等邊三角形第一課時

13.3.2等邊三角形(第一課時)例1.如圖13-3-37，等邊三角形ABC中，D是AB邊上的動點，以CD為一邊，向上作等邊三角形EDC，連接AE． 求證：(1)△ACE≌△BCD；典型例題精析

證明：(1)∵△ABC與△EDC是等邊三角形，∴∠ACB=∠DCE=60°，AC=BC，DC=EC．又∵∠BCD=∠ACB-∠ACD，∠ACE=∠DCE-∠ACD，∴∠BCD=∠ACE，∴△ACE≌△BCD.(2)AE∥BC．(2)∵△ACE≌△BCD，∴∠ABC=∠CAE=60°.又∵∠ACB=60°，∴∠CAE=∠ACB，∴AE∥BC．1．如圖13-3-38，在△ABC中，∠B=60°，AB=AC，BC=3，則△ABC的周長為()A．9B．8 C．6 D．12A變式練習2．如圖13-3-39，AD是等邊三角形ABC的中線，AE=AD，則∠EDC=

.15°3．如圖13-3-40，△ABC和△ADE是等邊三角形，AD是BC邊上的中線．求證：BE=BD．證明：∵△ABC和△ADE是等邊三角形，AD為BC邊上的中線，∴AE=AD，AD為∠BAC的平分線，即∠CAD=∠BAD=30°，∴∠BAE=∠BAD=30°.在△ABE和△ABD中，AE=AD,∠BAE=∠BAD,AB=AB,∴△ABE≌△ABD(SAS)，∴BE=BD．例2.如圖13-3-41，在等邊三角形ABC中，∠ABC和∠ACB的平分線相交于點O，OB、OC的垂直平分線分別交BC于點E、F，連接OE、OF.

求證：△OEF是等邊三角形.證明：∵E、F分別是線段OB、OC的垂直平分線上的點，∴OE=BE,OF=CF,∴∠OBE=∠BOE,∠OCF=∠COF.∵△ABC是等邊三角形，∴∠ABC=∠ACB=60°.又∵BO、CO分別平分∠ABC和∠ACB，∴∠OBE=∠BOE=∠OCF=∠COF=30°.∴∠OEF=∠OFE=60°.∴∠EOF=180°-2×60°=60°.∴△OEF是等邊三角形.4．下列三角形：①有兩個角等于60°；②有一個角等于60°的等腰三角形；③三個外角(每個頂點處各取一個外角)都相等的三角形；④一腰上的中線也是這條腰上的高的等腰三角形.其中是等邊三角形的有()A．①②③ B．①②④ C．①③ D．①②③④變式練習D5．如圖13-3-42，木工師傅從邊長為90cm的正三角形木板上鋸出一正六邊形木塊，那么正六邊形木塊的邊長為

cm.306.如圖13-3-43，△ABC是等邊三角形，點D、E、F分別是線段AB、BC、CA上的點.(1)若AD=BE=CF，問△DEF是等邊三角形嗎？試證明你的結論.解：(1)△DEF是等邊三角形.證明如下：∵△ABC是等邊三角形，∴∠A=∠B=∠C，AB=BC=CA.又∵AD=BE=CF，∴DB=EC=FA.∴△ADF≌△BED≌△CFE.∴DF=DE=EF，即△DEF是等邊三角形.(2)AD=BE=CF成立.證明如下：∵△DEF是等邊三角形，∴DE=EF=FD，∠FDE=∠DEF=∠EFD=60°.∴∠1+∠2=120°.又∵△ABC是等邊三角形，∴∠A=∠B=∠C=60°.∴∠2+∠3=120°.∴∠1=∠3.同理∠3=∠4.∴△ADF≌△BED≌△CFE.∴AD=BE=CF.(2)若△DEF是等邊三角形，問AD=BE=CF成立嗎？試證明你的結論.1．下列命題中錯誤的是()A．等邊三角形一定是銳角三角形B．等邊三角形的三條中線所在直線是它的三條 對稱軸C．有一內(nèi)角為60°的等腰三角形是等邊三角形D．有兩個外角相等的等腰三角形是等邊三角形D基礎過關精練2．如圖13-3-44，在等邊三角形ABC中，高AD、BE相交于點F，連接DE，則∠FED的度數(shù)是()A．15° B．20° C．25° D．30°D3．如圖13-3-45，若△ABC是等邊三角形，AB=6，BD是∠ABC的平分線，延長BC到E，使CE=CD，則BE等于()A．7 B．8 C．9 D．10C4．(2016泰州)如圖13-3-46，已知直線l1∥l2，將等邊三角形如圖放置.若∠α=40°，則∠β=

