聚焦數(shù)學核心概念

聚焦數(shù)學核心概念第一頁，共四十二頁，2022年，8月28日一、我們面臨的現(xiàn)實課改迅猛推進亟待解決的問題多多：新課程提倡的理念難把握；新教材的改革設計難適應；教學方式、學習方式的變革難跟上；課程改革與考試評價制度的改革不配套；等。第二頁，共四十二頁，2022年，8月28日二、教學層面的問題課堂教學抓不住數(shù)學概念的核心，沒有前后一致、貫穿始終的數(shù)學思想主線，在學生沒有基本了解數(shù)學概念和思想方法時就進行大量解題操練，導致教學缺乏必要的根基，教學活動不得要領，在無關大局的細枝末節(jié)上耗費學生寶貴時間，數(shù)學課堂中效益、質量“雙低下”。學生花大量時間學數(shù)學，做無數(shù)的練習，但數(shù)學基礎仍很脆弱。我國數(shù)學教學質量滑坡的現(xiàn)象并沒有隨課改而得到改觀，而是越來越嚴重了。第三頁，共四十二頁，2022年，8月28日例1“平方根”中的不當問題是近似值，無法在數(shù)軸上表示準確。帶根號的數(shù)和分數(shù)統(tǒng)稱實數(shù)。數(shù)軸上任意兩點之間都有無數(shù)個點。若a＞|b|，則a2＞b2。的整數(shù)部分和小數(shù)部分分別是m，n，求m－n。第四頁，共四十二頁，2022年，8月28日三、教師層面的問題分析對數(shù)學課程、教材的體系結構、內容及其組織方式把握不準，特別是對中學數(shù)學核心概念和思想方法的體系結構缺乏必要的了解；對中學數(shù)學概念的核心把握不準確，對概念所反映的思想方法的理解水平不高；只能抽象籠統(tǒng)地描述數(shù)學教學目標，導致教學措施無的放矢，對是否已經達成教學目標心中無數(shù)；第五頁，共四十二頁，2022年，8月28日對自己設計的教學方案不能取得預期效果，不能從設計層面給出令人信服的解釋，往往只把問題歸咎于教學系統(tǒng)的復雜性；缺乏有效的發(fā)現(xiàn)、分析和解決教學問題的方法，往往感到教學問題的存在而不知其所在，或者發(fā)現(xiàn)了問題而找不到原因，甚至發(fā)現(xiàn)了問題及其根源也找不出解決問題的有效方法；采取的教學方法、策略和模式都比較單一，機械地套用一些已有的解決教學問題方案，缺乏根據教學問題和教學條件創(chuàng)建解決教學問題的新方法。第六頁，共四十二頁，2022年，8月28日四、努力的方向——專業(yè)化數(shù)學學科的專業(yè)素養(yǎng)有較好的數(shù)學功底（教好數(shù)學的前提是自己先學好數(shù)學），對數(shù)學內容所反映的思想、精神有深入的體會和理解；懂得哪些數(shù)學知識對學生的發(fā)展具有根本的重要性；具有揭示數(shù)學知識所蘊含的科學方法和理性思維過程的能力和“技術”；等。第七頁，共四十二頁，2022年，8月28日教育學科的專業(yè)素養(yǎng)：一個人的可持續(xù)發(fā)展，不僅要有扎實的雙基，而且要有積極的生活態(tài)度、主動發(fā)展的需求、終身學習的愿望、熱情、能力和堅持性、健康向上的人生觀和價值觀。教師在這些方面對學生的影響力，就是教師的教育學科專業(yè)素養(yǎng)的最重要指標。第八頁，共四十二頁，2022年，8月28日“兩個素養(yǎng)”的結合善于抓住數(shù)學的核心概念和思想方法，懂得削枝強干；對數(shù)學知識中蘊含的價值觀資源特別敏感，有挖掘這些資源并用與學生身心發(fā)展相適應的方式表述的能力，使數(shù)學知識教學與價值觀影響有機整合；方法多樣、有趣味、少而精；能有效激發(fā)學生的學習興趣，發(fā)揮學生學習的主動性、積極性，使學生有效學習、主動發(fā)展，使他們不僅學業(yè)成就得到提高，而且發(fā)展均衡。第九頁，共四十二頁，2022年，8月28日五、數(shù)學課堂教學——教什么構建反映數(shù)學內在發(fā)展邏輯、符合學生數(shù)學認知規(guī)律的中學數(shù)學核心概念、思想方法結構體系，并使核心概念、思想方法在數(shù)學課堂中得到落實，是提高數(shù)學課堂教學質量和效益的突破口，同時也是數(shù)學課堂教學改革的抓手。因為使學生真正領會和把握數(shù)學概念的核心，領悟概念所反映的數(shù)學思想方法，學會數(shù)學地思維，才能形成功能強大的數(shù)學認知結構，切實發(fā)展數(shù)學能力，提高數(shù)學素養(yǎng)。第十頁，共四十二頁，2022年，8月28日例2代數(shù)的核心概念、思想方法有系統(tǒng)、有效力地運用數(shù)系的加、乘和指數(shù)運算的運算律，去解決各種各樣的代數(shù)問題：各種式（整式、分式、根式等）的運算——用運算律進行“等價變換”；方程——未知數(shù)、已知數(shù)之間的特定代數(shù)關系；解方程——由代數(shù)方程式確定其中的“未知數(shù)”的值；第十一頁，共四十二頁，2022年，8月28日解方程的基本原理：運算律對任何數(shù)都成立（通性），所以對“未知數(shù)”也成立、可用。有系統(tǒng)地用運算律化簡所給的方程，從而確定其中的未知數(shù)——化未知為已知。一元一次方程是基礎，其它都設法向它轉化。許多問題是在引進字母表示數(shù)時才水到渠成地提出來的——從處理單個的數(shù)到處理一類問題。