簡(jiǎn)諧振動(dòng)的動(dòng)力學(xué)特征

簡(jiǎn)諧振動(dòng)的動(dòng)力學(xué)特征第一頁(yè)，共四十三頁(yè)，2022年，8月28日§1前言一、本章的基本內(nèi)容及研究方法人們習(xí)慣于按照物質(zhì)的運(yùn)動(dòng)形態(tài)，把經(jīng)典物理學(xué)分成力（包括聲）、熱、電、光等子學(xué)科。然而，某些形式的運(yùn)動(dòng)是橫跨所有這些學(xué)科的，其中最典型的要算振動(dòng)和波了。在力學(xué)中有機(jī)械振動(dòng)和機(jī)械波，在電學(xué)中有電磁振蕩和電磁波，聲是一種機(jī)械波，光則是一種電磁波。在近代物理中更是處處離不開振動(dòng)和波，僅從微觀理論的基石——量子力學(xué)又稱波動(dòng)力學(xué)這一點(diǎn)就可看出，振動(dòng)和波的概念在近代物理中的重要性了。盡管在物理學(xué)的各個(gè)分支學(xué)科里振動(dòng)和波的具體內(nèi)容不同，在形式上它們卻具有極大的相似性。所以本章及下一章的意義絕不局限于力學(xué)，它將為學(xué)習(xí)整個(gè)物理學(xué)打基礎(chǔ)。振動(dòng)是一類較普遍的現(xiàn)象。一般地，只要某一物理量在某一量值附近隨時(shí)間作周期性變化，都可稱為振動(dòng)。振動(dòng)雖然多第二頁(yè)，共四十三頁(yè)，2022年，8月28日種多樣，但遵從的基本規(guī)律是相同的。在振動(dòng)中，最簡(jiǎn)單、最基本的振動(dòng)是簡(jiǎn)諧振動(dòng)，可以證明，任何復(fù)雜的振動(dòng)都可以看作是不同頻率的簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成。因此，掌握簡(jiǎn)諧振動(dòng)的特征和規(guī)律非常重要，振動(dòng)是波動(dòng)的基礎(chǔ)，一切波動(dòng)都是某種振動(dòng)的傳播過(guò)程。本章的基本內(nèi)容可分為三部分：第一，簡(jiǎn)諧振動(dòng)；第二，振動(dòng)的合成與分解；第三，阻尼振動(dòng)和受迫振動(dòng)。主要是利用質(zhì)點(diǎn)和剛體運(yùn)動(dòng)規(guī)律來(lái)研究振動(dòng)這種特殊的而又具有普遍意義的運(yùn)動(dòng)形式。近30年來(lái)（1975年學(xué)術(shù)界才創(chuàng)造了“混沌”〈chaos〉一詞），人們不僅在自然界和實(shí)驗(yàn)室中觀察到了許多混沌現(xiàn)象，而且認(rèn)識(shí)到混沌產(chǎn)生的條件、所經(jīng)歷的途徑及其特征，在理論上發(fā)現(xiàn)了一些產(chