第六章拉壓與剪切

第六章拉壓與剪切第一頁，共五十七頁，2022年，8月28日6.1工程中軸向拉伸與壓縮問題在工程實際中，許多構件承受拉力和壓力的作用。如圖6.1所示的起重機吊架中，如果忽略各構件的自重，則AB，BC兩桿均為二力桿；BC桿在通過軸線的拉力作用下沿桿軸線發(fā)生拉伸變形；而AB桿則在通過軸線的壓力作用下沿桿軸線發(fā)生壓縮變形。這類桿件的受力特點是：桿件承受外力的作用線與桿件軸線重合；變形特點是：桿件沿軸線方向伸長或縮短。這種變形形式稱為軸向拉伸或壓縮，簡稱拉伸或壓縮。這類桿件稱為拉桿或壓桿。工程中這類桿件很多，例如內燃機中的連桿在燃氣爆發(fā)沖程中受壓（圖6—2），桁架中的拉桿和壓桿（圖6—3）等均屬此類。它們都可以簡化成圖6—4所示的計算簡圖，圖中的虛線是表示桿件變形后的形狀。下一頁返回第二頁，共五十七頁，2022年，8月28日6.1工程中軸向拉伸與壓縮問題一、截面法求軸力為求得拉（壓）桿橫截面上的內力，我們使用截面法。如圖6.5a沿橫截面m-m假想地把桿件分成兩部分，可見桿件左右兩段在橫截面m-m上相互作用的內力是一個分布力系(圖6.5b、6.5c)，由于拉（壓）桿所受的外力都是沿桿軸線的，考慮左右部分的平衡可知，此分布內力系的合力也一定沿桿的軸線方向，因此我們把拉（壓）桿的內力稱為軸力，用FN表示。由左段的平衡方程∑Fx

=0，可得

FN－P=0

FN=P下一頁上一頁返回第三頁，共五十七頁，2022年，8月28日6.1工程中軸向拉伸與壓縮問題二、軸力圖求出軸內任意一個截面上的軸力以后，就可以用圖線來表示軸力與截面位置之間的關系，這個圖線稱為軸力圖。圖6.5d就是軸6.5a的軸力圖。從圖中可以看出，在兩個集中力作用之間的截面上，軸力是一個常量。上一頁返回第四頁，共五十七頁，2022年，8月28日6.2軸向拉壓時的應力一、橫截面上的應力在用截面法確定拉（壓）桿的內力以后，還不能判斷桿件的強度是否足夠。例如兩根材料相同的拉桿，一根較粗，一根較細，在相同的挽拉力作用下．它們的內力是相向的，但當拉力逐漸增大時．較細的桿先被折斷。這說明桿的強度不僅與內力有關，還與截面的面積有關。所以應以單位面積上的內力-，即應力來衡量桿的強度。為了研究截面上應力的分布規(guī)律，可以通過實驗。觀察桿的變形情況。在圖6.6a所示的桿上，預先刻劃出兩條橫向直線ab和cd（圖中虛線），當桿受到拉力P作用時，可以看到直線ab和cd分別平移到了實線a1b1和c1d1處。根據(jù)以上現(xiàn)象可設想，假想桿由許多縱向纖維所組成，那么每根縱向纖維都受到了相等的拉伸。由此可推出：桿受拉伸時的內力，在橫截面上是均勻分布的，其作用線與橫截面垂直(圖6.6b)。下一頁返回第五頁，共五十七頁，2022年，8月28日6.2軸向拉壓時的應力所以，桿件拉伸時橫截面上的應力為正應力，其大小式中的A為桿件橫截面的面積。上式是根據(jù)桿件受拉伸時推得的，它在桿件受壓縮時也同樣適用。應力的符號由內力確定，σ＞0為拉應力，σ＜0則為壓應力。若FN沿軸線變化，或截面的面積也沿軸線變化時，式5-1也可寫成下一頁上一頁返回第六頁，共五十七頁，2022年，8月28日6.2軸向拉壓時的應力二、斜截面上的應力設直桿的軸向拉力為P（圖6.7a），橫截面面積為A，由公式（6-1），橫截面上的正應力σ為設與橫截面成α角的斜截面k-k的面積為Aα，Aα與A之間的關系為如圖6.7a，沿k-k假想地將桿分成兩部分，取左半部分（圖6.7b），用前面證明橫截面上正應力均勻分布的方法，同樣可以證明斜截面上的應力也是均勻分布的。