第十二頁，共四十二頁，2022年，8月28日從代數(shù)式（符號代表數(shù)）、方程（符號代表未知數(shù)）到函數(shù)（符號代表變數(shù)）是一個飛躍，這是看問題角度的根本變化——從變化過程中考察規(guī)律，函數(shù)是研究變化規(guī)律的。一次函數(shù)y=kx+b的變化規(guī)律由誰反映——不僅明確x，y的意義，而且明確k，b的意義——變化規(guī)律由k，b決定。其他函數(shù)也類似。第十三頁，共四十二頁，2022年，8月28日六、基于概念的核心、思想方法的教學設計框架1．教學設計的基本線索概念及其解析（概念的核心）；目標和目標解析；教學問題診斷（達成目標已有條件和需要的新條件的分析）；教學過程設計；目標檢測的設計。第十四頁，共四十二頁，2022年，8月28日2．概念和概念解析概念：內涵和外延的準確表達；概念解析：重點是在揭示內涵的基礎上說明概念的核心之所在；對概念在中學數(shù)學中的地位的分析，對內容所反映的思想方法的明確。在此基礎上確定教學重點。第十五頁，共四十二頁，2022年，8月28日例2“三線八角”概念的核心定義：“兩條直線”被“第三條直線所截”，得到八個角。對頂角、內錯角、同位角、同旁內角，都是關于一對角的位置關系；關鍵是：根據結構特征進行分類。第十六頁，共四十二頁，2022年，8月28日例3一元二次方程知識：概念（未知數(shù)、系數(shù)）；解法和公式——通法；判別式——解的情況（通性）；根與系數(shù)的關系——通性。思想方法：等價轉化（配方法）；化歸思想：二次化一次（因式分解、開方等運算）；對方程的根、系數(shù)之間關系進行研究的思想——方法論層次。第十七頁，共四十二頁，2022年，8月28日3．目標和目標解析教學目標是教學目的的系統(tǒng)化、具體化，是教學活動每一階段所要實現(xiàn)的教學結果，是衡量教學質量的標準。目標：用了解、理解、掌握及行為動詞經歷、體驗、探究等表述目標；闡述清楚經過教學，學生將會有哪些變化，會做哪些以前不會做的事。目標解析：解析了解、理解、掌握、經歷、體驗、探究等的含義。一般的，核心概念的教學目標都應進行適當分解。第十八頁，共四十二頁，2022年，8月28日例4“三線八角”的教學目標目標：識別同位角……（課標）。目標解析：1．觀察兩條直線被第三條直線所截的圖形，分析其結構特征，獲得同位角……概念。2．以“結構特征”為依據，將角分類，得到角之間的關系。第十九頁，共四十二頁，2022年，8月28日例5一元二次方程的解法目標：掌握一元二次方程的解法。解析：（1）能用具體的方法，如開方法、因式分解法、配方法、公式法等解方程；（2）能用等價轉化（如x2=a、(x－x1)(x－x2)=0等）、化歸（通過代數(shù)運算轉化方程，化未知為已知）等探究一元二次方程的解。第二十頁，共四十二頁，2022年，8月28日例6一元二次方程根的判別式目標：掌握一元二次方程根的判別式。解析：——對“掌握”的內涵作具體界定。（1）在用配方法推導求根公式的過程中，理解判別式的結構和作用；（2）能用判別式判斷數(shù)字系數(shù)的一元二次方程根的情況；（3）能用判別式判斷字母系數(shù)的一元二次方程根的情況；（4）能應用判別式解決其他情境中的問題。第二十一頁，共四十二頁，2022年，8月28日例7根與系數(shù)的關系目標：掌握一元二次方程根與系數(shù)的關系。解析：（1）提出問題的方法——根的個數(shù)、符號、根和根之間的關系、根和系數(shù)的關系（根由系數(shù)唯一確定、具體關系的探究）、由根作新的方程（解方程的反問題）、根—多項式的因子……；（2）通過運算所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律——代數(shù)的基本方法；等等。第二十二頁，共四十二頁，2022年，8月28日教學目標的三層級模型第一層級主成分：以記憶為主要標志,培養(yǎng)的是以記憶為主的基本能力。測試：基本事實、方法的記憶水平。標準：獲得的知識量以及掌握的準確性。第二十三頁，共四十二頁，2022年，8月28日第二層級主成分：以理解為主要標志，培養(yǎng)的是以理解為主的基本能力；測試：能否順利地解決常規(guī)性、通用性問題，包括能否滿意地解決綜合性問題；標準：運用知識的水平，如正確、敏捷、靈活、深刻等。第二十四頁，共四十二頁，2022年，8月28日第三層級主成分：以探究為主要標志，培養(yǎng)以評判為主的基本能力；測試：能否對解決問題的過程進行反思，即檢驗過程的正確性、合理性及其優(yōu)劣；標準：思維的深刻性、批判性、全面性、獨創(chuàng)性等。第二十五頁，共四十二頁，2022年，8月28日4．教學問題診斷分析教師根據自己以往的教學經驗，數(shù)學內在的邏輯關系以及思維發(fā)展理論，對本內容在教與學中可能遇到的障礙進行的預測，并對出現(xiàn)障礙的原因進行分析。在上述分析的基礎上指出教學難點。第二十六頁，共四十二頁，2022年，8月28日例8“三線八角”中的難點學生初次接觸平面幾何關于位置關系、大小度量的討論，在思想方法上存在困難外，對于認識幾何問題的一般程序也存在困難。復雜的圖形會使學生感到無從下手。教學難點：對圖形結構特點的理解并正確地對角分類；在具體（變式）圖形中正確找出有關的角。第二十七頁，共四十二頁，2022年，8月28日∠B和∠BCE可以看成是直線

