聚焦數(shù)學(xué)核心概念

聚焦數(shù)學(xué)核心概念第一頁(yè)，共四十二頁(yè)，2022年，8月28日一、我們面臨的現(xiàn)實(shí)課改迅猛推進(jìn)亟待解決的問(wèn)題多多：新課程提倡的理念難把握；新教材的改革設(shè)計(jì)難適應(yīng)；教學(xué)方式、學(xué)習(xí)方式的變革難跟上；課程改革與考試評(píng)價(jià)制度的改革不配套；等。第二頁(yè)，共四十二頁(yè)，2022年，8月28日二、教學(xué)層面的問(wèn)題課堂教學(xué)抓不住數(shù)學(xué)概念的核心，沒(méi)有前后一致、貫穿始終的數(shù)學(xué)思想主線，在學(xué)生沒(méi)有基本了解數(shù)學(xué)概念和思想方法時(shí)就進(jìn)行大量解題操練，導(dǎo)致教學(xué)缺乏必要的根基，教學(xué)活動(dòng)不得要領(lǐng)，在無(wú)關(guān)大局的細(xì)枝末節(jié)上耗費(fèi)學(xué)生寶貴時(shí)間，數(shù)學(xué)課堂中效益、質(zhì)量“雙低下”。學(xué)生花大量時(shí)間學(xué)數(shù)學(xué)，做無(wú)數(shù)的練習(xí)，但數(shù)學(xué)基礎(chǔ)仍很脆弱。我國(guó)數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量滑坡的現(xiàn)象并沒(méi)有隨課改而得到改觀，而是越來(lái)越嚴(yán)重了。第三頁(yè)，共四十二頁(yè)，2022年，8月28日例1“平方根”中的不當(dāng)問(wèn)題是近似值，無(wú)法在數(shù)軸上表示準(zhǔn)確。帶根號(hào)的數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱(chēng)實(shí)數(shù)。數(shù)軸上任意兩點(diǎn)之間都有無(wú)數(shù)個(gè)點(diǎn)。若a＞|b|，則a2＞b2。的整數(shù)部分和小數(shù)部分分別是m，n，求m－n。第四頁(yè)，共四十二頁(yè)，2022年，8月28日三、教師層面的問(wèn)題分析對(duì)數(shù)學(xué)課程、教材的體系結(jié)構(gòu)、內(nèi)容及其組織方式把握不準(zhǔn)，特別是對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)核心概念和思想方法的體系結(jié)構(gòu)缺乏必要的了解；對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)概念的核心把握不準(zhǔn)確，對(duì)概念所反映的思想方法的理解水平不高；只能抽象籠統(tǒng)地描述數(shù)學(xué)教學(xué)目標(biāo)，導(dǎo)致教學(xué)措施無(wú)的放矢，對(duì)是否已經(jīng)達(dá)成教學(xué)目標(biāo)心中無(wú)數(shù)；第五頁(yè)，共四十二頁(yè)，2022年，8月28日對(duì)自己設(shè)計(jì)的教學(xué)方案不能取得預(yù)期效果，不能從設(shè)計(jì)層面給出令人信服的解釋?zhuān)话褑?wèn)題歸咎于教學(xué)系統(tǒng)的復(fù)雜性；缺乏有效的發(fā)現(xiàn)、分析和解決教學(xué)問(wèn)題的方法，往往感到教學(xué)問(wèn)題的存在而不知其所在，或者發(fā)現(xiàn)了問(wèn)題而找不到原因，甚至發(fā)現(xiàn)了問(wèn)題及其根源也找不出解決問(wèn)題的有效方法；采取的教學(xué)方法、策略和模式都比較單一，機(jī)械地套用一些已有的解決教學(xué)問(wèn)題方案，缺乏根據(jù)教學(xué)問(wèn)題和教學(xué)條件創(chuàng)建解決教學(xué)問(wèn)題的新方法。