實(shí)驗(yàn)誤差理論上課用概述

實(shí)驗(yàn)誤差理論上課用概述第1頁/共72頁緒論一、物理實(shí)驗(yàn)課的任務(wù)物理學(xué)的研究方法通常是在觀察和實(shí)驗(yàn)的基礎(chǔ)上，對(duì)物理現(xiàn)象進(jìn)行分析、抽象和概括，建立物理模型，探索物理規(guī)律，進(jìn)而形成物理理論。因此，物理規(guī)律是實(shí)驗(yàn)事實(shí)的總結(jié)，而物理理論的正確與否需要實(shí)驗(yàn)來驗(yàn)證。第2頁/共72頁物理實(shí)驗(yàn)課的主要任務(wù)是：(1)通過對(duì)實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象的觀察、分析和對(duì)物理量的測(cè)量，學(xué)習(xí)有關(guān)實(shí)驗(yàn)的基本知識(shí)、基本方法和基本技能，加深對(duì)物理學(xué)原理的理解；第3頁/共72頁(2)培養(yǎng)和提高學(xué)生的科學(xué)實(shí)驗(yàn)?zāi)芰?，包括能夠通過閱讀實(shí)驗(yàn)教材或資料做好實(shí)驗(yàn)前的準(zhǔn)備工作，能夠自己動(dòng)手組建實(shí)驗(yàn)測(cè)量系統(tǒng)，能夠正確使用儀器，能夠運(yùn)用物理學(xué)原理對(duì)實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象進(jìn)行觀察、分析和判斷，能夠正確記錄、處理實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，繪制圖表，撰寫合格的實(shí)驗(yàn)報(bào)告，能夠完成具有設(shè)計(jì)性內(nèi)容的實(shí)驗(yàn)；第4頁/共72頁(3)培養(yǎng)學(xué)生的探索精神、創(chuàng)新精神和嚴(yán)格、細(xì)致、事實(shí)求是、一絲不茍的科學(xué)態(tài)度，培養(yǎng)與提高學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力和創(chuàng)新能力，培養(yǎng)學(xué)生善于動(dòng)手、樂于動(dòng)手、遵守操作規(guī)程、愛護(hù)國家財(cái)產(chǎn)、注意安全等良好的科學(xué)習(xí)慣。第5頁/共72頁二、物理實(shí)驗(yàn)課的學(xué)習(xí)特點(diǎn)實(shí)驗(yàn)課與理論課不同，它的特點(diǎn)是同學(xué)們?cè)诮處煹闹笇?dǎo)下自己動(dòng)手，獨(dú)立地完成實(shí)驗(yàn)任務(wù)。在物理實(shí)驗(yàn)過程中，同學(xué)們應(yīng)關(guān)注以下幾點(diǎn)：(1)實(shí)驗(yàn)的物理思想(2)實(shí)驗(yàn)裝置與儀器(3)及時(shí)發(fā)現(xiàn)問題第6頁/共72頁（4）實(shí)驗(yàn)記錄記錄不僅應(yīng)記下實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，還應(yīng)包括實(shí)驗(yàn)條件，儀器的型號(hào)和編號(hào)，故障及可疑現(xiàn)象等一切有價(jià)值的內(nèi)容。實(shí)驗(yàn)結(jié)束前將原始數(shù)據(jù)交給指導(dǎo)教師審查簽字方可離開實(shí)驗(yàn)室。第7頁/共72頁(5)實(shí)驗(yàn)報(bào)告實(shí)驗(yàn)報(bào)告的基本要求是：字跡清楚、文理通順、圖表正確、數(shù)據(jù)完備和結(jié)論明確。報(bào)告的內(nèi)容包括：①實(shí)驗(yàn)名稱②實(shí)驗(yàn)?zāi)康蘑蹖?shí)驗(yàn)原理：④實(shí)驗(yàn)儀器：⑤實(shí)驗(yàn)內(nèi)容⑦實(shí)驗(yàn)討論：(6)做好實(shí)驗(yàn)前的預(yù)習(xí)三、遵守實(shí)驗(yàn)規(guī)則第8頁/共72頁1.1測(cè)量1.1.1測(cè)量的概念物理實(shí)驗(yàn)以測(cè)量為基礎(chǔ)，一切物理量都是通過測(cè)量得到的。所謂測(cè)量，就是用合適的工具或儀器，通過科學(xué)的方法，將反映被測(cè)對(duì)象某些特征的物理量（被測(cè)物理量）與選作標(biāo)準(zhǔn)單位的同類物理量進(jìn)行比較的過程，其比值即為被測(cè)物理量的測(cè)量值。因此，一個(gè)物理量的測(cè)量值應(yīng)由讀數(shù)值和單位兩部分組成，缺一不可。第9頁/共72頁