．20°5．如圖13-3-47，AB=AC=AD=4cm，DB=DC.若∠ABC=60°，則BE為

，∠ABD=

．2cm75°6．如圖13-3-48，△ABC為等邊三角形，∠1=∠2=∠3，則∠BEC的度數(shù)為

．120°7．如圖13-3-49，△ABC與△ADE都是等邊三角形，點B、C、D在同一直線上． 求證：(1)CE=AC+DC；證明：(1)∵△ABC與△ADE是等邊三角形，∴AE=AD，BC=AC=AB，∠BAC=∠DAE=60°，∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD，即∠BAD=∠CAE，∴△BAD≌△CAE，∴BD=EC．∵BD=BC+CD=AC+CD，∴CE=BD=AC+CD．(2)∠ECD=60°．(2)∵△BAD≌△CAE，∴∠ACE=∠ABD=60°，∴∠ECD=180°-∠ACB-∠ACE=60°.8．如圖13-3-50，已知點D為等腰Rt△ABC內(nèi)一點，∠CAD=∠CBD=15°，E為AD延長線上的一點，且CE=CA．

(1)求證：DE平分∠BDC；證明：(1)在等腰Rt△ABC中，∵∠CAD=∠CBD=15°，∴∠BAD=∠ABD=45°-15°=30°，∴BD=AD，∴△BDC≌△ADC，∴∠DCA=∠DCB=45°．由∠BDM=∠ABD+∠BAD=30°+30°=60°，∠EDC=∠DAC+∠DCA=15°+45°=60°，∴∠BDM=∠EDC，∴DE平分∠BDC.(2)若點M在DE上，且DC=DM，求證：ME=BD．(2)連接MC.∵DC=DM，且∠MDC=60°，∴△MDC是等邊三角形，即CM=CD．又∵∠EMC=180°-∠DMC=180°-60°=120°，∠ADC=180°-∠MDC=180°-60°=120°，∴∠EMC=∠ADC．又∵CE=CA,∴∠DAC=∠CEM=15°，∴△ADC≌△EMC，∴ME=AD=DB．9．如圖13-3-51，已知△ABC和△DCE均是等邊三角形，點B、C、E在同一條直線上，AE與CD交于點G，AC與BD交于點F，連接FG，則下列結論：①AE=BD；②AG=BF；③FG∥BE； ④CF=CG；⑤△CFG是等邊三角形.其中正確結論有()A．2個 B．3個 C．4個 D．5個能力提升演練D10．如圖13-3-52,在等邊△ABC中，點D、E分別在邊AB、BC上，把△BDE沿直線DE翻折，使點B落在點B′處，DB′、EB′分別交邊AC于點F、G.若∠ADF=80°，則∠EGC的度數(shù)為

．80°11．如圖13-3-53，點E是等邊△ABC內(nèi)一點，且EA=EB，△ABC外一點D滿足BD=AC，且BE平分∠DBC，則∠BDE的度數(shù)為

．30°12．如圖13-3-54，等邊△ABC的邊長為2,且DB= DC,∠BDC=120°.現(xiàn)有∠MDN=60°,其兩邊分別與AB、AC交于點M、N，連接NM.將∠MDN繞著D點旋轉，使得M、N始終在邊AB和邊AC上.試判斷在這一過程中，△AMN的周長是否發(fā)生變化？若沒有變化，請求出其周長；若發(fā)生變化，請說明理由.拓展探究訓練解：在旋轉過程中，△AMN的周長不變.理由如下：延長AC至點P，使CP=BM,連接DP.∵DB=DC且∠BDC=120°,∴∠DBC=∠DCB=30°.又∵△ABC是等邊三角形，∴∠ABC=∠ACB=60°,∴∠MBD=∠ABC+∠DBC=90°,同理可得∠NCD=90°,∴∠PCD=∠NCD=∠MBD=9