第六頁(yè)，共四十二頁(yè)，2022年，8月28日四、努力的方向——專(zhuān)業(yè)化數(shù)學(xué)學(xué)科的專(zhuān)業(yè)素養(yǎng)有較好的數(shù)學(xué)功底（教好數(shù)學(xué)的前提是自己先學(xué)好數(shù)學(xué)），對(duì)數(shù)學(xué)內(nèi)容所反映的思想、精神有深入的體會(huì)和理解；懂得哪些數(shù)學(xué)知識(shí)對(duì)學(xué)生的發(fā)展具有根本的重要性；具有揭示數(shù)學(xué)知識(shí)所蘊(yùn)含的科學(xué)方法和理性思維過(guò)程的能力和“技術(shù)”；等。第七頁(yè)，共四十二頁(yè)，2022年，8月28日教育學(xué)科的專(zhuān)業(yè)素養(yǎng)：一個(gè)人的可持續(xù)發(fā)展，不僅要有扎實(shí)的雙基，而且要有積極的生活態(tài)度、主動(dòng)發(fā)展的需求、終身學(xué)習(xí)的愿望、熱情、能力和堅(jiān)持性、健康向上的人生觀和價(jià)值觀。教師在這些方面對(duì)學(xué)生的影響力，就是教師的教育學(xué)科專(zhuān)業(yè)素養(yǎng)的最重要指標(biāo)。第八頁(yè)，共四十二頁(yè)，2022年，8月28日“兩個(gè)素養(yǎng)”的結(jié)合善于抓住數(shù)學(xué)的核心概念和思想方法，懂得削枝強(qiáng)干；對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)中蘊(yùn)含的價(jià)值觀資源特別敏感，有挖掘這些資源并用與學(xué)生身心發(fā)展相適應(yīng)的方式表述的能力，使數(shù)學(xué)知識(shí)教學(xué)與價(jià)值觀影響有機(jī)整合；方法多樣、有趣味、少而精；能有效激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，發(fā)揮學(xué)生學(xué)習(xí)的主動(dòng)性、積極性，使學(xué)生有效學(xué)習(xí)、主動(dòng)發(fā)展，使他們不僅學(xué)業(yè)成就得到提高，而且發(fā)展均衡。第九頁(yè)，共四十二頁(yè)，2022年，8月28日五、數(shù)學(xué)課堂教學(xué)——教什么構(gòu)建反映數(shù)學(xué)內(nèi)在發(fā)展邏輯、符合學(xué)生數(shù)學(xué)認(rèn)知規(guī)律的中學(xué)數(shù)學(xué)核心概念、思想方法結(jié)構(gòu)體系，并使核心概念、思想方法在數(shù)學(xué)課堂中得到落實(shí)，是提高數(shù)學(xué)課堂教學(xué)質(zhì)量和效益的突破口，同時(shí)也是數(shù)學(xué)課堂教學(xué)改革的抓手。因?yàn)槭箤W(xué)生真正領(lǐng)會(huì)和把握數(shù)學(xué)概念的核心，領(lǐng)悟概念所反映的數(shù)學(xué)思想方法，學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)地思維，才能形成功能強(qiáng)大的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)，切實(shí)發(fā)展數(shù)學(xué)能力，提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)。第十頁(yè)，共四十二頁(yè)，2022年，8月28日例2代數(shù)的核心概念、思想方法有系統(tǒng)、有效力地運(yùn)用數(shù)系的加、乘和指數(shù)運(yùn)算的運(yùn)算律，去解決各種各樣的代數(shù)問(wèn)題：各種式（整式、分式、根式等）的運(yùn)算——用運(yùn)算律進(jìn)行“等價(jià)變換”；方程——未知數(shù)、已知數(shù)之間的特定代數(shù)關(guān)系；解方程——由代數(shù)方程式確定其中的“未知數(shù)”的值；第十一頁(yè)，共四十二頁(yè)，2022年，8月28日解方程的基本原理：運(yùn)算律對(duì)任何數(shù)都成立（通性），所以對(duì)“未知數(shù)”也成立、可用。有系統(tǒng)地用運(yùn)算律化簡(jiǎn)所給的方程，從而確定其中的未知數(shù)——化未知為已知。