考研高數(shù)講義-新高等數(shù)學(xué)上冊輔導(dǎo)講義-第一章上課資料

函數(shù)與極限第一節(jié)映射與函數(shù)一、集合常用數(shù)集：自然數(shù)集：整數(shù)集：有理數(shù)集：實(shí)數(shù)集：開區(qū)間：閉區(qū)間：半開區(qū)間：；；；；鄰域：去心鄰域：二、函數(shù)定義：都有唯一與之對應(yīng)，記為。三、函數(shù)的性質(zhì)討論函數(shù)：，討論區(qū)間：1、有界性有界：若，使得，稱在區(qū)間上有界無界：對，總，使得，則稱在區(qū)間上無界上界、下界：若，使得，，稱在區(qū)間上有上界；若，使得，，稱在區(qū)間上有下界定理：若在區(qū)間上有界在區(qū)間上有上界也有下界。2、單調(diào)性嚴(yán)格單調(diào)增（減）：若，且，恒有廣義單調(diào)增（減）：若，恒有，3、奇偶性偶函數(shù)：奇函數(shù)：常見的奇函數(shù)：等常見的偶函數(shù)：等4、周期性周期函數(shù)：，對，有，且，則稱為周期為的周期函數(shù)。常見的周期函數(shù)：等【例1】（87二）是（）有界函數(shù).（B）單調(diào)函數(shù).（C）周期函數(shù).（D）偶函數(shù).四、復(fù)合函數(shù)與反函數(shù)1、復(fù)合函數(shù)設(shè)的定義域?yàn)?，的定義域?yàn)椋涤驗(yàn)?，且，在定義域上有復(fù)合函數(shù)?！纠?】（88一二）已知，且，求并寫出它的定義域.2、反函數(shù)將函數(shù)稱為直接函數(shù)，函數(shù)稱為反函數(shù)。與的圖形關(guān)于直線對稱。初等函數(shù)第二節(jié)數(shù)列和函數(shù)的極限一、數(shù)列極限的定義數(shù)列：，，稱為整標(biāo)函數(shù)。其函數(shù)值：叫做數(shù)列（序列）。數(shù)列的每一個數(shù)稱為項，第項稱為數(shù)列的一般項。簡記數(shù)列為數(shù)列極限：已給數(shù)列和常數(shù)，如果對于，都，使得對于，不等式恒成立，則稱當(dāng)時，以為極限，或收斂于，記為或。反之，若無極限，說發(fā)散。二、函數(shù)極限的定義（1）：設(shè)函數(shù)在內(nèi)有定義，為一常數(shù)，若對于，都，使有，則稱當(dāng)時，以為極限，記為或。單側(cè)極限：左極限：。右極限：定理：（2）：設(shè)函數(shù)在充分大時有定義，為一常數(shù)，若對于，都，使都有，則稱當(dāng)時，以為極限，記為或。單側(cè)極限：；定理：【例1】設(shè)（為常數(shù)），求的值，使得存在。三、極限的性質(zhì)性質(zhì)1（極限的唯一性）數(shù)列——若存在，則極限值是唯一的。函數(shù)——若存在，則其極限值是唯一的。性質(zhì)2（有界性）數(shù)列——如果收斂，則一定有界。（全局有界性）注：有界的數(shù)列不一定收斂。函數(shù)——如果，那么存在常數(shù)和，使得當(dāng)時，有。（函數(shù)極限的局部有界性）性質(zhì)3（保號性）數(shù)列——，，則，當(dāng)時，都有。推論：如果數(shù)列從某一項起，且，那么注：結(jié)論中的“”中的等號不能去掉，前提中的等號可以去掉。函數(shù)——若，且，則必存在，使得，都有。推論：設(shè)，且在內(nèi)，則注：結(jié)論中的“”中的等號不能去掉，前提中的等號可以去掉?！纠?】設(shè)在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)有定義，且，則必存在某鄰域，使得（）(B)(C)(D)不能判斷大小性質(zhì)4（數(shù)列與子列的關(guān)系）若，則它的任一子數(shù)列也收斂，且極限也為。注：若的兩個子數(shù)列的極限不相等，則該數(shù)列發(fā)散。性質(zhì)5（數(shù)列極限與函數(shù)極限）存在存在且為同一值（）反之：若，而，則不存在。第三節(jié)無窮小與無窮大一、無窮?。浚┤?，則稱當(dāng)時，是無窮?。浚Ｗⅲ簾o窮小量是一個變化中的過程量，它趨向于零，但不一定等于0。函數(shù)極限與無窮小的關(guān)系定理（為一常數(shù)），且二、無窮大（量）如果當(dāng)時，對應(yīng)的函數(shù)值的絕對值無限增大，則稱當(dāng)時，是無窮大（量）?；颍喝魧Γo論多么大），總，，有，則稱當(dāng)時，是無窮大（量），記為。注：說明極限不存在，說明為無窮大量；無窮大量是一個變化中的過程量，是一個持續(xù)變化的量；無窮大一定是無界函數(shù)，但無界函數(shù)不一定為無窮大?！纠?】（87二）函數(shù)（）當(dāng)時為無窮大.（B）在內(nèi)有界.（C）在內(nèi)無界（D）當(dāng)時有有限極限.【答案】（C）【例2】（91三）設(shè)數(shù)列的通項為：則當(dāng)，是（）無窮大量.（B）無窮小量.（C）有界變量.（D）無界變量.【答案】（D）二、無窮小與無窮大的關(guān)系定理：【例3】（90二）已知，其中是常數(shù)，則（A）.