第二章麥克斯韋方程

第二章麥克斯韋方程第一頁，共六十八頁，2022年，8月28日麥克斯韋方程組是揭示了時(shí)變電磁場基本性質(zhì)的基本方程組；時(shí)變電磁場中，電場和磁場相互激勵，形成統(tǒng)一不可分的整體。全電流定律

電磁感應(yīng)定律

磁場的散度定律（磁通連續(xù)性原理、不存在磁單極子）電場的散度定律（電場的通量定理）2.1麥克斯韋方程組麥克斯韋方程組H：磁場強(qiáng)度，B：磁感應(yīng)強(qiáng)度；E：電場強(qiáng)度；D：電位移矢量第二頁，共六十八頁，2022年，8月28日第一項(xiàng)全電流安培定律物理意義：表示磁場的“漩渦源”是由傳導(dǎo)電流和位移電流；什么是傳導(dǎo)電流？由電荷的定向運(yùn)動形成的電流什么是位移電流？電場隨時(shí)間變化形成的“電流”Maxwell對位移電流的認(rèn)識Maxwell認(rèn)為：電流由兩個(gè)部分組成，一部分為傳導(dǎo)電流，另一部分他稱之為位移電流，即總電流密度：第三頁，共六十八頁，2022年，8月28日第二項(xiàng)推廣的法拉第電磁感應(yīng)定律Faraday電磁感應(yīng)定律Faraday從1820年開始探索磁場產(chǎn)生電場的可能性，1831年實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，當(dāng)穿過閉合線圈的磁通量發(fā)生變化時(shí)，閉合導(dǎo)線中有感應(yīng)電流產(chǎn)生，感應(yīng)電流方向總是以激發(fā)磁通量對抗原磁通量的改變第四頁，共六十八頁，2022年，8月28日

進(jìn)一步的實(shí)驗(yàn)還證明:只要閉合曲線內(nèi)磁通量發(fā)生變化，感應(yīng)的電場不僅存在于導(dǎo)體回路上，同樣存在于非導(dǎo)體回路上，并滿足：曲面磁通量改變率回路的電動勢第五頁，共六十八頁，2022年，8月28日Faraday電磁感應(yīng)實(shí)驗(yàn)定律表明：變化的磁場可以產(chǎn)生感應(yīng)電場，該電場與靜電場都對電荷有力的作用，所不同的是感應(yīng)電場沿閉合回路的積分不為零，具有渦旋場的性質(zhì)，變化的磁場是其旋渦源。（變化）磁場電場第六頁，共六十八頁，2022年，8月28日第三項(xiàng)和第四項(xiàng)第三項(xiàng)指的是不存在獨(dú)立的磁荷（磁單極子），磁力線是閉合的（即連續(xù)）第四項(xiàng)指的是存在獨(dú)立的電荷，無旋電場的電力線是起于正電荷，止于負(fù)電荷電流連續(xù)性原理：旋度的散度恒為零第七頁，共六十八頁，2022年，8月28日無源麥克斯韋方程組思考：麥克斯韋方程的物理意義是什么呢？第八頁，共六十八頁，2022年，8月28日麥克斯韋方程組揭示的物理涵義時(shí)變電場的激發(fā)源除電荷以外，還有變化的磁場；時(shí)變磁場的激發(fā)源除傳導(dǎo)電流以外，還有變化的電場；

電場和磁場互為激發(fā)源，相互激發(fā)；

電場和磁場不再相互獨(dú)立，而是相互關(guān)聯(lián)，構(gòu)成一個(gè)整體——電磁場，電場和磁場分別為電磁場的兩個(gè)物理量；

麥克斯韋方程預(yù)言了電磁波的存在，且已被事實(shí)所證明。（他的這一預(yù)言在Maxwell去世后（1879年）不到10年的時(shí)間內(nèi)，由德國科學(xué)家Hertz通過實(shí)驗(yàn)證實(shí)。）說明：靜態(tài)場只是時(shí)變場的一種特殊情況。第九頁，共六十八頁，2022年，8月28日±???