一元一次方程是基礎(chǔ)，其它都設(shè)法向它轉(zhuǎn)化。許多問(wèn)題是在引進(jìn)字母表示數(shù)時(shí)才水到渠成地提出來(lái)的——從處理單個(gè)的數(shù)到處理一類(lèi)問(wèn)題。第十二頁(yè)，共四十二頁(yè)，2022年，8月28日從代數(shù)式（符號(hào)代表數(shù)）、方程（符號(hào)代表未知數(shù)）到函數(shù)（符號(hào)代表變數(shù)）是一個(gè)飛躍，這是看問(wèn)題角度的根本變化——從變化過(guò)程中考察規(guī)律，函數(shù)是研究變化規(guī)律的。一次函數(shù)y=kx+b的變化規(guī)律由誰(shuí)反映——不僅明確x，y的意義，而且明確k，b的意義——變化規(guī)律由k，b決定。其他函數(shù)也類(lèi)似。第十三頁(yè)，共四十二頁(yè)，2022年，8月28日六、基于概念的核心、思想方法的教學(xué)設(shè)計(jì)框架1．教學(xué)設(shè)計(jì)的基本線索概念及其解析（概念的核心）；目標(biāo)和目標(biāo)解析；教學(xué)問(wèn)題診斷（達(dá)成目標(biāo)已有條件和需要的新條件的分析）；教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)；目標(biāo)檢測(cè)的設(shè)計(jì)。第十四頁(yè)，共四十二頁(yè)，2022年，8月28日2．概念和概念解析概念：內(nèi)涵和外延的準(zhǔn)確表達(dá)；概念解析：重點(diǎn)是在揭示內(nèi)涵的基礎(chǔ)上說(shuō)明概念的核心之所在；對(duì)概念在中學(xué)數(shù)學(xué)中的地位的分析，對(duì)內(nèi)容所反映的思想方法的明確。在此基礎(chǔ)上確定教學(xué)重點(diǎn)。第十五頁(yè)，共四十二頁(yè)，2022年，8月28日例2“三線八角”概念的核心定義：“兩條直線”被“第三條直線所截”，得到八個(gè)角。對(duì)頂角、內(nèi)錯(cuò)角、同位角、同旁內(nèi)角，都是關(guān)于一對(duì)角的位置關(guān)系；關(guān)鍵是：根據(jù)結(jié)構(gòu)特征進(jìn)行分類(lèi)。第十六頁(yè)，共四十二頁(yè)，2022年，8月28日例3一元二次方程知識(shí)：概念（未知數(shù)、系數(shù)）；解法和公式——通法；判別式——解的情況（通性）；根與系數(shù)的關(guān)系——通性。思想方法：等價(jià)轉(zhuǎn)化（配方法）；化歸思想：二次化一次（因式分解、開(kāi)方等運(yùn)算）；對(duì)方程的根、系數(shù)之間關(guān)系進(jìn)行研究的思想——方法論層次。第十七頁(yè)，共四十二頁(yè)，2022年，8月28日3．目標(biāo)和目標(biāo)解析教學(xué)目標(biāo)是教學(xué)目的的系統(tǒng)化、具體化，是教學(xué)活動(dòng)每一階段所要實(shí)現(xiàn)的教學(xué)結(jié)果，是衡量教學(xué)質(zhì)量的標(biāo)準(zhǔn)。目標(biāo)：用了解、理解、掌握及行為動(dòng)詞經(jīng)歷、體驗(yàn)、探究等表述目標(biāo)；闡述清楚經(jīng)過(guò)教學(xué)，學(xué)生將會(huì)有哪些變化，會(huì)做哪些以前不會(huì)做的事。目標(biāo)解析：解析了解、理解、掌握、經(jīng)歷、體驗(yàn)、探究等的含義。一般的，核心概念的教學(xué)目標(biāo)都應(yīng)進(jìn)行適當(dāng)分解。第十八頁(yè)，共四十二頁(yè)，2022年，8月28日例4“三線八角”的教學(xué)目標(biāo)目標(biāo)：識(shí)別同位角……（課標(biāo)）。目標(biāo)解析：1．觀察兩條直線被第三條直線所截的圖形，分析其結(jié)構(gòu)特征，獲得同位角……概念。2．以“結(jié)構(gòu)特征”為依據(jù)，將角分類(lèi)，得到角之間的關(guān)系。第十九頁(yè)，共四十二頁(yè)，2022年，8月28日例5一元二次方程的解法目標(biāo)：掌握一元二次方程的解法。