按測(cè)量方法進(jìn)行分類，測(cè)量可分為直接測(cè)量和間接測(cè)量?jī)纱箢悺?.直接測(cè)量：直接將待測(cè)物理量與選定的同類物理量的標(biāo)準(zhǔn)單位相比較得到測(cè)量值的測(cè)量方法。2.間接測(cè)量：利用直接測(cè)量的量與被測(cè)量之間的已知函數(shù)關(guān)系，求得該被測(cè)物理量的測(cè)量方法。一個(gè)物理量是直接測(cè)量量還是間接測(cè)量量并不是絕對(duì)的。第10頁/共72頁1.1.2等精度測(cè)量和非等精度測(cè)量根據(jù)測(cè)量條件的不同，測(cè)量又分為等精度測(cè)量和非等精度測(cè)量。1.等精度測(cè)量:在相同的測(cè)量條件下，在短時(shí)間內(nèi)對(duì)同一物理量進(jìn)行多次重復(fù)測(cè)量，可視為等精度測(cè)量。2.非等精度測(cè)量:若測(cè)量條件全部或部分發(fā)生了明顯變化，每種測(cè)量的可靠性、精確度就會(huì)不同，這種測(cè)量稱為非等精度測(cè)量。第11頁/共72頁1.2誤差1.2.1誤差的定義1.真值與誤差真值：我們把某物理量在一定客觀條件下的真實(shí)大小，稱為該物理量的真值。誤差：測(cè)量值和真值之間總有一定的差異，我們稱測(cè)量值與真值的差值為誤差。第12頁/共72頁2.誤差的表示測(cè)量誤差的大小反映了測(cè)量結(jié)果的準(zhǔn)確程度，測(cè)量誤差可以用絕對(duì)誤差表示，也可以用相對(duì)誤差表示。

(1)

(2)第13頁/共72頁1.2.2誤差的分類根據(jù)誤差的來源、性質(zhì)和特點(diǎn)可將誤差分為以下幾類：1.系統(tǒng)誤差：在相同測(cè)量條件下多次測(cè)量同一物理量時(shí)，符號(hào)和絕對(duì)值保持不變，在改變測(cè)量條件時(shí)，它又按某一確定的規(guī)律變化的測(cè)量誤差稱為系統(tǒng)誤差。第14頁/共72頁2.隨機(jī)誤差：在極力消除或修正了一切明顯的系統(tǒng)誤差之后，在相同的測(cè)量條件下，多次測(cè)量同一量時(shí)，誤差的絕對(duì)值和符號(hào)的變化時(shí)大時(shí)小、時(shí)正時(shí)負(fù)，以不可預(yù)定的方式變化著的誤差稱為隨機(jī)誤差。3.粗大誤差：凡是用測(cè)量時(shí)的客觀條件不能合理解釋的那些突出的誤差，均可稱為粗大誤差。第15頁/共72頁1.2.3測(cè)量的精密度、準(zhǔn)確度和精確度1.精密度：表示測(cè)量結(jié)果中的隨機(jī)誤差大小的程度。2.準(zhǔn)確度：表示測(cè)量結(jié)果中的系統(tǒng)誤差大小的程度。3.精確度：是對(duì)測(cè)量結(jié)果中系統(tǒng)誤差和隨機(jī)誤差的綜合描述。第16頁/共72頁第17頁/共72頁第18頁/共72頁1.3系統(tǒng)誤差的發(fā)現(xiàn)和消除1.3.1系統(tǒng)誤差的發(fā)現(xiàn)1.理論分析法2.對(duì)比法1.3.2系統(tǒng)誤差的處理1.消除產(chǎn)生系統(tǒng)誤差的因素

2.對(duì)測(cè)量結(jié)果加以修正3.采用適當(dāng)?shù)臏y(cè)量方法第19頁/共72頁1.4隨機(jī)誤差的統(tǒng)計(jì)分布1.4.1隨機(jī)誤差的正態(tài)分布

1.正態(tài)分布規(guī)律在相同的測(cè)量條件下，對(duì)某一被測(cè)量進(jìn)行多次重復(fù)測(cè)量，由于隨機(jī)誤差的存在，測(cè)量結(jié)果，，…一般存在著一定的差異。如果該被測(cè)量的真值為a，則根據(jù)誤差的定義，將各次測(cè)量的誤差為橫坐標(biāo)，縱坐標(biāo)為誤差的概率密度分布函數(shù)。當(dāng)測(cè)量次數(shù)足夠大時(shí)，此曲線完全對(duì)稱。第20頁/共72頁2.正態(tài)分布的性質(zhì)：（1）單峰性（2）對(duì)稱性（抵償性）（3）有界性：根據(jù)誤差理論可以證明函數(shù)的數(shù)學(xué)表達(dá)式為