⊕?⊕電磁波產(chǎn)生電路示意圖第十頁，共六十八頁，2022年，8月28日第十一頁，共六十八頁，2022年，8月28日2.2本構(gòu)關(guān)系什么是本構(gòu)關(guān)系？媒質(zhì)電磁特性相聯(lián)系的常量之間或源與場量之間的關(guān)系，又稱本構(gòu)方程。包括媒質(zhì)分子極化、磁化和電子傳導(dǎo)機(jī)理；本構(gòu)關(guān)系是對各種媒質(zhì)的一種描述，包括電介質(zhì)、磁介質(zhì)和導(dǎo)電媒質(zhì)；實(shí)驗(yàn)表明，各向同性的媒質(zhì)中，本構(gòu)關(guān)系可以描述為：參考關(guān)于介質(zhì)極化和磁化的分析第十二頁，共六十八頁，2022年，8月28日麥克斯韋方程組的限定形式在媒質(zhì)中，場量之間必須滿足媒質(zhì)的本構(gòu)關(guān)系。在線性、各向同性媒質(zhì)中：

將本構(gòu)關(guān)系代入麥克斯韋方程組，則得麥克斯韋方程組限定形式

注：麥克斯韋方程組限定形式與媒質(zhì)特性相關(guān)。第十三頁，共六十八頁，2022年，8月28日§2.3電磁場的邊界條件思考：邊界上的電磁場問題實(shí)際電磁場問題都是在一定的空間和時(shí)間范圍內(nèi)發(fā)生的，它有起始狀態(tài)（靜態(tài)電磁場例外）和邊界狀態(tài)。即使是無界空間中的電磁場問題，該無界空間也可能是由多種不同介質(zhì)組成的，不同介質(zhì)的交界面和無窮遠(yuǎn)界面上電磁場構(gòu)成了邊界條件。第十四頁，共六十八頁，2022年，8月28日所謂邊界條件，即電磁場在不同介質(zhì)的邊界面上服從的條件，也可以理解為界面兩側(cè)相鄰點(diǎn)在無限趨近時(shí)所要滿足的約束條件。邊界條件是完整的表示需要導(dǎo)出界面兩側(cè)相鄰點(diǎn)電磁場矢量所滿足的約束關(guān)系。第十五頁，共六十八頁，2022年，8月28日由于在分界面兩側(cè)介質(zhì)的特性參數(shù)發(fā)生突變，場在界面兩側(cè)也發(fā)生突變。所以Maxwell方程組的微分形式在分界面兩側(cè)失去意義（因?yàn)槲⒎址匠桃髨隽窟B續(xù)可微）。而積分方程則不要求電磁場量連續(xù)，從積分形式的麥克斯韋方程組出發(fā)，導(dǎo)出電磁場的邊界條件。第十六頁，共六十八頁，2022年，8月28日本節(jié)內(nèi)容2.3.1不同介質(zhì)分界面上的邊界條件H的切向分量的邊界條件E的切向分量的邊界條件D的法向分量的邊界條件B的法向分量的邊界條件2.3.2理想導(dǎo)體表面的邊界條件第十七頁，共六十八頁，2022年，8月28日H的切向分量的邊界條件在介質(zhì)分界面兩側(cè)，選取如圖所示的積環(huán)路，并且寬度趨于0；電流垂直紙面向里。利用全電流的安培環(huán)路定理可以得到：第十八頁，共六十八頁，2022年，8月28日E的切向分量的邊界條件在介質(zhì)分界面兩側(cè)，選取如圖所示的積環(huán)路，并且寬度趨于0；利用推廣的法拉第電磁感應(yīng)定律可以得到：第十九頁，共六十八頁，2022年，8月28日D的法向邊界條件把積分Maxwell方程組應(yīng)用到圖所表示的兩媒質(zhì)交界面的扁平圓盤。讓h→0，得到：第二十頁，共六十八頁，2022年，8月28日B的法向邊界條件把積分Maxwell方程組應(yīng)用到圖所表示的兩媒質(zhì)交界面的扁平圓盤。h→0，得到：第二十一頁，共六十八頁，2022年，8月28日介質(zhì)邊界條件一般表達(dá)式:第二十二頁，共六十八頁，2022年，8月28日2.3.2理想導(dǎo)體表面的邊界條件什么是理想導(dǎo)體？電導(dǎo)率無窮大的導(dǎo)體稱為理想導(dǎo)體。通常電導(dǎo)率很大的導(dǎo)體都認(rèn)為是理想導(dǎo)體，如金、銀、銅等常見金屬。理想導(dǎo)體的特點(diǎn)：電力線不能進(jìn)入理想導(dǎo)體內(nèi)部，故其內(nèi)部不存在電場；由于理想導(dǎo)體內(nèi)部不存在電場，所以也就不存在時(shí)變磁場；第二十三頁，共六十八頁，2022年，8月28日一側(cè)為導(dǎo)的邊界條件表達(dá)式結(jié)論：電力線垂直于金屬表面，磁力線平行于金屬表面第二十四頁，共六十八頁，2022年，8月28日2.4復(fù)數(shù)形式的麥克斯韋方程2.4.1正弦電磁場的復(fù)數(shù)表示法2.4.2復(fù)數(shù)形式的Maxwell方程2.4.3復(fù)數(shù)形式和瞬時(shí)值形式的轉(zhuǎn)換第二十五頁，共六十八頁，2022年，8月28日2.4.1正弦電磁場的復(fù)數(shù)表示法電路中正弦量有三要素：振幅、頻率和相位。正弦電磁場也有三要素：振幅,頻率和相位。第二十六頁，共六十八頁，2022年，8月28日復(fù)數(shù)表示電磁場隨時(shí)間作正弦變化時(shí)，電場強(qiáng)度的三個(gè)分量可用余弦函數(shù)表示用復(fù)數(shù)的實(shí)部表示式中:稱為時(shí)諧電場的復(fù)振幅第二十七頁，共六十八頁，2022年，8月28日故式中稱為時(shí)諧電場的復(fù)矢量時(shí)諧場對時(shí)間的導(dǎo)數(shù)二、復(fù)數(shù)形式的麥?zhǔn)戏匠逃甥準(zhǔn)系谝环匠淘O(shè)為時(shí)諧場第二十八頁，共六十八頁，2022年，8月28日將對空間坐標(biāo)的微分運(yùn)算和取實(shí)部運(yùn)算順序交換約定不寫出時(shí)間因子，去掉場量的下標(biāo)和點(diǎn)，即得麥?zhǔn)戏匠痰膹?fù)數(shù)形式同理其他三個(gè)麥?zhǔn)戏匠?/p>

