全等三角形全章復(fù)習(xí)和鞏固提高知識(shí)講解515

./全等三角形全章復(fù)習(xí)與鞏固[學(xué)習(xí)目標(biāo)]1.了解全等三角形的概念和性質(zhì),能夠準(zhǔn)確地辨認(rèn)全等三角形中的對(duì)應(yīng)元素；2．探索三角形全等的判定方法,能利用三角形全等進(jìn)行證明,掌握綜合法證明的格式；3．會(huì)作角的平分線,了解角的平分線的性質(zhì),能利用三角形全等證明角的平分線的性質(zhì),會(huì)利用角的平分線的性質(zhì)進(jìn)行證明.[知識(shí)網(wǎng)絡(luò)][要點(diǎn)梳理]一般三角形直角三角形判定邊角邊〔SAS角邊角〔ASA角角邊〔AAS邊邊邊〔SSS兩直角邊對(duì)應(yīng)相等一邊一銳角對(duì)應(yīng)相等斜邊、直角邊定理〔HL性質(zhì)對(duì)應(yīng)邊相等,對(duì)應(yīng)角相等〔其他對(duì)應(yīng)元素也相等,如對(duì)應(yīng)邊上的高相等備注判定三角形全等必須有一組對(duì)應(yīng)邊相等要點(diǎn)一、全等三角形的判定與性質(zhì)要點(diǎn)二、全等三角形的證明思路要點(diǎn)三、角平分線的性質(zhì)1.角的平分線的性質(zhì)定理角的平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等.

2.角的平分線的判定定理

角的內(nèi)部到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上.

