第八章熱傳導

第八章熱傳導第一頁，共二十七頁，2022年，8月28日求解上式方程，并根據(jù)確定的邊界層條件即可求出溫度分布及導熱速率問題。直角坐標：如方形燃燒爐的爐壁。（8-1）柱坐標：如蒸汽管的管壁。（8-2）球坐標：核反應的壓力容器壁。（8-3）第二頁，共二十七頁，2022年，8月28日⑴平壁穩(wěn)態(tài)一維導熱單層平壁的一維導熱是最簡單的。方程是：

（8-1）邊界條件：積分后的分布函數(shù)為：（8-2）第三頁，共二十七頁，2022年，8月28日沿x方向通過平壁的導熱速率q為：得：（8-5）根據(jù)方程（8-5）即求出導熱速率。對于固體材料：k為t的線性函數(shù)。

（8-6）大多數(shù)金屬β為負值。絕緣材料的β為正值。第四頁，共二十七頁，2022年，8月28日⑵管壁的一維穩(wěn)態(tài)導熱：用柱坐標較方便：邊界條件：兩次積分的分布函數(shù)：（8-7）由該方程看出，通過管壁進行徑向穩(wěn)態(tài)導熱時，溫度分布是半徑r的對數(shù)函數(shù)。第五頁，共二十七頁，2022年，8月28日導熱速率：qr為徑向距離r處的導熱速率，Ar是該處的導熱面積。導熱系數(shù)k可用t1

和t2的算術平均溫度下的km值代替。

第六頁，共二十七頁，2022年，8月28日

⑶二維穩(wěn)態(tài)導熱的數(shù)值解二維或三維導熱問題，工程上多采用數(shù)值計算法求解，下面以無內(nèi)熱源的二維穩(wěn)態(tài)為例說明之。

a.

體內(nèi)部的結(jié)點溫度方程在直角坐標系內(nèi)，二維穩(wěn)態(tài)導熱能量方程為：

數(shù)值解法的基礎是將上述連續(xù)變化的偏微分方程用梯級變化的差分方程近似表達。從而求出溫度分布。第七頁，共二十七頁，2022年，8月28日將二維面分成若干個組成的子方格。分割線的交點即為結(jié)點。

的長度視精確度的要求選取，設其有n個結(jié)點。在溫度場內(nèi)任取一結(jié)點I其溫度為，考察與其周邊的四個點有何關系。2314第八頁，共二十七頁，2022年，8月28日在二維溫度場中，在i點附近沿x方向展開f(x,y)呈Taylor級數(shù)的形式為：兩式相加得：第九頁，共二十七頁，2022年，8月28日將上兩式相加并忽略項，得：同理得：令第十頁，共二十七頁，2022年，8月28日由于：所以可得：該式稱為物體內(nèi)部的結(jié)點溫度方程。即在無內(nèi)源的二維穩(wěn)態(tài)溫度場中，其內(nèi)部任一結(jié)點的溫度都可用其附近的四個結(jié)點溫度的算術平均值表示。第十一頁，共二十七頁，2022年，8月28日b.

物體邊界上的結(jié)點溫度方程結(jié)點位于邊界上，其溫度就不能用上式表達了，可分五種情況加以討論。

①對于恒溫邊界，其溫度已知，問題簡單。②對于絕熱邊界，導出：第十二頁，共二十七頁，2022年，8月28日1i1231132i32i14③對于一般的對流邊界：第十三頁，共二十七頁，2022年，8月28日④對于對流邊界上的外角：⑤

對于對流邊界上的內(nèi)角c.

二維穩(wěn)態(tài)溫度場的結(jié)點溫度方程組

第十四頁，共二十七頁，2022年，8月28日式中的利用計算機即可求解該方程組，獲得n個結(jié)點的溫度值。根據(jù)上述推導，就可確定每一個結(jié)點與其它相鄰結(jié)點的方程，共可獲得幾個方程得出如下方程組：

第十五頁，共二十七頁，2022年，8月28日第二節(jié)

一維不穩(wěn)態(tài)導熱的分析解對于一維無內(nèi)熱源的導熱，能量方程可簡化為：直角坐標系：柱坐標系：球坐標系：為了求解方便，常假設α值不隨溫度和位置而變化，而是一常數(shù)。第十六頁，共二十七頁，2022年，8月28日于是上述方程就為一常系數(shù)線性偏微分方程，在特定初始條件和邊界條件，可獲得唯一解。

①初始條件，即θ＝0時，物體內(nèi)部的溫度分布情況，最簡單的初始條件是：第十七頁，共二十七頁，2022年，8月28日②邊界條件：指物體兩端點處的溫度隨時間變化的情況分為三類：a.b.c.第十八頁，共二十七頁，2022年，8月28日半無限固體的不穩(wěn)態(tài)導熱：

如圖：為一半無限固體，左端位于yoz平面上，右端面為無限。它可以是無限厚的平板或無限廠的圓柱體等。ztyxo第十九頁，共二十七頁，2022年，8月28日

設導熱開始時物體的初始溫度為t0。然后突然將左端面溫度變?yōu)閠s，而且在過程中維持不變。除兩端面以外，其余表面均絕熱。由于右端在無限遠處，其溫度在導熱過程中維持其初始溫度t0不變。這類傳熱可作為一維不穩(wěn)態(tài)處理能量方程為：第二十頁，共二十七頁，2022年，8月28日

根據(jù)所給的初始條件和邊界條件，上述偏微分方程可采用Laplace變換法求解，也可采用變量置換，將其化為常微分方程求解。（過程略）最后結(jié)果為：第二十一頁，共二十七頁，2022年，8月28日

實際上某處距離x處，經(jīng)歷某一足夠長時間后，該處的溫度便開始以漸近線的形式趨近于ts。

θt0

θts

ts

某處x冷卻過程中t~θ曲線加熱過程中t~θ曲線第二十二頁，共二十七頁，2022年，8月28日有了溫度分布方程，就可以求經(jīng)左端面流入物體或自物體流出的熱流速率。在0～θ時間間隔內(nèi)，總熱量通量為：第二十三頁，共二十七頁，2022年，8月28日

實際例子：

（1）地面氣溫突然變化時土壤溫度隨之變化。

（2）大建筑物表面溫度變化時，內(nèi)部溫度隨之變化

（3）大塊鋼錠的熱處理等。第二十四頁，共二十七頁，2022年，8月28日大平板的不穩(wěn)態(tài)導熱

具有兩個平行端面的大物體內(nèi)的導熱問題，可作為一維導熱處理。平板兩個端面維持恒溫的不穩(wěn)態(tài)導熱。l2l0x設兩板間距為2l，