用復(fù)數(shù)形式研究時(shí)諧場稱為頻域問題。

復(fù)數(shù)公式與瞬時(shí)值公式有明顯的區(qū)別，復(fù)數(shù)表示不再加點(diǎn)。第二十九頁，共六十八頁，2022年，8月28日1.復(fù)數(shù)式只是數(shù)學(xué)表達(dá)式，不代表真實(shí)的場，沒有明確物理意義,

2.實(shí)數(shù)形式代表真實(shí)場，具有明確物理意義；3.在某些應(yīng)用條件下，如能量密度、能流密度等含有場量的平方關(guān)系的物理量采用復(fù)數(shù)形式可以使大多數(shù)正弦電磁場問題得以簡化；（稱為二次式），只能用場量的瞬時(shí)形式表示。說明:第三十頁，共六十八頁，2022年，8月28日2.4.2復(fù)數(shù)形式的Maxwell方程第三十一頁，共六十八頁，2022年，8月28日2.4.3復(fù)數(shù)形式和瞬時(shí)值形式的轉(zhuǎn)換若復(fù)數(shù)形式為：則瞬時(shí)值形式為：第三十二頁，共六十八頁，2022年，8月28日2.5坡印廷定理及坡印廷矢量2.5.1坡印廷定理坡印廷定理坡印廷矢量2.5.2正弦電磁場的坡印廷定理和坡印廷矢量電磁能量符合自然界物質(zhì)運(yùn)動過程中能量守恒和轉(zhuǎn)化定律——坡印廷定理坡印廷矢量是描述電磁場能量流動的物理量。坡印廷定理(Poyntingtheorem)關(guān)于電磁場中能量流動的一個(gè)定理。1884年由J.H.坡印廷提出。他認(rèn)為電磁場中的電場強(qiáng)度E與磁場強(qiáng)度H叉乘所得的矢量,即E×H，代表場中能流密度，即在單位時(shí)間內(nèi)穿過垂直于此矢量方向的單位表面的能量。第三十三頁，共六十八頁，2022年，8月28日坡印廷定理在時(shí)變場中，能量密度為體積V內(nèi)儲存的能量為（1）（2）電場能量密度磁場能量密度第三十四頁，共六十八頁，2022年，8月28日代入式(3)得式(2)對t