解析：（1）能用具體的方法，如開(kāi)方法、因式分解法、配方法、公式法等解方程；（2）能用等價(jià)轉(zhuǎn)化（如x2=a、(x－x1)(x－x2)=0等）、化歸（通過(guò)代數(shù)運(yùn)算轉(zhuǎn)化方程，化未知為已知）等探究一元二次方程的解。第二十頁(yè)，共四十二頁(yè)，2022年，8月28日例6一元二次方程根的判別式目標(biāo)：掌握一元二次方程根的判別式。解析：——對(duì)“掌握”的內(nèi)涵作具體界定。（1）在用配方法推導(dǎo)求根公式的過(guò)程中，理解判別式的結(jié)構(gòu)和作用；（2）能用判別式判斷數(shù)字系數(shù)的一元二次方程根的情況；（3）能用判別式判斷字母系數(shù)的一元二次方程根的情況；（4）能應(yīng)用判別式解決其他情境中的問(wèn)題。第二十一頁(yè)，共四十二頁(yè)，2022年，8月28日例7根與系數(shù)的關(guān)系目標(biāo)：掌握一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系。解析：（1）提出問(wèn)題的方法——根的個(gè)數(shù)、符號(hào)、根和根之間的關(guān)系、根和系數(shù)的關(guān)系（根由系數(shù)唯一確定、具體關(guān)系的探究）、由根作新的方程（解方程的反問(wèn)題）、根—多項(xiàng)式的因子……；（2）通過(guò)運(yùn)算所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律——代數(shù)的基本方法；等等。第二十二頁(yè)，共四十二頁(yè)，2022年，8月28日教學(xué)目標(biāo)的三層級(jí)模型第一層級(jí)主成分：以記憶為主要標(biāo)志,培養(yǎng)的是以記憶為主的基本能力。測(cè)試：基本事實(shí)、方法的記憶水平。標(biāo)準(zhǔn)：獲得的知識(shí)量以及掌握的準(zhǔn)確性。第二十三頁(yè)，共四十二頁(yè)，2022年，8月28日第二層級(jí)主成分：以理解為主要標(biāo)志，培養(yǎng)的是以理解為主的基本能力；測(cè)試：能否順利地解決常規(guī)性、通用性問(wèn)題，包括能否滿意地解決綜合性問(wèn)題；標(biāo)準(zhǔn)：運(yùn)用知識(shí)的水平，如正確、敏捷、靈活、深刻等。第二十四頁(yè)，共四十二頁(yè)，2022年，8月28日第三層級(jí)主成分：以探究為主要標(biāo)志，培養(yǎng)以評(píng)判為主的基本能力；測(cè)試：能否對(duì)解決問(wèn)題的過(guò)程進(jìn)行反思，即檢驗(yàn)過(guò)程的正確性、合理性及其優(yōu)劣；標(biāo)準(zhǔn)：思維的深刻性、批判性、全面性、獨(dú)創(chuàng)性等。第二十五頁(yè)，共四十二頁(yè)，2022年，8月28日4．教學(xué)問(wèn)題診斷分析教師根據(jù)自己以往的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，數(shù)學(xué)內(nèi)在的邏輯關(guān)系以及思維發(fā)展理論，對(duì)本內(nèi)容在教與學(xué)中可能遇到的障礙進(jìn)行的預(yù)測(cè)，并對(duì)出現(xiàn)障礙的原因進(jìn)行分析。在上述分析的基礎(chǔ)上指出教學(xué)難點(diǎn)。第二十六頁(yè)，共四十二頁(yè)，2022年，8月28日例8“三線八角”中的難點(diǎn)學(xué)生初次接觸平面幾何關(guān)于位置關(guān)系、大小度量的討論，在思想方法上存在困難外，對(duì)于認(rèn)識(shí)幾何問(wèn)題的一般程序也存在困難。復(fù)雜的圖形會(huì)使學(xué)生感到無(wú)從下手。教學(xué)難點(diǎn)：對(duì)圖形結(jié)構(gòu)特點(diǎn)的理解并正確地對(duì)角分類(lèi)；在具體（變式）圖形中正確找出有關(guān)的角。第二十七頁(yè)，共四十二頁(yè)，2022年，8月28日∠B和∠BCE可以看成是直線

