平行四邊形培優(yōu)講義新打印版

-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-CompanyOne1-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-CompanyOne1平行四邊形培優(yōu)講義新打印版平邊四邊形知識點一．知識框架二．知識概念平行四邊的定義：兩線對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形，平行四邊形不相鄰的兩頂點連成的線段叫做它的對角線。平行四邊形的性質(zhì)：平行四邊形的對邊相等,對角相等,對角線互相平分。平行四邊形的判別方法：兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形。兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形。一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形。兩條對角線互相平分的四邊形是平行四邊形。三角形的中位線平行于三角形的第三邊，且等于第三邊的一半。矩形的定義：有一個角是直角的平行四邊形叫矩形。矩形是特殊的平行四邊形。矩形的性質(zhì)：具有平行四邊形的性質(zhì)，且對角線相等，四個角都是直角。（矩形是軸對稱圖形，有兩條對稱軸）矩形的判定：有一個內(nèi)角是直角的平行四邊形叫矩形(根據(jù)定義)。對角線相等的平行四邊形是矩形。四個角都相等的四邊形是矩形。推論：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半。菱形的定義：一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形。菱形的性質(zhì)：具有平行四邊形的性質(zhì),且四條邊都相等,兩條對角線互相垂直平分,每一條對角線平分一組對角。菱形是軸對稱圖形，每條對角線所在的直線都是對稱軸。菱形的判別方法：一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形。對角線互相垂直的平行四邊形是菱形。四條邊都相等的四邊形是菱形。S菱形=1/2×ab（a、b為兩條對角線）或底×高正方形的定義：一組鄰邊相等的矩形叫做正方形。正方形的性質(zhì)：正方形具有平行四邊形、矩形、菱形的一切性質(zhì)。（正方形是軸對稱圖形，有四條對稱軸）正方形常用的判定：有一個內(nèi)角是直角的菱形是正方形；鄰邊相等的矩形是正方形；對角線互相垂直的矩形；對角線相等的菱形；梯形的定義：一組對邊平行，另一組對邊不平行的四邊形叫做梯形。直角梯形的定義：有一個角是直角的梯形等腰梯形的定義：兩腰相等的梯形。等腰梯形的性質(zhì)：等腰梯形同一底邊上的兩個角相等；等腰梯形的兩條對角線相等。

等腰梯形判定定理：同一底上兩個角相等的梯形是等腰梯形。梯形常用輔助線：平行四邊形的判定及性質(zhì)鞏固練習(xí)題1、如圖，已知在四邊形ABCD中，AD=BC，∠D=∠DCE．求證：四邊形ABCD是平行四邊形．2、如圖，在□ABCD中，E、F分別是BC、AD上的點，且AE∥CF，AE與CF相等嗎說明理由.3、有一個四邊形的四邊長分別是a，b，c，d，且有a2+b2+c2+d2=2（ac+bd）.求證：此四邊形是平行四邊形．4、□ABCD中,AC、BD交于點O，AE=CF，求證：BE=DF5、(變式練習(xí)2)□ABCD中,AC、BD交于點O，AE=CF，BM=DN求證：四邊形MFNE是平行四邊形6、(變式練習(xí)3)如圖，平行四邊形ABCD中，E、F是AC上兩點，且AE=CF，又點M、N分別在AB、CD上，且MF∥EN，MN交AC于O。求證：EF與MN互相平分。