求導(dǎo)，則有矢量恒等式（3）MaxWell方程單位體積內(nèi)的焦耳熱損耗第三十五頁，共六十八頁，2022年，8月28日

物理意義：穿入閉合面的電磁功率等于閉合面內(nèi)電場能量和磁場能量隨時(shí)間的變化率加上封閉面內(nèi)的總損耗功率。坡印廷定理第三十六頁，共六十八頁，2022年，8月28日坡印廷矢量

表示單位時(shí)間內(nèi)流過與電磁波傳播方向相垂直單位面積上的電磁能量，亦稱為功率流密度，S的方向代表波傳播的方向，也是電磁能量流動的方向。W/m2定義坡印廷矢量電磁波的傳播第三十七頁，共六十八頁，2022年，8月28日2.5.2正弦電磁場的坡印廷定理和坡印廷矢量由前一小節(jié)定義的坡印廷矢量——坡印廷矢量的瞬時(shí)值對正弦電磁場，需討論該量在一個(gè)周期內(nèi)的平均值——平均坡印廷矢量正弦變化矢量式中為相應(yīng)的復(fù)矢量虛部實(shí)部于是第三十八頁，共六十八頁，2022年，8月28日故其平均值平均坡印廷矢量

與時(shí)間無關(guān)。第三十九頁，共六十八頁，2022年，8月28日主要內(nèi)容Maxwell方程組、宏觀電磁場的邊界條件及坡印廷定理第二章麥克斯韋方程麥克斯韋方程組本構(gòu)關(guān)系電磁場的邊界條件復(fù)數(shù)形式的麥克斯韋方程坡印廷定理及坡印廷矢量第四十頁，共六十八頁，2022年，8月28日補(bǔ)充

介質(zhì)極化、磁化和傳導(dǎo)電流分析介質(zhì)的基本概念介質(zhì)是物質(zhì)的一種統(tǒng)稱，由原子或原子團(tuán)、分子或分子團(tuán)組成。介質(zhì)內(nèi)部大量帶電粒子的不規(guī)則的運(yùn)動，在微觀尺度上產(chǎn)生隨機(jī)變化的電磁場，宏觀上相互抵消，沒有外部影響和作用的介質(zhì)呈中性。第四十一頁，共六十八頁，2022年，8月28日當(dāng)介質(zhì)在外部宏觀電磁場作用之下，介質(zhì)中帶電粒子產(chǎn)生宏觀的規(guī)則運(yùn)動或排列，形成宏觀上的電荷堆集或定向運(yùn)動，主要表現(xiàn)出三種形態(tài)：①介質(zhì)的極化(Polarization)介質(zhì)中分子和原子的正負(fù)電荷在外加電場力的作用下發(fā)生小的位移，形成定向排列的電偶極矩；或原子、分子固有電偶極矩不規(guī)則的分布，在外場作用下形成規(guī)則排列第四十二頁，共六十八頁，2022年，8月28日沒有外加電場有外加電場第四十三頁，共六十八頁，2022年，8月28日②介質(zhì)的磁化(Magnetization)介質(zhì)中分子或原子內(nèi)的電子運(yùn)動形成分子電流，微觀上形成不規(guī)則分布的磁偶極矩。在外磁場力作用下，磁偶極矩定向排列，形成宏觀上的磁偶極矩H第四十四頁，共六十八頁，2022年，8月28日③傳導(dǎo)電流(Conductioncurrent)介質(zhì)中可自由移動的帶電粒子，在外場力作用下，導(dǎo)致帶電粒子的定向運(yùn)動，形成電流第四十五頁，共六十八頁，2022年，8月28日3.極化強(qiáng)度概念極化強(qiáng)度矢量P，定義為單位體積中分子或原子團(tuán)的電偶極矩的疊加第四十六頁，共六十八頁，2022年，8月28日極化強(qiáng)度的特點(diǎn)：①極化強(qiáng)度P是外加電場強(qiáng)度的函數(shù)②極化強(qiáng)度P可以是空間的函數(shù)③極化強(qiáng)度P還可能是時(shí)間的函數(shù)一般情況下，P是電磁場強(qiáng)度、時(shí)間和空間的復(fù)雜函數(shù)。對于線性均勻介質(zhì)，P僅與外加電場強(qiáng)度成正比。第四十七頁，共六十八頁，2022年，8月28日極化使得分子或原子的正負(fù)電荷發(fā)生位移，體積元內(nèi)一部分電荷因極化而遷移到外部，同時(shí)外部也有電荷遷移到體積元內(nèi)部。因此體積元內(nèi)部有可能出現(xiàn)凈余的電荷，稱為束縛電荷。2.束縛電荷第四十八頁，共六十八頁，2022年，8月28日（2）不均勻介質(zhì)或由多種不同結(jié)構(gòu)物質(zhì)混合而成的介質(zhì)，可出現(xiàn)極化電荷。（1）線性均勻介質(zhì)中，極化遷出的電荷與遷入的電荷相等，不出現(xiàn)極化電荷分布。第四十九頁，共六十八頁，2022年，8月28日（3）在兩種不同均勻介質(zhì)交界面上的一個(gè)很薄的層內(nèi)，由于兩種物質(zhì)的極化強(qiáng)度不同，存在極化面電荷分布。第五十頁，共六十八頁，2022年，8月28日束縛體電荷密度為：第五十一頁，共六十八頁，2022年，8月28日束縛面電荷密度為：第五十二頁，共六十八頁，2022年，8月28日