，

被直線

所截得的

角；∠B和∠BCD可以看成是直線

，

被直線

所截得的

角。

BEACD第二十八頁(yè)，共四十二頁(yè)，2022年，8月28日例9一元二次方程中的難點(diǎn)真正的難點(diǎn)還是在思想方法上：等價(jià)轉(zhuǎn)化（配方法）；化歸思想：二次化一次（因式分解、開(kāi)方等運(yùn)算）；對(duì)方程的根、系數(shù)之間關(guān)系進(jìn)行研究的思想——如何提出研究的問(wèn)題；分類(lèi)討論思想。具體操作上：由平方根概念所附帶產(chǎn)生的難點(diǎn)。第二十九頁(yè)，共四十二頁(yè)，2022年，8月28日4．教學(xué)支持條件分析為了有效實(shí)現(xiàn)教學(xué)目標(biāo)，根據(jù)問(wèn)題診斷分析和學(xué)習(xí)行為分析，分析應(yīng)當(dāng)采取哪些教學(xué)支持條件，以幫助學(xué)生更有效地進(jìn)行數(shù)學(xué)思維，使他們更好地發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律。當(dāng)前，可以適當(dāng)?shù)貍?cè)重于信息技術(shù)的使用，以構(gòu)建有利于學(xué)生建立概念的“多元聯(lián)系表示”的教學(xué)情境。第三十頁(yè)，共四十二頁(yè)，2022年，8月28日5．教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)強(qiáng)調(diào)教學(xué)過(guò)程的內(nèi)在邏輯線索；給出學(xué)生思考和操作的具體描述；突出核心概念的思維建構(gòu)和技能操作過(guò)程，突出思想方法的領(lǐng)悟過(guò)程分析；以“問(wèn)題串”方式呈現(xiàn)為主，應(yīng)當(dāng)認(rèn)真思考每一問(wèn)題的設(shè)計(jì)意圖、師生活動(dòng)預(yù)設(shè)，以及需要概括的概念要點(diǎn)、思想方法，需要進(jìn)行的技能訓(xùn)練，需要培養(yǎng)的能力，等；根據(jù)內(nèi)容特點(diǎn)設(shè)計(jì)教學(xué)過(guò)程，如基于問(wèn)題解決的設(shè)計(jì)，講授式教學(xué)設(shè)計(jì)，自主探究式教學(xué)設(shè)計(jì)，合作交流式教學(xué)設(shè)計(jì)，等。第三十一頁(yè)，共四十二頁(yè)，2022年，8月28日例10“三線八角”的教學(xué)過(guò)程問(wèn)題1（1）請(qǐng)回顧一下角的概念。（2）對(duì)頂角、鄰補(bǔ)角是怎樣形成的？我們是怎樣研究它們的性質(zhì)的？設(shè)計(jì)意圖：強(qiáng)調(diào)從結(jié)構(gòu)特征、討論問(wèn)題的思想方法等角度，對(duì)已有知識(shí)進(jìn)行復(fù)習(xí)回顧，為新知識(shí)的學(xué)習(xí)提供借鑒。第三十二頁(yè)，共四十二頁(yè)，2022年，8月28日先行組織者：兩條直線相交形成四個(gè)角，它們的關(guān)系（性質(zhì)）已經(jīng)清楚（特例是垂直）。接下來(lái)可以研究一條直線與兩條直線分別相交，可以得到哪些角，它們又有什么關(guān)系（性質(zhì)）。意圖：提出問(wèn)題的方法、研究思路的引導(dǎo)。第三十三頁(yè)，共四十二頁(yè)，2022年，8月28日問(wèn)題2：畫(huà)出一條直線與兩條直線分別相交的圖形。共得到幾個(gè)角？你知道其中哪些角的關(guān)系？設(shè)計(jì)意圖：培養(yǎng)學(xué)生畫(huà)圖的習(xí)慣；分析出需要研究的新問(wèn)題（思維的邏輯性）。問(wèn)題3：我們沒(méi)有研究過(guò)的是哪些角的關(guān)系？如何把這些角分類(lèi)？12設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生學(xué)34

習(xí)根據(jù)一定標(biāo)準(zhǔn)分類(lèi)的研56究方法。78第三十四頁(yè)，共四十二頁(yè)，2022年，8月28日問(wèn)題4：如圖，直線AB，CD被直線EF所截?！?與沒(méi)有公共定點(diǎn)的∠5，∠6，∠7，∠8的關(guān)系可以怎樣描述？可分為幾類(lèi)？設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生自己描述這些角的結(jié)構(gòu)特征，并分類(lèi)。EB說(shuō)明：本問(wèn)題是本課A1的關(guān)鍵，可多給時(shí)間，56教師可在確定分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)C78D上給予引導(dǎo)。F第三十五頁(yè)，共四十二頁(yè)，2022年，8月28日問(wèn)題5：圖中，（1）與∠1、∠5具有相同位置關(guān)系的角還有哪幾對(duì)？（2）還有哪幾對(duì)角的位置關(guān)系是問(wèn)題4中沒(méi)有包括的？設(shè)計(jì)意圖：從圖中識(shí)別同位角，及時(shí)鞏固概念；引導(dǎo)學(xué)生觀察圖形，從分類(lèi)角度認(rèn)識(shí)內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角概念?？梢园才抛寣W(xué)生找出所有內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角的活動(dòng)。教科書(shū)只敘述了事實(shí)，給了名字。數(shù)學(xué)思想方法沒(méi)有明確——要學(xué)生自己悟。第三十六頁(yè)，共四十二頁(yè)，202