若用pα表示斜截面k-k上的應力，有下一頁上一頁返回第七頁，共五十七頁，2022年，8月28日6.2軸向拉壓時的應力將pα分解成垂直于斜截面的正應力σα和平行于斜截面的切應力τα，有下一頁上一頁返回第八頁，共五十七頁，2022年，8月28日6.2軸向拉壓時的應力從公式6-3、6-4可以看出，斜截面上的應力將隨α的改變而變化。當α=0時，τα等于零，而σα達到最大值，且當α=45°時，τα到最大值，下一頁上一頁返回第九頁，共五十七頁，2022年，8月28日6.2軸向拉壓時的應力可見桿件在軸向拉伸或壓縮時，橫截面上的正應力最大，切應力為零；而在與橫截面夾45°角的斜截面上切應力最大，最大切應力的數(shù)值與該截面上的正應力數(shù)值相等，均為最大正應力的一半。還有，當α=90°時，σα=τα=0，這表明桿件在與軸線平行的縱向截面上無任何應力。三、圣維南原理

工程實際中，軸向拉伸或壓縮的桿件橫截面上的外力可以有不同的作用方式?？梢允且粋€沿軸線的集中力，也可以是合力的作用線沿軸線的幾個集中力或分布力系。實驗表明，當用靜力等效的外力相互取代時，如用集中力取代靜力等效的分布力系，除在外力作用區(qū)域內有明顯差別外，在距外力作用區(qū)域略遠處，上述替代所造成的影響就非常微小，可以忽略不計。這就是圣維南原理。上一頁返回第十頁，共五十七頁，2022年，8月28日6.3材料拉壓時的力學性能一、拉伸壓縮試驗

前面我們討論了桿件軸向拉伸或壓縮時的應力，但是要計算工程構件的強度，還須確定構件在一定的材料和截面尺寸前提下，所能承受的最大載荷，這就需要了解材料的力學性能。材料的力學性能也稱為機械性能，是指材料在外力作用下表現(xiàn)出的變形、破壞等方面的性能，它是材料固有的持性，可通過試驗來測定。材料的力學性能與很多因素有關，如溫度、加在試樣上載荷變化的速率、熱處理工藝等。本節(jié)只研究材料在常溫(室溫)、靜載(載荷從零開始逐漸緩慢地增加)條件下的力學性能。在常溫、靜載條件下，材料大致可以分成塑性材料和脆性材料兩類。通常以Q235A鋼代表塑性材料，用灰鑄鐵代表脆性材料，通過試驗來分別研究它們的力學性能。下一頁返回第十一頁，共五十七頁，2022年，8月28日6.3材料拉壓時的力學性能二、低碳鋼在拉伸時的力學性能低碳鋼是指含碳量在0.3%以下的碳素鋼。這類鋼材在工程中使用較廣，在拉伸試驗中表現(xiàn)出的力學性能也最為典型。拉伸試驗是在材料萬能試驗機上進行的。試驗時，將試樣的兩端裝在試驗機的夾頭中，然后開動機器加載，使試樣受到自零開始逐漸增加的拉力F的作用。在加載過程中，對應任一瞬時的F值，都可測出試樣在原始標距內的伸長△l，試驗機上有自動繪圖裝置，可以自動繪出以拉力F為縱坐標、伸長△l為橫坐標的F-△l曲線，稱為拉伸圖。圖6.9所示的拉伸圖描繪了Q235A鋼試樣從開始加載直至斷裂的全過程中載荷和變形的關系。拉伸圖中拉力F和伸長△l的對應關系與試樣的尺寸有關。下一頁上一頁返回第十二頁，共五十七頁，2022年，8月28日6.3材料拉壓時的力學性能為了消除試樣尺小的影響，將F-△l曲線的縱坐標F除以試樣原有的橫截面面積A，將橫坐標△l除以試樣的原始標距l(xiāng)0，即可得到以應力σ為縱坐標和以應變ε為橫坐標的σ-ε曲線，稱為應力-應變圖，如圖6.10所示下面通過研究Q235A鋼受拉時的σ-ε曲線和其上的一些特性點來了解塑性材料在拉伸時的力學性能。1．彈性階段在試樣拉伸的初始階段，圖中的Oa線段為直線，表明此段內應力σ與應變ε成正比，如果用E表示Oa線段的斜率，那么這種關系可表達為，σ=Eε

