(shù)，若有旋，沿同一流線三項(xiàng)之和為常數(shù)。連接三項(xiàng)和的各點(diǎn)即為到某基準(zhǔn)面一定高度的水平線。在靜力學(xué)中，速度頭為0，z+p/ρg=C；z相同，測(cè)壓管水頭為水平線。在動(dòng)力學(xué)中，由于v2/2g存在，測(cè)壓管水頭不是水平線，隨速度頭變化而變化，該項(xiàng)也成為動(dòng)壓頭。第二十七頁(yè)，共四十一頁(yè)，2022年，8月28日2.能量意義每項(xiàng)表示單位重力流體具有的能量。z

——位置勢(shì)能；p/ρg——壓力勢(shì)能；v2/2g——?jiǎng)幽堋６鴝+p/ρg為總位能，即：三項(xiàng)和為位能與動(dòng)能之和，即總機(jī)械能為常數(shù)。若有旋：同一流線機(jī)械能相同，不同流線不同；對(duì)于無(wú)旋，各處均相同。第二十八頁(yè)，共四十一頁(yè)，2022年，8月28日從三項(xiàng)和為常數(shù)也可以看出，若其中一項(xiàng)變化，其余的也隨著變化，但總和不變，即三種能量可以相互轉(zhuǎn)化，這正是能量守恒原理在流體力學(xué)中的表現(xiàn)方式。第二十九頁(yè)，共四十一頁(yè)，2022年，8月28日第八節(jié)

相對(duì)運(yùn)動(dòng)中的伯努利方程

流體在流體機(jī)械（如：水泵，風(fēng)機(jī)，水輪機(jī)）中流動(dòng)時(shí)，不是絕對(duì)恒定運(yùn)動(dòng)，而是相對(duì)恒定。如圖：xyωr1r212Avuwor第三十頁(yè)，共四十一頁(yè)，2022年，8月28日

與絕對(duì)恒定相比有如下不同：（1）人觀察的是質(zhì)點(diǎn)相對(duì)速度，而非絕對(duì)速度

；（2）作用在流體上的質(zhì)量力；除重力外還有離心力。

葉輪以恒定ω轉(zhuǎn)動(dòng)，若將坐標(biāo)系xoy固定在葉輪上，隨葉輪轉(zhuǎn)動(dòng)，此時(shí)質(zhì)點(diǎn)相對(duì)葉輪做絕對(duì)運(yùn)動(dòng)，因?yàn)橄鄬?duì)于地面是不恒定的。取流線1-2，流體沿1-2流動(dòng)，流動(dòng)恒定，1-2為跡線。第三十一頁(yè)，共四十一頁(yè)，2022年，8月28日流線上A點(diǎn)，一方面隨葉輪以u(píng)=ωr做牽連運(yùn)動(dòng)，另一方面，又以速度w相對(duì)葉輪運(yùn)動(dòng)，故伯努利積分為：

v=w，單位質(zhì)量上離心力為ω2r，于是，fx=ω2x，fy=ω2y，fz=-g，dU=fxdx+fydy+fzdz=ω2xdx+ω2ydy+(-g)dz，U=ω2x2/2+ω2y2/2-gz+C=ω2r2/2-gz+C，伯努利積分變?yōu)椋旱谌?yè)，共四十一頁(yè)，2022年，8月28日對(duì)不可壓縮ρ=const,

又∵u=ωr,各項(xiàng)除以g，

對(duì)任意的1，2兩點(diǎn)有：第三十三頁(yè)，共四十一頁(yè)，2022年，8月28日上式稱理想流體微小流束相對(duì)恒定流動(dòng)的伯努利方程，與絕對(duì)運(yùn)動(dòng)相比，多了（u22-u12）/2g一項(xiàng)，這一項(xiàng)為單位質(zhì)量流體在離心力作用下做的功。當(dāng)r變化時(shí)，離心力做功，r不變，不做功。從r1到r2，離心力做功為：設(shè)：則：第三十四頁(yè)，共四十一頁(yè)，2022年，8月28日當(dāng)r2﹥r(jià)1時(shí)，流體沿離心力方向運(yùn)動(dòng)，做正功，稱水泵工況；此時(shí)，流體從中心進(jìn)入，從圓周方向切向流出。當(dāng)r2﹤r1時(shí)，流體沿離心力反方向運(yùn)動(dòng)，做負(fù)功，稱水輪機(jī)工況。此時(shí)，流體從圓周方向切向進(jìn)入，從中心流出。第三十五頁(yè)，共四十一頁(yè)，2022年，8月28日第九節(jié)

非恒定有旋運(yùn)動(dòng)中的

伯努利積分

∵非恒定

則葛——蘭方程為：假定：流體為正壓，第三十六頁(yè)，共四十一頁(yè)，2022年，8月28日設(shè)在t時(shí)刻，沿流線取dl微元段，則：同理：故：第三十七頁(yè)，共四十一頁(yè)，2022年，8月28日以三項(xiàng)分乘葛——蘭方程左、右端，再相加：對(duì)某瞬時(shí)（固定t），則：左為全微分，即：第三十八頁(yè)，共四十一頁(yè)，2022年，8月28日從1—2積分，若不可壓縮,只有重力，U=-gz，正壓流體P=p/ρ令：是由非恒定造成的，稱慣性能頭，為當(dāng)?shù)丶铀俣人哂械膽T性力對(duì)單位重量流體所做的功。

第三十九頁(yè)，共四十一頁(yè)，2022年，8月28日注意