（B）.（C）.（D）.【答案】（C）三、無窮小的性質(zhì)（1）有限個無窮小的代數(shù)和仍是無窮小。（2）有界函數(shù)與無窮小的乘積仍是無窮小注：常數(shù)與無窮小乘積仍是無窮小兩個無窮小的乘積仍是無窮??；有限個無窮小的乘積仍是無窮小?！纠?】（07數(shù)二）【答案】0第四節(jié)極限運(yùn)算法則一、極限的四則運(yùn)算公式下列公式中，自變量是同一變化趨勢。設(shè)，，則有（1）（2）若是常數(shù)，則（）（3）若，（4）設(shè)，而，，則必有?！纠?】（92一二）當(dāng)時，函數(shù)的極限等于2（B）等于0（C）為（D）不存在但不為【答案】（D）【例2】求以下的極限并總結(jié)規(guī)律（1）（2）（3）【答案】（1）2；（2）；（3）0總結(jié)：【例3】設(shè)，，，則下列命題中不正確的是（）（B）（C）（D）【答案】（B）【例4】設(shè)，不，不，則下列結(jié)論正確的是（）不（B）不（C）不（D）不【答案】（D）3、復(fù)合函數(shù)的極限運(yùn)算法則定理（復(fù)合函數(shù)的極限運(yùn)算法則）若，，且存在，當(dāng)時，有，則。第五節(jié)極限存在準(zhǔn)則兩個重要極限一、準(zhǔn)則一夾擠準(zhǔn)則1、若數(shù)列，及滿足下列條件：①，當(dāng)時，有成立②，，則存在，且。若函數(shù)，及滿足下列條件：①在內(nèi)，有成立②則存在，且。3、若函數(shù)，及滿足下列條件：①在內(nèi)有成立②則存在，且?！纠?】（95二）【例2】設(shè)，都有，求，。【答案】；二、準(zhǔn)則二單調(diào)有界準(zhǔn)則為單調(diào)增數(shù)列：為單調(diào)減數(shù)列：極限存在的單調(diào)有界準(zhǔn)則：若單調(diào)數(shù)列是有界的，則存在。【例3】（96一）設(shè)，，試證數(shù)列極限存在，并求此極限.三、重要極限重要極限一：重要極限二：；；利用重要極限求極限：【例4】求極限【例5】（89二）.【例6】（91三）下列各式中正確的是（）（A）.（B）.（C）.（D）.【例7】（90一）設(shè)為非零常數(shù)，則.【例8】（92二）求.【例9】（95一）.第六節(jié)無窮小的比較一、無窮小的比較定義設(shè)，是兩個無窮小（都是同一個自變量在同一變化過程中的無窮小量，且與之比也是同一個自變量，同一變化過程中的極限）：如果，就說是比高階的無窮小，記為；如果，就說是比低階的無窮??；如果，就說與是同階的無窮??；如果，就說與是等價無窮小；如果，就說是的階的無窮小。二、等價無窮小替換定理設(shè)，，且存在，則存在，且。常用重要的等價無窮小：當(dāng)時，，，，，，，，注；1、等價無窮小替換定理是等價無窮小因子替換定理，只有因子可以替換，只有在乘除法中的因子才可以替換。2、等價無窮小與變量替換結(jié)合（□～□,當(dāng)□時）【例1】（91一）已知當(dāng)時，與是等價無窮小，則常數(shù).【例2】（92三）當(dāng)時，下列四個無窮小量中，哪一個是比其它三個更高階的無窮小量？.（B）.（C）.（D）.【例3】（95二）求.【例4】（89三）設(shè)，則當(dāng)時，是等價無窮小.（B）與是同階但非等價無窮小.（C）是比更高階的無窮小.（D）是比較低階的無窮小.【例5】（91一）求.【例6】求.【例7】（91三）求極限.第七節(jié)函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)一、函數(shù)連續(xù)性的定義在處連續(xù)：，其中，若在內(nèi)每一點(diǎn)處都連續(xù)，則稱在內(nèi)連續(xù)，記為，稱為的連續(xù)區(qū)間。單側(cè)連續(xù)：若，則稱在點(diǎn)左連續(xù)；若，則稱在點(diǎn)右連續(xù)?！纠?】判定在處的連續(xù)性．【例2】（88二）設(shè)在內(nèi)連續(xù)，則.【例3】（94二）若在上連續(xù)，則.二、函數(shù)的間斷點(diǎn)間斷點(diǎn)：若函數(shù)在點(diǎn)不連續(xù)，則稱為的間斷點(diǎn)。間斷點(diǎn)的分類：為第一類間斷點(diǎn)：若，都存在若，則為的跳躍間斷點(diǎn)若，則為的可去間斷點(diǎn)【例】，為可去間斷點(diǎn)；，為跳躍間斷點(diǎn)；第二類間斷點(diǎn)：若，中至少有一個不存在，則為函數(shù)的第二類間斷點(diǎn)具體分為：無窮間斷點(diǎn)；震蕩間斷點(diǎn)【例】，，所以是第二類間斷點(diǎn)，不存在，所以是第二類間斷點(diǎn)【例4】設(shè)，則[]在點(diǎn)連續(xù)，在點(diǎn)間斷（B）在點(diǎn)間斷，在點(diǎn)連續(xù)（C）在點(diǎn)，都連續(xù)（D）在點(diǎn)，都間斷【例5】設(shè)，討論函數(shù)的連續(xù)性?！纠?】（92三）設(shè)函數(shù)，問函數(shù)在處是否連續(xù)？若不連續(xù)，修改函數(shù)在處的定義，使之連續(xù).