7、(變式練習(xí)4)如圖所示，□ABCD的對角線AC、BD交于O，EF過點O交AD于E，交BC于F，G是OA的中點，H是OC的中點，四邊形EGFH是平行四邊形，說明理由.8、(變式練習(xí))□ABCD中，DE平分∠ADC交BC的延長線于E，BF平分∠ABC交AB的延長線于F，求證：四邊形DEBF是平行四邊形9、(變式練習(xí)1)如圖所示，平行四邊形ABCD中，M、N分別為AD、BC的中點，連結(jié)AN、DN、BM、CM，且AN、BM交于點P，CM、DN交于點Q.四邊形MGNP是平行四邊形嗎為什么BACDBACDEFGHOABCFDGHEO（2）O為GH的中點。11、□ABCD中，E在AB上，F(xiàn)在CD上，且AE=CF,M為DE中點，N為FB中點,求證：FM=NEME=NF12、已知如圖：在ABCD中，延長AB到E，延長CD到F，使BE=DF，則線段AC與EF是否互相平分說明理由.13、.如圖所示，已知點D是△ABC的邊AB上的中點，點E是AC上的一點，DF∥BE,EF∥AB,證明：AE、DF互相平分14、如圖，已知AD是△ABC的邊BC上的中線，△BME是△AMD繞點M按順時針方向旋轉(zhuǎn)180°得到的，連結(jié)AE，求證：DE=AC．15、如圖，在□ABCD中，∠DAB=60°，點E、F分別在CD、AB的延長線上，且AE=AD，CF=CB．求證：四邊形AFCE是平行四邊形．16、如圖所示，某城市部分街道示意圖，AF∥BC，EC⊥BC，BA∥DE，BD∥AE，EF=FC，甲、乙兩人同時從B站乘車到F站，甲乘1路車，路線是B→A→E→F，乙乘2路，路線是B→D→C→F，假設(shè)兩車速度相同，途中耽誤時間相同，那么誰先到達(dá)F站，請說明理由.17、在平行四邊形ABCD中，BN＝DM，BE＝DF，求證：四邊形MENF是平行四邊形.18、如圖，在ABCD中，AB=2AD，延長AD到F,使DF=AD,再延長DA到E,使AE=AD,求證:BF⊥CE.AADFCBE19、如圖19－1－30，分別以△ABC的三邊為邊長，在BC的同側(cè)作等邊三角形ABD，等邊三角形BCE，等邊三角形ACF，連接DE，EF。求證：四邊形ADEF是平行四邊形。圖320、如圖3，在中，是邊的中點，分別是及其延長線上的點，，連結(jié)，試判斷四邊形是何種特殊四邊形，并說明理由。圖321、如圖2，平行四邊形ABCD中，E、G、F、H分別是四條邊上的點，且AE＝CF，BG＝DH，試說明：EF與GH相互平分．矩形拓展題1、如圖，四邊形ABCD的對角線互相平分，要使它成為矩形，那么需要添加的條件是（）A．AB＝CDB．AD＝BCC．AB＝BCD．AC＝BDAABOCD第1題2、如圖①，矩形ABCD，AB=12cm，AD=16cm，現(xiàn)將其按下列步驟折疊：（1）將△BAD對折，使AB落在AD上，得到折痕AF，如圖②（2）將△AFB沿BF折疊，AF與DC交點G，如圖③則所得梯形BDGF的周長等于（）+2+2+4+4①②③3、如圖，邊長為(m+3)的正方形紙片剪出一個邊長為m的正方形之后，剩余部分又剪拼成一個矩形(不重疊無縫隙)，若拼成的矩形一邊長為3，則另一邊長是()A．2m+3B．2m+6C．m+3 D．(第3題)(第3題)m+3m3（第（第4題）4、如圖，矩形ABCD中，AB＞AD，AB=a，AN平分∠DAB，DM⊥AN于點M，CN⊥AN于點N．則DM+CN的值為（用含a的代數(shù)式表示）()A．a(chǎn)B．C．D．5、如圖，已知矩形紙片，點是的中點，點是上的一點，，現(xiàn)沿直線將紙片折疊，使點落在紙片上的點處，連接，則與相等的角的個數(shù)為()B.3C6、矩形紙片ABCD中，AB＝3，AD＝4，將紙片折疊，使點B落在邊CD上的B’處，折痕為AE．在折痕AE上存在一點P到邊CD的距離與到點B的距離相等，則此相等距離為________．7．小明嘗試著將矩形紙片ABCD（如圖①，AD>CD）沿過A點的直線折疊，使得B點落在AD邊上的點F處，折痕為AE（如圖②）；再沿過D點的直線折疊，使得C點落在DA邊上的點N處，E點落在AE邊上的點M處，折痕為DG（如圖③）．