下一頁上一頁返回第十三頁，共五十七頁，2022年，8月28日6.3材料拉壓時的力學性能過了a點后，應力與應變不再保持正比關系。但在a點附近略高于比例極限的區(qū)域內，試樣所發(fā)生的還是彈性變形，我們把這一區(qū)域最高點的應力稱為彈性極限，用σe表示。由于彈性極限和比例極限在σ-ε曲線上的位置非常接近，在實驗所記錄的圖線上很難加以區(qū)分，因此我們一般認為兩者近似相等。在應力大于彈性極限后，如再解除拉力，則試樣變形的一部分隨之消失，這就是上面提到的彈性變形，但還遺留下一部分不能消失的變形，這種變形稱為塑性變形或殘余變形。因此我們把從起始到彈性極限之間的這段加載過程稱為彈性階段。下一頁上一頁返回第十四頁，共五十七頁，2022年，8月28日6.3材料拉壓時的力學性能2．屈服階段當應力超過彈性極限增加到其一數(shù)值時，應變有非常明顯的增加而應力先是下降，然后作微小的波動，在σ-ε曲線上出現(xiàn)接近水平線的小鋸齒形線段。這種應力基本保持不變，而應變顯著增加的現(xiàn)象稱為屈服或流動，這一階段即稱為屈服階段。在屈服階段內應力的最高點b和最低點b′分別稱為上屈服點和下屈服點。上屈服點應力的數(shù)值與試樣形狀、加載進度等因素有關，一般是不穩(wěn)定的，下屈服點的應力則有比較穩(wěn)定的數(shù)值，能夠反映材料的性能，所以通常就把下屈服極限稱為屈服極限，用σs

表示。材料在屈服階段已表現(xiàn)出顯著的塑性變形，而構件過大的塑性變形將影響機器和結構的正常工作，所以屈服極限σs是衡量材料強度的重要指標。下一頁上一頁返回第十五頁，共五十七頁，2022年，8月28日6.3材料拉壓時的力學性能3．強化階段經(jīng)過屈服階段，材料又恢復了繼續(xù)承載的能力，同時試樣的塑性變形也迅速增大，這種現(xiàn)象稱為材料的強化。在圖6.10中，強化階段中的最高點c點對應的應力σb是材料所能承受的最大應力，稱為強度極限。它是衡量材料強度的另一重要指標。我們把材料從屈服后直到強度極限這一段稱為強化階段，在強化階段中，試樣的橫向尺寸有明顯的縮小。4．局部變形階段過了c點后，試樣的承載就逐漸下降，并且在某一局部其橫向尺寸突然急劇減小，出現(xiàn)頸縮現(xiàn)象(圖6.12)，直到d點，試樣在頸縮后的最小尺寸的橫截面處發(fā)生斷裂（圖6.13），這cd段就稱為局部變形