3.三角形的角平分線三角形角平分線交于一點(diǎn),且到三邊的距離相等.4.與角平分線有關(guān)的輔助線在角兩邊截取相等的線段,構(gòu)造全等三角形；在角的平分線上取一點(diǎn)向角的兩邊作垂線段.要點(diǎn)四、全等三角形證明方法全等三角形是平面幾何內(nèi)容的基礎(chǔ),這是因?yàn)槿热切问茄芯刻厥馊切?、四邊形、相似圖形、圓等圖形性質(zhì)的有力工具,是解決與線段、角相關(guān)問題的一個(gè)出發(fā)點(diǎn).運(yùn)用全等三角形,可以證明線段相等、線段的和差倍分關(guān)系、角相等、兩直線位置關(guān)系等常見的幾何問題.可以適當(dāng)總結(jié)證明方法.1．證明線段相等的方法：<1>證明兩條線段所在的兩個(gè)三角形全等.<2>利用角平分線的性質(zhì)證明角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等.<3>等式性質(zhì).2．證明角相等的方法：<1>利用平行線的性質(zhì)進(jìn)行證明.<2>證明兩個(gè)角所在的兩個(gè)三角形全等.<3>利用角平分線的判定進(jìn)行證明.<4>同角〔等角的余角〔補(bǔ)角相等.<5>對(duì)頂角相等.3．證明兩條線段的位置關(guān)系〔平行、垂直的方法：可通過證明兩個(gè)三角形全等,得到對(duì)應(yīng)角相等,再利用平行線的判定或垂直定義證明.4．輔助線的添加:<1>作公共邊可構(gòu)造全等三角形；<2>倍長(zhǎng)中線法；<3>作以角平分線為對(duì)稱軸的翻折變換全等三角形；<4>利用截長(zhǎng)<或補(bǔ)短>法作旋轉(zhuǎn)變換的全等三角形.5.證明三角形全等的思維方法:〔1直接利用全等三角形判定和證明兩條線段或兩個(gè)角相等,需要我們敏捷、快速地發(fā)現(xiàn)兩條線段和兩個(gè)角所在的兩個(gè)三角形及它們?nèi)鹊臈l件.〔2如果要證明相等的兩條線段或兩個(gè)角所在的三角形全等的條件不充分時(shí),則應(yīng)根據(jù)圖形的其它性質(zhì)或先證明其他的兩個(gè)三角形全等以補(bǔ)足條件.〔3如果現(xiàn)有圖形中的任何兩個(gè)三角形之間不存在全等關(guān)系,此時(shí)應(yīng)添置輔助線,使之出現(xiàn)全等三角形,通過構(gòu)造出全等三角形來研究平面圖形的性質(zhì).[典型例題]類型一、巧引輔助線構(gòu)造全等三角形<1>．倍長(zhǎng)中線法1、已知,如圖,△ABC中,D是BC中點(diǎn),DE⊥DF,試判斷BE＋CF與EF的大小關(guān)系,并證明你的結(jié)論.[思路點(diǎn)撥]因?yàn)镈是BC的中點(diǎn),按倍長(zhǎng)中線法,倍長(zhǎng)過中點(diǎn)的線段DF,使DG＝DF,證明△EDG≌△EDF,△FDC≌△GDB,這樣就把BE、CF與EF線段轉(zhuǎn)化到了△BEG中,利用兩邊之和大于第三邊可證.[答案與解析]BE＋CF＞EF；證明：延長(zhǎng)FD到G,使DG＝DF,連接BG、EG∵D是BC中點(diǎn)∴BD＝CD又∵DE⊥DF在△EDG和△EDF中∴△EDG≌△EDF〔SAS∴EG＝EF在△FDC與△GDB中∴△FDC≌△GDB<SAS>∴CF＝BG∵BG＋BE＞EG∴BE＋CF＞EF[總結(jié)升華]有中點(diǎn)的時(shí)候作輔助線可考慮倍長(zhǎng)中線法〔或倍長(zhǎng)過中點(diǎn)的線段.[變式]已知：如圖所示,CE、CB分別是△ABC與△ADC的中線,且∠ACB＝∠ABC．求證：CD＝2CE．證明：延長(zhǎng)CE至F使EF＝CE,連接BF．∵EC為中線,∴AE＝BE．在△AEC與△BEF中,∴△AEC≌△BEF〔SAS．∴AC＝BF,∠A＝∠FBE．〔全等三角形對(duì)應(yīng)邊、角相等又∵∠ACB＝∠ABC,∠DBC＝∠ACB＋∠A,∠FBC＝∠ABC＋∠A．∴AC＝AB,∠DBC＝∠FBC．∴AB＝BF．又∵BC為△ADC的中線,∴AB＝BD．即BF＝BD．在△FCB與△DCB中,∴△FCB≌△DCB〔SAS．∴CF＝CD．即CD＝2CE．<2>．作以角平分線為對(duì)稱軸的翻折變換構(gòu)造全等三角形2、已知：如圖所示,在△ABC中,∠C＝2∠B,∠1＝∠2．求證：AB＝AC＋CD．證明：在AB上截取AE＝AC．在△AED與△ACD中,∴△AED≌△ACD〔SAS．∴ED＝CD．∴∠AED＝∠C<全等三角形對(duì)應(yīng)邊、角相等>．又∵∠C＝2∠B∴∠AED＝2∠B．由圖可知：∠AED＝∠B＋∠EDB,∴2∠B＝∠B＋∠EDB．∴∠B＝∠EDB．∴BE＝ED．即BE＝CD．∴AB＝AE＋BE＝AC＋CD<等量代換>．[總結(jié)升華]本題圖形簡(jiǎn)單,結(jié)論復(fù)雜,看似無從下手,結(jié)合圖形發(fā)現(xiàn)AB＞AC．故用截長(zhǎng)補(bǔ)短法．在AB上截取AE＝AC．這樣AB就變成了AE＋BE,而AE＝AC．只需證BE＝CD即可．從而把AB＝AC＋CD轉(zhuǎn)化為證兩線段相等的問題．[變式]如圖,AD是的角平分線,H,G分別在AC,AB上,且HD＝BD.<1>求證：∠B與∠AHD互補(bǔ)；<2>若∠B＋2∠DGA＝180°,請(qǐng)?zhí)骄烤€段AG與線段AH、HD之間滿足的等量關(guān)系,并加以證明.證明：〔1在AB上取一點(diǎn)M,使得AM＝AH,連接DM.∵∠CAD＝∠BAD,AD＝AD,∴△AHD≌△AMD.∴HD＝MD,∠AHD＝∠AMD.∵HD＝DB,∴DB＝MD.∴∠DMB＝∠B.∵∠AMD＋∠DMB＝180,∴∠AHD＋∠B＝180.即∠B與∠AHD互補(bǔ).〔2由〔1∠AHD＝∠AMD,HD＝MD,∠AHD＋∠B＝180.∵∠B＋2∠DGA＝180,∴∠AHD＝2∠DGA.∴∠AMD＝2∠DGM.∵∠AMD＝∠DGM＋∠GDM.∴2∠DGM＝∠DGM＋∠GDM.∴∠DGM＝∠GDM.∴MD＝MG.∴HD＝MG.∵AG＝AM＋MG,∴AG＝AH＋HD.〔3.利用截長(zhǎng)<或補(bǔ)短>法作構(gòu)造全等三角形3、〔2015?新賓縣模擬如圖,△ABC中,AB=AC,點(diǎn)P是三角形右外一點(diǎn),且∠APB=∠ABC．〔1如圖1,若∠BAC=60°,點(diǎn)P恰巧在∠ABC的平分線上,PA=2,求PB的長(zhǎng)；〔2如圖2,若∠BAC=60°,探究PA,PB,PC的數(shù)量關(guān)系,并證明；〔3如圖3,若∠BAC=120°,請(qǐng)直接寫出PA,PB,PC的數(shù)量關(guān)系．[思路點(diǎn)撥]〔1AB=AC,∠BAC=60°,證得△ABC是等邊三角形,∠APB=∠ABC,得到∠APB=60°,又點(diǎn)P恰巧在∠ABC的平分線上,得到∠ABP=30°,得到直角三角形,利用直角三角形的性質(zhì)解出結(jié)果．〔2在BP上截取PD,使PD=PA,連結(jié)AD,得到△ADP是等邊三角形,再通過三角形全等證得結(jié)論．〔3以A為圓心,以AP的長(zhǎng)為半徑畫弧交BP于D,連接AD,過點(diǎn)A作AF⊥BP交BP于F,得到等腰三角形,然后通過三角形全等證得結(jié)論．[答案與解析]解：〔1∵AB=AC,∠BAC=60°,∴△ABC是等邊三角形,∠APB=∠ABC,∴∠APB=60°,又∵點(diǎn)P恰巧在∠ABC的平分線上,∴∠ABP=30°,∴∠PAB=90°,∴BP=2AP,∵AP=2,∴BP=4；〔2結(jié)論：PA+PC=PB．證明：如圖1,在BP上截取PD,使PD=PA,連結(jié)AD,∵∠APB=60°,∴△ADP是等邊三角形,∴∠DAP=60°,∴∠1=∠2,PA=PD,在△ABD與△ACP中,,∴△ABD≌△ACP,∴PC=BD,∴PA+PC=PB；〔3結(jié)論：PA+PC=PB．證明：如圖2,以A為圓心,以AP的長(zhǎng)為半徑畫弧交BP于D,連接AD,過點(diǎn)A作AF⊥BP交BP于F,∴AP=AD,∵∠BAC=120°,∴∠ABC=30°,∴∠APB=30°,∴∠DAP=120°,∴∠1=∠2,在△ABD與△ACP中,,∴△ABD≌△ACP,∴BD=PC,∵AF⊥PD,∴PF=AP,∴PD=AP,∴PA+PC=PB．[總結(jié)升華]本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì),等腰三角形的判定與性質(zhì),直角三角形的性質(zhì),等邊三角形的判定和性質(zhì),截長(zhǎng)補(bǔ)短作輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．[變式]如圖,AD是△ABC的角平分線,AB＞AC,求證：AB－AC＞BD－DC證明：在AB上截取AE＝AC,連結(jié)DE∵AD是△ABC的角平分線,∴∠BAD＝∠CAD在△AED與△ACD中∴△AED≌△ADC〔SAS∴DE＝DC在△BED中,BE＞BD－DC即AB－AE＞BD－DC∴AB－AC＞BD－DC〔4.在角的平分線上取一點(diǎn)向角的兩邊作垂線段4、如圖所示,已知E為正方形ABCD的邊CD的中點(diǎn),點(diǎn)F在BC上,且∠DAE＝∠FAE．求證：AF＝AD＋CF．[思路點(diǎn)撥]四邊形ABCD為正方形,則∠D＝90°．而∠DAE＝∠FAE說明AE為∠FAD的平分線,按常規(guī)過角平分線上的點(diǎn)作出到角兩邊的距離,而E到AD的距離已有,只需作E到AF的距離EM即可,由角平分線性質(zhì)可知ME＝DE．AE＝AE．Rt△AME與Rt△ADE全等有AD＝AM．而題中要證AF＝AD＋CF．根據(jù)圖知AF＝AM＋MF．故只需證MF＝FC即可．從而把證AF＝AD＋CF轉(zhuǎn)化為證兩條線段相等的問題．[答案與解析]證明：作ME⊥AF于M,連接EF．∵四邊形ABCD為正方形,∴∠C＝∠D＝∠EMA＝90°．又∵∠DAE＝∠FAE,∴AE為∠FAD的平分線,∴ME＝DE．在Rt△AME與Rt△ADE中,∴Rt△AME≌Rt△ADE<HL>．∴AD＝AM<全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等>．又∵E為CD中點(diǎn),∴DE＝EC．∴ME＝EC．在Rt△EMF與Rt△ECF中,∴Rt△EMF≌Rt△ECF<HL>．∴MF＝FC<全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等>．由圖可知：AF＝AM＋MF,∴AF＝AD＋FC<等量代換>．[總結(jié)升華]與角平分線有關(guān)的輔助線：在角兩邊截取相等的線段,構(gòu)造全等三角形；在角的平分線上取一點(diǎn)向角的兩邊作垂線段.5、如圖所示,在△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°,D是AC上一點(diǎn),且AE垂直BD的延長(zhǎng)線于E,,求證：BD是∠ABC的平分線．[答案與解析]證明：延長(zhǎng)AE和BC,交于點(diǎn)F,