如果第二次折疊后，M點正好在∠NDG的平分線上，那么矩形ABCD長與寬的比值為．ABABCDABCDEF①②ABCDEGMN③8、如右上圖，將矩形ABCD紙片沿EF折疊，使D點與BC邊的中點D’重合，若BC=8，CD=6，則CF=________。9、如圖2，在矩形ABCD中，AD=4，DC=3，將△ADC按逆時針方向繞點A旋轉(zhuǎn)到△AEF（點A、B、E在同一直線上），連結(jié)CF，則CF=.ABCFE′第11題圖（）ABCFE′第11題圖（）D11、把一張矩形紙片（矩形ABCD）按如圖方式折疊，使頂點B和點D重合，折痕為EF．若AB3cm，BC5cm，則重疊部分△DEF的面積是12、如圖所示，已知平行四邊形ABCD，AC、BD相交于點O，P是平行四邊形ABCD外一點，且∠APC＝∠BPD＝90°．求證：平行四邊形ABCD是矩形．

13、如圖自矩形ABCD的頂點C作CE⊥BD,E為垂足,延長CE至F,使CF=BD,連接AF,求∠BAF的大小菱形的性質(zhì)及判定鞏固練習(xí)題1、下列四邊形中不一定為菱形的是（）A．對角線相等的平行四邊形B．每條對角線平分一組對角的四邊形C．對角線互相垂直的平行四邊形D．用兩個全等的等邊三角形拼成的四邊形2下列命題中錯誤的是（）Ａ．平行四邊形的對邊相等Ｂ．兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形ABABCD3如圖，下列條件之一能使平行四邊形ABCD是菱形的為（）①②③④A．①③ B．②③ C．③④ D．①②③4菱形的周長為32cm，一個內(nèi)角的度數(shù)是60°，則兩條對角線的長分別是（）A．8cm和4cmB．4cm和8cmC．8cm和8cmD．4cm和4cm5如圖，菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝2，E、F分別是BC、CD的中點，連接AE、EF、AF，則△AEF的周長為（）A．B．C．D．DCBOAE6如右圖，四邊形是菱形，過點作的平行線交的延長線于點，則下列式子不成立的是（）DCBOAEA.B.C.°D.7如右圖，在菱形中，對角線相交于點為的中點，且，則菱形的周長為（）ADCEBA． B． C． D．ADCEB8、如圖，菱形中，垂直平分，垂足為，．那么，菱形的面積是，對角線的長是．9、已知菱形的面積是，對角線cm，則菱形的邊長是cm10、如圖，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，對角線AC的垂直平分線分別交AD，BC于點E、F，連接CE，則CE的長________.11、如圖所示，兩個全等菱形的邊長為1厘米，一只螞蟻由點開始按的順序沿菱形的邊循環(huán)運(yùn)動，行走2008厘米后停下，則這只螞蟻停在點．12、如圖，菱形中，是對角線的交點，，，則cm．13、如圖所示，已知□ABCD，AC，BD相交于點O，添加一個條件使平行四邊形為菱形，添加的條件為________．（只寫出符合要求的一個即可）13題圖14題圖12題圖14、如圖所示，D，E，F(xiàn)分別是△ABC的邊BC，CA，AB上的點，且DE∥AB，DF∥CA，要使四邊形AFDE是菱形，則要增加的條件是________．（只寫出符合要求的一個即可）15、菱形ABCD的周長為48cm，∠BAD：∠ABC=1：2，則BD=_____，菱形的面積是______．16、在菱形ABCD中，AB=4，AB邊上的高DE垂直平分邊AB，則BD=_____，AC=_____．17、如圖，四邊形ABCD是菱形，DE⊥AB交BA的延長線于E，DF⊥BC，交BC的延長線于F。請你猜想DE與DF的大小有什么關(guān)系并證明你的猜想18、已知：如圖，AD平分∠BAC，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F．求證：四邊形AEDF是菱形．19、如圖，四邊形中，，平分，交于．