下一頁上一頁返回第十六頁，共五十七頁，2022年，8月28日6.3材料拉壓時的力學性能5．材料的塑性試樣斷裂后所遺留下來的塑性變形，可以用來表明材料的塑性。試樣拉斷后，標距由原來的l0伸長為l1，我們把標距間的改變用百分比的比值δ表示，稱為材料的延伸率。即δ值越大，表明材料的塑性越好，因此，延伸率δ是衡量材料塑性的指標之—。下一頁上一頁返回第十七頁，共五十七頁，2022年，8月28日6.3材料拉壓時的力學性能6．冷作硬化試驗表明，塑性材料拉伸過程中，當應力超過屈服點后(如圖6.14中的g點)，如逐漸卸去載荷，則試樣的應力和應變關系將沿著與直線Oa近乎半行的直線gOl回到Ol點。如果卸載后再重新加載，則應力應變關系將大致上沿著曲線Olgcd變化，直至斷裂。比較曲線Oagcd與Olgcd，可以看出在試樣的應力超過屈服點后卸載，然后再更新加載時，材料的比例極限提高了，而斷裂后的塑性變形減少了，由原來的Oe變?yōu)镺le，表明材料的塑性降低了。這一現(xiàn)象稱為冷作硬化。工程上常利用冷作硬化來提高某些構件(如鋼筋、鋼絲繩等)在彈性范圍內的承載能力，冷作硬化現(xiàn)象也可通過退火來消除。下一頁上一頁返回第十八頁，共五十七頁，2022年，8月28日6.3材料拉壓時的力學性能三、其他材料在拉伸時的力學性能工程上常用的塑性材料，除低碳鋼外，還有中碳鋼、某些高碳鋼和合金鋼、鋁合金、青銅、黃銅等。圖6.15中是幾種塑性材料的σ-ε曲線。其中有些材料，如16Mn鋼和低碳鋼一樣有明顯的彈性階段、屈服階段、強化階段和局部變形階段。有些材料，如黃銅H62，沒有屈服階段，但其他三階段卻很明顯。還有些材料，如高碳鋼T10A，沒有屈服所段和局部變形階段，只有彈性階段和強化階段。各類碳素鋼中，隨含碳量的增加，屈服極限和強度極限相應提高，但延伸率降低。例如合金鋼、工具鋼等高強度鋼材，屈服極限較高，但塑性性能卻較差。下一頁上一頁返回第十九頁，共五十七頁，2022年，8月28日6.3材料拉壓時的力學性能四、鑄鐵拉伸時的力學性能灰鑄鐵拉伸時的應力-應變關系是一段微彎曲線，如圖6.17所示，沒有明顯的直線部分。它在較小的拉應力下就被拉斷，沒有屈服和頸縮現(xiàn)象，拉斷前的應變很小，延伸率也很小，斷口為平口（見圖6.18）?；诣T鐵是典型的脆性材料。由于鑄鐵的σ-ε圖沒有明顯的直線部分，彈性模量E的數(shù)值隨應力的大小而變。但在工程中鑄鐵的拉應力不能很高，而在較低的拉應力下，應力和應變的關系則可近似地認為服從虎克定律。通常取σ-ε曲線的割線代替曲線的開始部分，并以割線的斜率作為彈性橫量，稱為割線彈性模量。下一頁上一頁返回第二十頁，共五十七頁，2022年，8月28日6.3材料拉壓時的力學性能鑄鐵拉斷時的最大應力即為其強度極限。因為沒有屈服現(xiàn)象，強度極限σb是衡量強度的唯一指標。鑄鐵等脆性材料的抗拉強度很低，所以不宜作為抗拉零件的材料。鑄鐵經(jīng)球化處理成為球墨鑄鐵后，力學性能有顯著變化，不但有較高的強度，還有較好的塑性性能。國內不少工廠成功地用球墨鑄鐵代替鋼材制造曲軸、齒輪等零件。下一頁上一頁返回第二十一頁，共五十七頁，2022年，8月28日6.3材料拉壓時的力學性能五、材料在壓縮時的力學性能低碳鋼壓縮時的σ-ε曲線如圖6.19所示。試驗表明，低碳鋼壓縮時的彈性階段和屈服階段與拉伸時基本重合，其彈性模量E和屈服極限σs與拉伸時相同。而屈服階段以后，試樣越壓越扁，橫截面面積不斷增大，試樣的抗壓應力也不斷增高，但試樣卻不被壓斷，得不到壓縮時的強度極限，因而壓縮時低碳鋼的強度指標就只有屈服極限。由于可從拉伸試驗測定低碳鋼壓縮時的主要性能，所以不一定要進行壓縮試驗。圖6.19表示鑄鐵壓縮時的σ-ε曲線。試樣仍然在較小的變形下突然破壞。