當(dāng)外加電磁場隨時(shí)間變化，極化強(qiáng)度矢量P和束縛電荷也隨時(shí)間變化，并在一定的范圍內(nèi)發(fā)生運(yùn)動（其物理實(shí)質(zhì)是正負(fù)電荷位移的距離量隨時(shí)間變化），從而形成極化電流，它們同樣滿足電荷守恒定律。應(yīng)用電荷守恒定律，得到極化電流的表達(dá)式為：

4.極化電流問題：極化電流與傳導(dǎo)電流的異同點(diǎn)？第五十三頁，共六十八頁，2022年，8月28日介質(zhì)的極化過程包括外加電場的作用使介質(zhì)極化，產(chǎn)生束縛電荷；極化電荷反過來激發(fā)電場，兩者相互制約，達(dá)到平衡。介質(zhì)中的電場既有外加電場的貢獻(xiàn)，同時(shí)也有束縛電荷產(chǎn)生的附加電場。5.介質(zhì)中的電場、電位移矢量第五十四頁，共六十八頁，2022年，8月28日第五十五頁，共六十八頁，2022年，8月28日介質(zhì)中的電場的最終求解必須知道電場E和電位移矢量D之間的關(guān)系（物質(zhì)本構(gòu)關(guān)系）。這種關(guān)系有兩種途徑可以獲得：1)直接測量出P和E之間的關(guān)系2)用理論方法計(jì)算P和E之間的關(guān)系第五十六頁，共六十八頁，2022年，8月28日對于線性均勻各向同性介質(zhì)，極化強(qiáng)度P和電場強(qiáng)度E有簡單的線性關(guān)系：第五十七頁，共六十八頁，2022年，8月28日為了描述介質(zhì)在外加磁場作用下磁化程度，引入磁化強(qiáng)度M，定義為單位體積中的磁偶極矩的矢量和：6.磁化強(qiáng)度與磁化電流密度第五十八頁，共六十八頁，2022年，8月28日與外加磁感應(yīng)強(qiáng)度矢量B

垂直的橫截面上，存在數(shù)量巨大的分子電流環(huán)。對于均勻物質(zhì)，分子電流大小相等，在相鄰電流環(huán)的交界線上因電流的方向相反，大小相等，不出現(xiàn)剩余的電流。第五十九頁，共六十八頁，2022年，8月28日對于非均勻物質(zhì)，在相鄰環(huán)的交界線上盡管電流的方向相反，但大小不等，將出現(xiàn)剩余的電流，這種因磁化出現(xiàn)的電流為磁化電流。第六十頁，共六十八頁，2022年，8月28日在兩介質(zhì)交界面的薄的層內(nèi)，存在面磁化電流分布介質(zhì)2介質(zhì)2介質(zhì)1第六十一頁，共六十八頁，2022年，8月28日7.介質(zhì)中的Biot-Savart定律、磁場強(qiáng)度磁化和極化電流同樣也激發(fā)磁感應(yīng)強(qiáng)度，介質(zhì)中的磁感應(yīng)強(qiáng)度應(yīng)是所有電流源激勵的結(jié)果：第六十二頁，共六十八頁，2