（1）求證：四邊形是菱形；（2）若點是的中點，試判斷的形狀，并說明理由．20、如圖8，在平行四邊形ABCD中，分別為邊的中點，連接．（1）求證：．（2）若，則四邊形是什么特殊四邊形請證明你的結(jié)論．AABCDEF21、如圖，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，CE平分∠ACB，交AD于G，交AB于E，EF⊥BC于F，四邊形AEFG是菱形嗎22、如圖，三角形ABC中，AD是∠BAC的平分線，E是AC上一點，AE=AB,EF∥BC交AD于F，BE與AD交與G，求證：四邊形BDEF是菱形。AAEFEFCCDBDB 23、如圖、在三角形ABC中，∠A=90o，∠B的平分線交AC于D，交高AH于E,，DF⊥BC,F為垂足，求證：四邊形AEFD為菱形。EDHA EDHA24、如圖，菱形ABCD中，對角線AC、BD交于點O，過點A作AH⊥BC，交BD于E，垂足為H，已知CH=4，AH=8（1）求菱形的周長；（2）求OE的長度．25、如圖，在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=5，∠C=30°.點D從點C出發(fā)沿CA方向以每秒2個單位長的速度向點A勻速運(yùn)動，同時點E從點A出發(fā)沿AB方向以每秒1個單位長的速度向點B勻速運(yùn)動，當(dāng)其中一個點到達(dá)終點時，另一個點也隨之停止運(yùn)動.設(shè)點D、E運(yùn)動的時間是t秒（t＞0）.過點D作DF⊥BC于點F，連接DE、EF.（1）求證：AE=DF；（2）四邊形AEFD能夠成為菱形嗎如果能，求出相應(yīng)的t值；如果不能，說明理由.（3）當(dāng)t為何值時，△DEF為直角三角形請說明理由.正方形練習(xí)題1、正方形ABCD的邊長為1，它的兩條對角線相交于點O，則△ABO的周長為_____，面積為_______2、如圖，E是正方形ABCD邊BC延長線上一點，EC=AC，AE交CD于F，則∠AFC=____2題圖3題圖6題圖3、如圖，在正方形ABCD中，AB=8，AE=2,EF=.點E在AB上，點F在AD上，則CF=_____4、在正方形ABCD中，E是BC上一點，AE把正方形分成兩部分，且，AB=6,則AE=________5、若正方形面積縮小為原來的，則它的邊長是原來邊長的______6、如圖，ABCD是正方形，M是BC中點，將正方形折起，使點A與點M重合，設(shè)折痕為EF,若正方形面積為64，那么△AEM的面積是_________7、如圖，以正方形ABCD的對角線BD為邊作正三角形BDE,過E作EF⊥AD,交DA的延長線于F,則∠AEF=_____；若正三角形BDE的周長是，正方形面積為_______7題圖8題圖10題圖8、如圖，在正方形ABCD中，P是AD上任一點，PE⊥AC,PF⊥BD,點E、F分別是垂足，BD+AC=14，則PE+PF=______9、正方形ABCD邊長為8，M在DC上，且DM=2,N是AC上的一動點，則DN+MN的最小值為_________10、如圖，已知邊長為1的正方形ABCD，E為AD中點，P為CE的中點，則=_____11、在△ABC中，AB=AC，D是BC中點，DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分別為E,F,只添加一個條件____________________,使四邊形AEDF為正方形（寫出一個條件即可）12、如圖，將邊長為1的正方形ABCD繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)60°，至正方形,則旋轉(zhuǎn)后兩個正方形重疊部分的面積是_______13、如圖，在正方形ABCD中，M為BC上任一點，N是CD的中點，且AM=DC+CM求證：AN平分∠DAM14、已知正方形ABCD中，M是AB的中點，E是AB延長線上一點，MN⊥DM且交∠CBE的平分線于N.求證：MD=MN.若M是AB上任意一點，MD=MN還成立嗎若成立，請證明之；若不成立，請說明理由。15、如圖，在正方形ABCD中，E是BC邊上一點，過點E作AE的垂線分別交CD、AB的延長線于點F、G.求證：BE=BG+CF16、如圖，在正方形ABCD中，△PAQ是正三角形，設(shè)AB=10,求PB的長17、如圖，在正方形ABCD中，F(xiàn)是對角線AC上任一點，BF⊥EF,求證：BF=EF18、如圖，正方形ABCD邊長為1，E是CD的中點，點F在BC邊上移動.試判斷當(dāng)點F移到什么位置時，AE是∠DAF的平分線19、如圖，在正方形ABCD中，E是DB延長線上的一點，且∠ECB=15°.求證：EC=BD四邊形綜合培優(yōu)題1、以△ABC的邊AB、AC、BC為邊作等邊△ABD、等邊△ACE和等邊△BCF。（1）求證四邊形ADFE是平行四邊形．（2）當(dāng)△ABC滿足什么條件時，四邊形ADFE是矩形；（3）當(dāng)△ABC滿足什么條件時，平行四邊形ADFE不存在；（4）當(dāng)△ABC分別滿足什么條件時，平行四邊形是菱形、正方形．2、如圖：正方形ABCD的對角線AC、BD相交于點O，E是AC上的一點，連接EB，過點A作AM⊥BE，垂足M，AM交BD于點F．①求證OE=OF②如圖2所示，若點E在AC的延長線上，AM⊥EB的延長線于點M，交DB的延長線于點F，其他條件都不變，則結(jié)論“OE=OF”還成立嗎如果成立，請給出證明；如果不成立，請說明理由．3、如圖，在梯形ABCD中，∠A+∠B=90°，AB4、已知：如圖，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足為點D，AN是△ABC外角∠CAM的平分線，CE⊥AN，垂足為點E，ABCDABCDMNE（2）當(dāng)△ABC滿足什么條件時，四邊形ADCE是一個正方形并給出證明．圖1ABCFDE5、在□ABCD中，∠BAD的平分線交直線BC于點圖1ABCFDE（1）在圖1中證明CE＝CF；（2）若∠ABC＝90°，G是EF的中點（如圖2），求∠BDG的度數(shù)圖2ABCFDEG（3）若∠ABC＝120°，F(xiàn)G∥CE，F(xiàn)G＝CE圖2ABCFDEG圖3圖3ADBCEFG6、已知正方形ABCD，點P是對角線AC所在直線上的動點，點E在DC邊所在直線上，且始終保持PE＝PD．（1）如圖1，當(dāng)點P在對角線AC上時，觀察、猜想PE與PB有怎樣的關(guān)并證明你的結(jié)論。ABPDCEABPDCE圖1（3）如圖3，當(dāng)點P運(yùn)動到CA的反向延長線上時，請你利用圖3畫出滿足條件的圖形，并判斷此時PE與PB有怎樣的關(guān)系并證明你的結(jié)論。AABPDCE圖2AABPDC圖3ABCDGEF7、如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，∠DCB＝45°，CD＝2，BD⊥CD．過點C作CE⊥AB于E，交對角線BD于F，點G為BCABCDGEF（1）求EG的長；（2）求證：CF＝AB＋AF．（用兩種方法證明）AABCDGEF8、以四邊形ABCD的邊AB、BC、CD、DA為斜邊分別向外側(cè)作等腰直角三角形，直角頂點分別為E、F、G、H，順次連結(jié)這四個點，得四邊形EFGH．（1）如圖1，當(dāng)四邊形ABCD為正方形時，我們發(fā)現(xiàn)四邊形EFGH是正方形；如圖2，當(dāng)四邊形ABCD為矩形時，請判斷：四邊形EFGH的形狀并說明理由；（2）如圖3，當(dāng)四邊形ABCD為一般平行四邊形時，設(shè)∠ADC=（0°＜＜90°），①試用含的代數(shù)式表示∠HAE；②求證：HE=HG；③四邊形EFGH是什么四邊形并說明理由．9、如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，E、F分別是AB、DC邊的中點