(3)式（3）中的σ是一個(gè)與實(shí)驗(yàn)條件有關(guān)的常數(shù)，稱之為標(biāo)準(zhǔn)誤差。第21頁/共72頁第22頁/共72頁1.4.2標(biāo)準(zhǔn)誤差及其計(jì)算1.標(biāo)準(zhǔn)誤差的物理意義按照概率理論，誤差出現(xiàn)在（-+）區(qū)間的事件是必然事件，所以，即曲線與橫軸所包圍面積恒等于1。當(dāng)時(shí)，由式（3）得（4）σ反映的是一組測(cè)量數(shù)據(jù)的離散程度，常稱它為測(cè)量列的標(biāo)準(zhǔn)誤差。

(5)。第23頁/共72頁表明，在1000次測(cè)量中，隨機(jī)誤差超過范圍的測(cè)得值大約只出現(xiàn)3次左右。在一般的十幾次測(cè)量中，幾乎不可能出現(xiàn)。依據(jù)這點(diǎn)，可對(duì)多次重復(fù)測(cè)量中，由于過失引起的異常數(shù)據(jù)加以剔除。這被稱為剔除異常數(shù)據(jù)的準(zhǔn)則。它只能用于測(cè)量次數(shù)n>10的重復(fù)測(cè)量中，對(duì)于測(cè)量次數(shù)較少的情況，需要采用另外的判別準(zhǔn)則。第24頁/共72頁2.標(biāo)準(zhǔn)誤差的數(shù)學(xué)表達(dá)式

(6)3.標(biāo)準(zhǔn)偏差的計(jì)算（1）算術(shù)平均值根據(jù)隨機(jī)誤差的正態(tài)分布規(guī)律，測(cè)得值偏大或偏小的機(jī)會(huì)相等，即絕對(duì)值相等的正負(fù)誤差出現(xiàn)的概率是相等的。因此，在排除掉系統(tǒng)誤差后，各次測(cè)得值的算術(shù)平均值

(7)第25頁/共72頁(2)算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)誤差算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)誤差，可以證明

(8)第26頁/共72頁(3)標(biāo)準(zhǔn)偏差前面對(duì)誤差的討論只有理論上的價(jià)值，下面我們討論誤差的實(shí)際估算方法。由于算術(shù)平均值最接近真值，因此可以用算術(shù)平均值參與對(duì)標(biāo)準(zhǔn)誤差的估算。我們常用如下的貝塞爾公式去估算標(biāo)準(zhǔn)誤差

(9)第27頁/共72頁算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)誤差的估計(jì)值為算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)偏差，若測(cè)量列的標(biāo)準(zhǔn)偏差為S，則

(10)

第28頁/共72頁測(cè)量結(jié)果的不確定度估算1.5.1不確定度的概念一般來說，真值是無法測(cè)得的，因此誤差也就無法得到。我們只能通過一定的方法對(duì)測(cè)量誤差進(jìn)行估計(jì)，這就需要引入不確定度的概念。不確定度：是指由于測(cè)量誤差的存在而對(duì)被測(cè)量值不能肯定的程度，是對(duì)被測(cè)量的真值所處的量值范圍的評(píng)定。

(11)式中P為置信概率，式(11)的含義是：區(qū)間(x-Δ，x+Δ)內(nèi)包含被測(cè)量x的真值的可能性是P。第29頁/共72頁用Ur表示相對(duì)不確定度，則有

(12)總不確定度可分為兩類分量，一類是可以通過多次重復(fù)測(cè)量用統(tǒng)計(jì)學(xué)方法估算出的A類分量△A，另一類是用非統(tǒng)計(jì)方法估算出的B類分量△B。將兩類分量按方和根的方法合成，就得到測(cè)量結(jié)果的總不確定度：

(13)

第30頁/共72頁(14)式中Sx是算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)偏差。但當(dāng)重復(fù)測(cè)量次數(shù)較少時(shí)，隨機(jī)誤差不再符合正態(tài)分布。這樣，需對(duì)式(14)做一個(gè)修正。即

（15）第31頁/共72頁1.5.3B類不確定度分量的估算1.儀器誤差測(cè)量?jī)x器和量具本身總是存在一定誤差，我們習(xí)慣上稱之為儀器誤差，用符號(hào)△儀表示。2.B類不確定度分量不能用統(tǒng)計(jì)學(xué)方法估算的分量為B類不確定度分量，一般指系統(tǒng)誤差。若不特別說明，則