∵AC⊥BC,BE⊥AE,∠ADE=∠BDC〔對(duì)頂角相等,

∴∠EAD+∠ADE=∠CBD+∠BDC．即∠EAD=∠CBD．

在Rt△ACF和Rt△BCD中．

所以Rt△ACF≌Rt△BCD〔ASA．

則AF=BD〔全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等．

∵AE=BD,∴AE=AF,

即AE=EF．

在Rt△BEA和Rt△BEF中,

則Rt△BEA≌Rt△BEF〔SAS．

所以∠ABE=∠FBE〔全等三角形對(duì)應(yīng)角相等,

即BD是∠ABC的平分線．[總結(jié)升華]如果由題目已知無法直接得到三角形全等,不妨試著添加輔助線構(gòu)造出三角形全等的條件,使問題得以解決．平時(shí)練習(xí)中多積累一些輔助線的添加方法.類型二、全等三角形動(dòng)態(tài)型問題6、在△ABC中,∠ACB＝90°,AC＝BC,直線經(jīng)過頂點(diǎn)C,過A,B兩點(diǎn)分別作的垂線AE,BF,垂足分別為E,F.〔1如圖1當(dāng)直線不與底邊AB相交時(shí),求證：EF＝AE＋BF.〔2將直線繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn),使與底邊AB相交于點(diǎn)D,請(qǐng)你探究直線在如下位置時(shí),EF、AE、BF之間的關(guān)系,①AD＞BD；②AD＝BD；③AD＜BD.[答案與解析]證明：〔1∵AE⊥,BF⊥,∴∠AEC＝∠CFB＝90°,∠1＋∠2＝90°∵∠ACB＝90°,∴∠2＋∠3＝90°∴∠1＝∠3。∵在△ACE和△CBF中,∴△ACE≌△CBF〔AAS∴AE＝CF,CE＝BF∵EF＝CE＋CF,∴EF＝AE＋BF。〔2①EF＝AE－BF,理由如下：∵AE⊥,BF⊥,∴∠AEC＝∠CFB＝90°,∠1＋∠2＝90°∵∠ACB＝90°,∴∠2＋∠3＝90°,∴∠1＝∠3?！咴凇鰽CE和△CBF中∴△ACE≌△CBF〔AAS∴AE＝CF,CE＝BF∵EF＝CF－CE,∴EF＝AE―BF。②EF＝AE―BF③EF＝BF―AE證明同①.[總結(jié)升華]解決動(dòng)態(tài)幾何問題時(shí)要善于抓住以下幾點(diǎn)：變化前的結(jié)論及說理過程對(duì)變化后的結(jié)論及說理過程起著至關(guān)重要的作用；圖形在變化過程中,哪些關(guān)系發(fā)生了變化,哪些關(guān)系沒有發(fā)生變化；原來的線段之間、角之間的位置與數(shù)量關(guān)系是否還存在是解題的關(guān)鍵；幾種變化圖形之間,證明思路存在內(nèi)在聯(lián)系,都可模仿與借鑒原有的結(jié)論與過程,其結(jié)論有時(shí)變化,有時(shí)不發(fā)生變化.[變式][問題情境]如圖,在正方形ABCD中,點(diǎn)E是線段BG上的動(dòng)點(diǎn),AE⊥EF,EF交正方形外角∠DCG的平分線CF于點(diǎn)F．[探究展示]〔1如圖1,若點(diǎn)E是BC的