數(shù)學(xué)物理方程課件第四講2次

初值問(wèn)題的分離變量法有界弦的自由振動(dòng)（定解問(wèn)題Ⅰ）物理解釋：

一根長(zhǎng)為l

的弦，兩端固定，給定初始位移和速度，在沒(méi)有強(qiáng)迫外力作用下的振動(dòng).第一步：求滿足齊次方程和齊次邊界條件的變量分離形式的解：邊界條件怎樣變化？求解的基本步驟左端是的函數(shù)，右端是的函數(shù)，由此可得只能是常數(shù)，記為。本征值問(wèn)題求解的基本步驟第一步回顧：本征值問(wèn)題X(x)：T(t)：稱為本征值稱為本征函數(shù)本征值問(wèn)題

方程的通解為

可推出

情形(A)第二步：求本征值

和本征函數(shù)X(x)，以及T(t)的表達(dá)式

其通解為可推出只有零解。情形(B)

只有零解。情形（C）方程的通解為由邊界條件X(0)=0推出再由知道為了使必須于是有這樣就找到了一族非零解本征值本征函數(shù)由此，就得到方程滿足邊界條件的變量分離的非零特解其通解為T(t)的表達(dá)式本征值和本征函數(shù)回顧第二步：求本征值

和本征函數(shù)X(x)，以及T(t)的表達(dá)式到此得到方程滿足邊界條件的變量分離的非零特解第三步：利用初始條件求得定解問(wèn)題的解利用初始條件得為了求出原定解問(wèn)題的解，還需滿足初始條件把所有特解疊加起來(lái)，并使之滿足初始條件，即取因此，應(yīng)分別是在[0,L]區(qū)間上正弦展開(kāi)的Fourier級(jí)數(shù)的系數(shù)，即

這樣，我們就給出了混合問(wèn)題的形式解。是[0,l]上的正交函數(shù)列是[0,l]上的正交函數(shù)列分離變量法又稱為Fourier級(jí)數(shù)法分離變量法的解題步驟小結(jié)第一步第二步第三步令適合方程和邊界條件，從而定出所適合的常微分方程齊次邊值問(wèn)題，以及適合的常微分方程。本征值問(wèn)題求解該常微分方程齊次邊值問(wèn)題，求出全部本征值和本征函數(shù)，并求出相應(yīng)的的表達(dá)式。將所有變量分離形式的特解疊加起來(lái)，并利用初始條件定出所有待定系數(shù)。物理意義其中

對(duì)任意時(shí)刻這說(shuō)明，任一時(shí)刻弦的形狀都是正弦波，其振幅隨不同的時(shí)間而不同。

對(duì)任意一點(diǎn)這表示在任意一點(diǎn)處都作簡(jiǎn)諧振動(dòng)。節(jié)點(diǎn)固有頻率駐波其中振幅頻率初相位

本征振動(dòng)駐波oln=4例令是齊次方程和齊次邊界條件的非零解則有故有其中定解問(wèn)題的解：其它邊界條件的混合問(wèn)題1兩端自由的邊界條件解：設(shè)得到現(xiàn)用遍除各項(xiàng)即得如果則

現(xiàn)確定積分常數(shù)

因此，否則方程無(wú)解，只有本征函數(shù)需要考慮的情形，顯然，對(duì)上述本征值、本征函數(shù)都滿足，即取n=0的情形.本征值代入T的方程和其解其中均為獨(dú)立的任意常數(shù)。由初始條件得

把右邊的函數(shù)展成傅里葉余弦級(jí)數(shù),比較兩邊的系數(shù)

一般解為得到了混合問(wèn)題的形式解。特別地，如果給定了具體的初始條件，則直接計(jì)算系數(shù)一般，小結(jié)其中是一小正數(shù)，

由初始條件所求問(wèn)題的解為

由初始條件得到

故所求問(wèn)題的解為

左端點(diǎn)自由、右端點(diǎn)固定的邊界條件其它邊界條件的混合問(wèn)題2左端點(diǎn)固定、右端點(diǎn)自由的邊界條件其它邊界條件的混合問(wèn)題3對(duì)非齊次邊界條件的處理將非齊次邊界條件化為齊次邊界條件其中