破壞斷面的法線與軸線大致成45°~55°的傾角，表明試樣沿斜截面因相對錯動而破壞。鑄鐵壓縮時的強度極限比它在拉伸時的強度極限高4~5倍。其他脆性材料如混凝土、石料等，抗壓強度也遠高于抗拉強度。下一頁上一頁返回第二十二頁，共五十七頁，2022年，8月28日6.3材料拉壓時的力學性能脆性材料抗拉強度低，塑性性能差，但抗壓能力強，且價格低廉，適合加工成抗壓構件。鑄鐵堅硬耐磨，易于澆鑄成形狀復雜的零部件，廣泛用于鑄造機床床身、基座．缸體及軸承座等受壓零部件。因此其壓縮試驗比拉伸試驗更為重要。上一頁返回第二十三頁，共五十七頁，2022年，8月28日6.4拉壓桿的強度計算一、失效與許用應力由前述的拉伸壓縮試驗可以看出，各類材料具有各自不同的力學性能。脆性材料制成的構件在拉伸或壓縮時，變形很小就會突然斷裂。而塑性材料制成的構件在拉斷或壓扁之前已出現(xiàn)很大的塑性變形，由于不能保持原有的形狀和尺寸，它已不能正常工作。我們把脆性材料的斷裂和塑性材料出現(xiàn)塑性變形統(tǒng)稱為失效。脆性材料斷裂時的應力是強度極限σb，而塑性材料屈服時即出現(xiàn)塑性變形，相應的應力是屈服極限σs，因此σs和σb就是兩種材料制成的構件失效時的極限應力。但在工程設計中，為保證構件有足夠的強度，在載荷作用下構件的工作應力顯然應低于極限應力。若以大于1的系數(shù)除極限應力并將所得結果稱為許用應力，用[σ]來表示，對塑性材料，下一頁返回第二十四頁，共五十七頁，2022年，8月28日6.4拉壓桿的強度計算對脆性材料，應當注意，脆性材料在拉伸和壓縮時的強度極限是不相等的，所以它的拉伸許用應力和壓縮許用應力也不相等。從公式(6-10)和(6-11)可知，如果安全系數(shù)取得過小，即接近于1，則許用應力就比較接近極限應力，構件工作時就危險；如果安全系數(shù)取得過大，則許用應力就會偏小，雖然足夠安全，但不夠經(jīng)濟。因此，安全系數(shù)選取是否確當，直接影響到工程構件安全和經(jīng)濟問題。下一頁上一頁返回第二十五頁，共五十七頁，2022年，8月28日6.4拉壓桿的強度計算二、軸向拉伸與壓縮時的強度計算前面已經(jīng)指出，在強度計算中，許用應力就是構件所允許的最大工作應力，據(jù)此我們可以列出構件滿足強度要求的前提，稱為強度條件。軸向拉壓桿的強度條件為對于等截面桿，由于各個截面的面積相等，所以最大工作應力將發(fā)生在軸力的絕對值最大的截面上。而對于變截面桿，則要綜合軸力和面積的比值。根據(jù)強度條件，我們可以對拉壓桿進行三種類型的強度計算，即強度校核、設計截面尺寸和確定許可載荷。上一頁返回第二十六頁，共五十七頁，2022年，8月28日6.5軸向拉壓時的變形計算一、軸向變形與虎克定律直桿在軸向拉力(或壓力)的作用下，所產生的變形表現(xiàn)為軸向尺寸的伸長(或縮短)以及橫向尺寸的縮小(或增大)。前者稱為軸向變形，后者稱為橫向變形。現(xiàn)以圖6.21所示的受拉等截面直桿為例來研究桿的軸向變形。設桿的原長為l，在軸向拉力的作用下，桿長由l變?yōu)閘1(圖6.21a)，則桿的軸向伸長為△l=l1－l實驗指出：在彈性范圍內，桿件的絕對變形△l與所受拉力P成正比，與桿件的長度l成正比，而與桿件的橫截面面積A成反比?？捎脭?shù)學式表示為下一頁返回第二十七頁，共五十七頁，2022年，8月28日6.5軸向拉壓時的變形計算這個關系式稱為虎克定律，它同樣適用于軸向壓縮的情況。