第八節(jié)連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算、初等函數(shù)的連續(xù)性及閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)一、初等函數(shù)的連續(xù)性①一切基本初等函數(shù)在其有定義的點(diǎn)都連續(xù)。②若函數(shù)與在點(diǎn)連續(xù)，則函數(shù)、及在點(diǎn)連續(xù)。③若函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)，設(shè)，而函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)，則復(fù)合函數(shù)：在點(diǎn)處連續(xù)。結(jié)論：初等函數(shù)在其定義域內(nèi)都是連續(xù)的。由于函數(shù)在其連續(xù)點(diǎn)滿足：，則初等函數(shù)在其有定義的點(diǎn)處求極限的問題就轉(zhuǎn)化為：求這一點(diǎn)的函數(shù)值。也就是：求極限代入求值?！纠?；二、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)定理1（最值與有界性定理）設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，則在該區(qū)間必有最大值和最小值且有界。幾何意義：一段連續(xù)曲線必有最高點(diǎn)和最低點(diǎn)，相應(yīng)地有最大值和最小值。定理2（介值定理）設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，則對介于和之間的任何值，在開區(qū)間內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使。幾何意義是：連續(xù)曲線與水平直線至少相交于一點(diǎn)。定理3（零點(diǎn)定理）若與異號（即），則連續(xù)曲線與軸至少有一個交點(diǎn)，亦即方程在區(qū)間內(nèi)至少有一個實(shí)根（也就是至少有一個零點(diǎn)）。【例1】證明在區(qū)間內(nèi)至少有一個根。【例2】設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，且，證明在區(qū)間上至少存在一點(diǎn)，使得：【例3】設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，且，，對任意的，證明在區(qū)間上至少存在一點(diǎn)，使得：本章強(qiáng)化練習(xí)一、函數(shù)的性質(zhì)1、（90三）設(shè)函數(shù)，則是（A）偶函數(shù).（B）無界函數(shù).（C）周期函數(shù).（D）單調(diào)函數(shù).答案：（B）2、（2004三）函數(shù)在下列哪個區(qū)間內(nèi)有界？（A）.（B）.（C）.（D）.答案：（A）二、極限的性質(zhì)1、（2003一二）設(shè)均為非負(fù)數(shù)列，且則必有對任意成立.（B）對任意成立.（C）極限不存在.（D）極限不存在.答案：（D）2、（98二）設(shè)數(shù)列與滿足則下列斷言正確的是若發(fā)散，則必發(fā)散.（B）若無界，則必有界.（C）若有界，則必為無窮小.（D）若為無窮小，則必為無窮小.答案：（D）三、極限的求解數(shù)列極限1、求，其中答案：2、設(shè)常數(shù)，求極限答案：3、求極限答案：函數(shù)極限1、（97二）求極限答案：12、（96一）,則.答案：3、（00一）求極限答案：14、（04二）求極限答案：5、（03一）.答案：無窮小1、（93二）當(dāng)時，變量是（A）無窮小.（B）無窮大.（C）有界的，但不是無窮小的.（D）無界的，但不是無窮大.答案：（B）2、（01二）設(shè)當(dāng)時，是比高階的無窮小，則是比高階的無窮小，則正整數(shù)等于（A）1.（B）2.（C）3.（D）4.答案：（B）3、（03二）若時，與是等價無窮小，則.答案：4、（05二）當(dāng)時，與是等階無窮小，則.答案：5、當(dāng)時下列無窮小是的階無窮小，求階數(shù)（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）答案：（1）2（2）3（3）4五、已知極限求參數(shù)1、（04三）若，則..答案：2、（10三）（2）若，則等于()（A）0（B）1（C）2（D）3答案：（C）3、已知，求之值答案：4、設(shè)，又，問為何值時存在。答案：5、設(shè)，則答案：6、設(shè)，則當(dāng)時是的（）（A）等價無窮?。˙）二階無窮?。–）三階無窮?。―）四階無窮小答案：（C）六、函數(shù)連續(xù)1、（00二）設(shè)函數(shù)在內(nèi)連續(xù)，且則常數(shù)滿足（A）（B）（C）（D）答案：（D）2、（97二）已知函數(shù)在處連續(xù)，則.答案：3、（08二