(16)C叫置信因子,置信概率取0.95時(shí)，C=1.05。第32頁/共72頁1.5.4直接測(cè)量量的不確定度估算及測(cè)量結(jié)果表示1.單次直接測(cè)量A.在實(shí)際測(cè)量過程中，有的被測(cè)量是隨時(shí)間變化著的，我們無法對(duì)其進(jìn)行重復(fù)測(cè)量，只能進(jìn)行單次測(cè)量。B.還有些被測(cè)量，對(duì)它們的測(cè)量精度要求不高，只要進(jìn)行單次測(cè)量就可以了。2.多次直接測(cè)量對(duì)多次直接測(cè)量的數(shù)據(jù)進(jìn)行處理的一般步驟是：第33頁/共72頁①計(jì)算被測(cè)量的算術(shù)平均值，把x作為被測(cè)量的最佳估計(jì)值。②求出各測(cè)量值的殘差。③用貝塞爾公式求出測(cè)量列的標(biāo)準(zhǔn)偏差第34頁/共72頁④審查測(cè)量數(shù)據(jù)，如發(fā)現(xiàn)有異常數(shù)據(jù)，應(yīng)予以舍棄。舍棄異常數(shù)據(jù)后，再重復(fù)步驟①②③④，直至完全剔除異常數(shù)據(jù)。⑤求出算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)偏差，并查表1-1求出總不確定度的A類分量。⑥求出總不確定度⑦表示出最后測(cè)量結(jié)果利用計(jì)算器的統(tǒng)計(jì)計(jì)算功能，將多次測(cè)量結(jié)果輸人后，可直接求得X及S。（可編程）第35頁/共72頁1.5.5間接測(cè)量量的不確定度估算及測(cè)量結(jié)果表示

1.間接測(cè)量的不確定度合成公式設(shè)間接測(cè)量量y是各自相互獨(dú)立的直接測(cè)量量的函數(shù)，其函數(shù)形式為

(18)設(shè)各直接測(cè)量量的測(cè)量結(jié)果分別為則間接測(cè)量量y的最佳估計(jì)值

(19)第36頁/共72頁第37頁/共72頁第38頁/共72頁第39頁/共72頁第40頁/共72頁第41頁/共72頁第42頁/共72頁第43頁/共72頁1.6有效數(shù)字及其運(yùn)算1.6.1有效數(shù)字的概念有效數(shù)字的定義可靠數(shù)字：我們把通過直讀獲得的準(zhǔn)確數(shù)字叫做可靠數(shù)字；存疑數(shù)字：把通過估讀得到的那部分?jǐn)?shù)字叫做存疑數(shù)字。有效數(shù)字：把測(cè)量結(jié)果中能夠反映被測(cè)量大小的帶有一位存疑數(shù)字的全部數(shù)字叫有效數(shù)字。第44頁/共72頁有效數(shù)字需要注意以下幾個(gè)方面：(1)實(shí)驗(yàn)中的數(shù)字與數(shù)學(xué)上的數(shù)字是不一樣的。如在數(shù)學(xué)上8.35=8.350=8.3500,而實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)8.35≠8.350≠8.3500。(2)有效數(shù)字的位數(shù)與被測(cè)量的大小和儀器的精密度有關(guān)。(3)第一個(gè)非零數(shù)字前的零不是有效數(shù)字，第一個(gè)非零數(shù)字后的所有數(shù)字(包括零)都是有效數(shù)字。(4)單位的變換不能改變有效數(shù)字的位數(shù)。第45頁/共72頁1.6.2有效數(shù)字的舍入規(guī)則一般通用的舍入規(guī)則是：四舍六入五湊偶，即小于5者舍，大于5者入，等于5者則把尾數(shù)湊成偶數(shù)。下面介紹測(cè)量結(jié)果中，測(cè)量值與不確定度的取位與舍入規(guī)則。(1)不確定度一般取一位有效數(shù)字，當(dāng)首位非零數(shù)字是1或2時(shí)，可取兩位有效數(shù)字。相對(duì)不確定度的取位也采用相同規(guī)則。注意：對(duì)于不確定度主要考慮的是不要估計(jì)不足，因此，對(duì)其尾數(shù)一律只進(jìn)不舍。例如，若估算的不確定度為0.32mm，可以化為0.4mm。第46頁/共72頁(2)表示測(cè)量值最后結(jié)果的有效數(shù)字尾數(shù)與不確定度尾數(shù)要取齊。例如，測(cè)量結(jié)果為V=(28.96±0.05)mm3；R=(467.85±0.24)Ω等。測(cè)量值的尾數(shù)舍入仍遵從四舍六入五湊偶的原則。第47頁/共72頁1.6.3有效數(shù)字的運(yùn)算規(guī)則一般來講，有效數(shù)字的運(yùn)算過程中，有很多規(guī)則。為了應(yīng)用方便，我們本著實(shí)用的原則，加以選擇后，將其歸納整理為如下兩類。

1.一般規(guī)則

(1)可靠數(shù)字之間運(yùn)算的結(jié)果為可靠數(shù)字。

(2)可靠數(shù)字與存疑數(shù)字、存疑數(shù)字與存