式中△l的符號取決于軸力FN，軸向拉伸時△l大于零；而壓縮時△l小于零。二、橫向變形與泊松比如圖6.21b所示，桿件變形前的橫向尺寸為b，變形后變?yōu)閎1，桿的橫向絕對變形為△b=b1－b，橫向應變?yōu)橄乱豁撋弦豁摲祷氐诙隧?，共五十七頁?022年，8月28日6.5軸向拉壓時的變形計算試驗結果表明：當應力不超過比例極限時，橫向應變與軸向應變ε之比的絕對值是一個常數(shù)。即μ稱為橫向變形系數(shù)或泊松比，是一個沒有量綱的量。上一頁返回第二十九頁，共五十七頁，2022年，8月28日6.6剪切與擠壓的實用計算一、剪切的實用計算現(xiàn)在以圖6.23a所示的拖車掛鉤為例，若將載荷簡化到其對稱面（如圖6.23b），那么插銷的受力情況可概括為如圖6.23c所示的簡圖，其受力特點是：作用在構件兩側面上的橫向外力的合力大小相等，方向相反，作用線平行且相距很近。在這樣的外力作用下，其變形特點是：兩力間的橫截面發(fā)生相對錯動，這種變形形式叫做剪切。若掛鉤上作用的力P過大，插銷可能沿著平行力交界的截面m-n和p-q被剪斷，這個截面叫做剪切面?，F(xiàn)在用截面法來研究插銷在剪切面上的內力。用截面假想地將插銷沿剪切面m-n和p-q截開，取中間部分，如圖6.23d所示。為保持平衡，在兩個剪切面內必然有與外力P大小相等，方向相反且與截面平行的內力存在，這個內力叫做剪力，用FS表元，它是剪切面上分布內力的總和。下一頁返回第三十頁，共五十七頁，2022年，8月28日6.6剪切與擠壓的實用計算由于剪力與剪切面平行，因此其在剪切面上的分布應為切應力。切應力的實際分布情況比較復雜，在工程上，通常假設剪切面上的切應力均勻分布（如圖6.23e），于是，連接件的切應力和剪切強度條件分別為下一頁上一頁返回第三十一頁，共五十七頁，2022年，8月28日6.6剪切與擠壓的實用計算剪切強度條件中的許用切應力，其值等于連接件的剪切強度極限τb除以安全系數(shù)。剪切強度極限是在與構件的實際受力情況相似的條件下進行試驗，并同樣按切應力均勻分布的假設計算出來的?？紤]到制造工藝和實際工作條件等因素，在設計規(guī)范中，對一些剪切構件的許用剪應力值作了規(guī)定。根據(jù)實驗，一般情況下，材料的許用切應力[τ]與許用拉應力[σ]之間有以下的關系：對塑性材料[τ]＝(0.6~0.8)[σ]對脆性材料[τ]＝(0.8~1.0)[σ]利用這一關系，可根據(jù)許用拉應力來估計許用切應力之值。下一頁上一頁返回第三十二頁，共五十七頁，2022年，8月28日6.6剪切與擠壓的實用計算二、擠壓的實用計算在外力作用下，連接件和被連接的構件之間，必將在接觸面上相互壓緊，這種現(xiàn)象稱為擠壓。例如，在鉚釘連接中，鉚釘與鋼板就相互壓緊。這就可能把鉚釘或鋼板的鉚釘孔壓成局部塑性變形。圖6.24就是鉚釘孔被壓成長圓孔的情況，當然，鉚釘也可能被壓成扁圓柱。所以應該進行擠壓強度計算。在擠壓面上，應力分布一般也比較復雜。實用計算中，也是假設在擠壓面上應力均勻分布。以Pb表示擠壓面上傳遞的力，Abs表示擠壓面積，于是連接件的擠壓應力σbs和擠壓強度條件分別為下一頁上一頁返回第三十三頁，共五十七頁，2022年，8月28日6.6剪切與擠壓的實用計