，

被直線

所截得的

角；∠B和∠BCD可以看成是直線

，

被直線

所截得的

角。

BEACD第二十八頁，共四十二頁，2022年，8月28日例9一元二次方程中的難點真正的難點還是在思想方法上：等價轉化（配方法）；化歸思想：二次化一次（因式分解、開方等運算）；對方程的根、系數(shù)之間關系進行研究的思想——如何提出研究的問題；分類討論思想。具體操作上：由平方根概念所附帶產生的難點。第二十九頁，共四十二頁，2022年，8月28日4．教學支持條件分析為了有效實現(xiàn)教學目標，根據問題診斷分析和學習行為分析，分析應當采取哪些教學支持條件，以幫助學生更有效地進行數(shù)學思維，使他們更好地發(fā)現(xiàn)數(shù)學規(guī)律。當前，可以適當?shù)貍戎赜谛畔⒓夹g的使用，以構建有利于學生建立概念的“多元聯(lián)系表示”的教學情境。第三十頁，共四十二頁，2022年，8月28日5．教學過程設計強調教學過程的內在邏輯線索；給出學生思考和操作的具體描述；突出核心概念的思維建構和技能操作過程，突出思想方法的領悟過程分析；以“問題串”方式呈現(xiàn)為主，應當認真思考每一問題的設計意圖、師生活動預設，以及需要概括的概念要點、思想方法，需要進行的技能訓練，需要培養(yǎng)的能力，等；根據內容特點設計教學過程，如基于問題解決的設計，講授式教學設計，自主探究式教學設計，合作交流式教學設計，等。第三十一頁，共四十二頁，2022年，8月28日例10“三線八角”的教學過程問題1（1）請回顧一下角的概念。（2）對頂角、鄰補角是怎樣形成的？我們是怎樣研究它們的性質的？設計意圖：強調從結構特征、討論問題的思想方法等角度，對已有知識進行復習回顧，為新知識的學習提供借鑒。第三十二頁，共四十二頁，2022年，8月28日先行組織者：兩條直線相交形成四個角，它們的關系（性質）已經清楚（特例是垂直）。接下來可以研究一條直線與兩條直線分別相交，可以得到哪些角，它們又有什么關系（性質）。意圖：提出問題的方法、研究思路的引導。第三十三頁，共四十二頁，2022年，8月28日問題2：畫出一條直線與兩條直線分別相交的圖形。共得到幾個角？你知道其中哪些角的關系？設計意圖：培養(yǎng)學生畫圖的習慣；分析出需要研究的新問題（思維的邏輯性）。問題3：我們沒有研究過的是哪些角的關系？如何把這些角分類？12設計意圖：引導學生學34

習根據一定標準分類的研56究方法。78第三十四頁，共四十二頁，2022年，8月28日問題4：如圖，直線AB，CD被直線EF所截?！?與沒有公共定點的∠5，∠6，∠7，∠8的關系可以怎樣描述？可分為幾類？設計意圖：讓學生自己描述這些角的結構特征，并分類。EB說明：本問題是本課A1的關鍵，可多給時間，56教師可在確定分類標準C78D上給予引導。F第三十五頁，共四十二頁，2022年，8月28日問題5：圖中，（1）與∠1、∠5具有相同位置關系的角還有哪幾對？（2）還有哪幾對角的位置關系是問題4中沒有包括的？設計意圖：從圖中識別同位角，及時鞏固概念；引導學生觀察圖形，從分類角度認識內錯角、同旁內角概念。可以安排讓學生找出所有內錯角、同旁內角的活動。教科書只敘述了事實，給了名字。數(shù)學思想方法沒有明確——要學生自己悟。第三十六頁，共四十二頁，202