高數(shù)下第十二章級數(shù)

高數(shù)下第十二章級數(shù)演示文稿當(dāng)前1頁，總共72頁。高數(shù)下第十二章級數(shù)當(dāng)前2頁，總共72頁。一、級數(shù)的概念與性質(zhì)1.級數(shù)的定義:(常數(shù)項)無窮級數(shù)一般項級數(shù)的部分和當(dāng)前3頁，總共72頁。2.級數(shù)的收斂與發(fā)散:當(dāng)前4頁，總共72頁。解當(dāng)前5頁，總共72頁。

收斂

發(fā)散

發(fā)散

發(fā)散

綜上當(dāng)前6頁，總共72頁。解當(dāng)前7頁，總共72頁。當(dāng)前8頁，總共72頁。3、基本性質(zhì)結(jié)論:級數(shù)的每一項同乘一個不為零的常數(shù),斂散性不變.結(jié)論:收斂級數(shù)可以逐項相加與逐項相減.當(dāng)前9頁，總共72頁。證明類似地可以證明在級數(shù)前面加上有限項不影響級數(shù)的斂散性.當(dāng)前10頁，總共72頁。證明當(dāng)前11頁，總共72頁。注意收斂級數(shù)去括弧后所成的級數(shù)不一定收斂.

收斂

發(fā)散當(dāng)前12頁，總共72頁。證明級數(shù)收斂的必要條件:性質(zhì)5當(dāng)前13頁，總共72頁。注意1.如果級數(shù)的一般項不趨于零,則級數(shù)發(fā)散;

發(fā)散2.必要條件不充分.但發(fā)散.當(dāng)前14頁，總共72頁。當(dāng)前15頁，總共72頁。二、正項級數(shù)及其審斂法2.正項級數(shù)收斂的充要條件:定理正項級數(shù)當(dāng)前16頁，總共72頁。3.比較審斂法當(dāng)前17頁，總共72頁。解由圖可知當(dāng)前18頁，總共72頁。重要參考級數(shù):幾何級數(shù),P-級數(shù),調(diào)和級數(shù).當(dāng)前19頁，總共72頁。證明當(dāng)前20頁，總共72頁。4.比較審斂法的極限形式:設(shè)?￥=1nnu與?￥=1nnv都是正項級數(shù),如果則(1)當(dāng)時,二級數(shù)有相同的斂散性;(2)當(dāng)時，若收斂,則收斂;(3)當(dāng)時,若?￥=1nnv發(fā)散,則?￥=1nnu發(fā)散;當(dāng)前21頁，總共72頁。解原級數(shù)發(fā)散.故原級數(shù)收斂.當(dāng)前22頁，總共72頁。當(dāng)前23頁，總共72頁。比值審斂法的優(yōu)點:不必找參考級數(shù).注意:當(dāng)前24頁，總共72頁。解當(dāng)前25頁，總共72頁。比值審斂法失效,改用比較審斂法當(dāng)前26頁，總共72頁。級數(shù)收斂.當(dāng)前27頁，總共72頁。三、交錯級數(shù)及其審斂法定義:

正、負項相間的級數(shù)稱為交錯級數(shù).當(dāng)前28頁，總共72頁。當(dāng)前29頁，總共72頁。四、絕對收斂與條件收斂定義:正項和負項任意出現(xiàn)的級數(shù)稱為任意項級數(shù).證明當(dāng)前30頁，總共72頁。上定理的作用：任意項級數(shù)正項級數(shù)當(dāng)前31頁，總共72頁。解故由定理知原級數(shù)絕對收斂.當(dāng)前32頁，總共72頁。四、小結(jié)正項級數(shù)任意項級數(shù)審斂法1.2.4.充要條件5.比較法6.比值法7.根值法4.絕對收斂5.交錯級數(shù)(萊布尼茨定理)3.按基本性質(zhì);當(dāng)前33頁，總共72頁。思考題當(dāng)前34頁，總共72頁。思考題解答由比較審斂法知收斂.反之不成立.例如：收斂,發(fā)散.當(dāng)前35頁，總共72頁。當(dāng)前36頁，總共72頁。當(dāng)前37頁，總共72頁。五、函數(shù)項級數(shù)的一般概念1.定義:當(dāng)前38頁，總共72頁。2.收斂點與收斂域:當(dāng)前39頁，總共72頁。函數(shù)項級數(shù)的部分和3.和函數(shù):當(dāng)前40頁，總共72頁。解由達朗貝爾判別法原級數(shù)絕對收斂.當(dāng)前41頁，總共72頁。原級數(shù)發(fā)散.收斂;發(fā)散;當(dāng)前42頁，總共72頁。六、冪級數(shù)及其收斂性1.定義:2.收斂性:當(dāng)前43頁，總共72頁。當(dāng)前44頁，總共72頁。幾何說明收斂區(qū)域發(fā)散區(qū)域發(fā)散區(qū)域當(dāng)前45頁，總共72頁。推論當(dāng)前46頁，總共72頁。定義:正數(shù)R稱為冪級數(shù)的收斂半徑.冪級數(shù)的收斂域稱為冪級數(shù)的收斂區(qū)間.規(guī)定當(dāng)前47頁，總共72頁。當(dāng)前48頁，總共72頁。例2求下列冪級數(shù)的收斂區(qū)間:解該級數(shù)收斂該級數(shù)發(fā)散當(dāng)前49頁，總共72頁。當(dāng)前50頁，總共72頁。發(fā)散收斂故收斂區(qū)間為(0,1].當(dāng)前51頁，總共72頁。解缺少偶次冪的項級數(shù)收斂,當(dāng)前52頁，總共72頁。級數(shù)發(fā)散,級數(shù)發(fā)散,級數(shù)發(fā)散,原級數(shù)的收斂區(qū)間為當(dāng)前53頁，總共72頁。3、冪級數(shù)的分析運算當(dāng)前54頁，總共72頁。(收斂半徑不變)當(dāng)前55頁，總共72頁。(收斂半徑不變)當(dāng)前56頁，總共72頁。解兩邊積分得當(dāng)前57頁，總共72頁。當(dāng)前58頁，總共72頁。練習(xí)題當(dāng)前59頁，總共72頁。當(dāng)前60頁，總共72頁。練習(xí)題答案當(dāng)前61頁，總共72頁。七、泰勒級數(shù)上節(jié)例題存在冪級數(shù)在其收斂域內(nèi)以f(x)為和函數(shù)問題:1.如果能展開,是什么?2.展開式是否唯一?3.在什么條件下才能展開成冪級數(shù)?當(dāng)前62頁，總共72頁。當(dāng)前63頁，總共72頁。問題定義泰勒級數(shù)在收斂區(qū)間是否收斂于f(x)?不一定.當(dāng)前64頁，總共72頁。當(dāng)前65頁，總共72頁。二、函數(shù)展開成冪級數(shù)1.直接法(泰勒級數(shù)法)步驟:（2）驗證：當(dāng)前66頁，總共72頁。例1解由于M的任意性,即得當(dāng)前67頁，總共72頁。例2解當(dāng)前68頁，總共72頁。2.間接法根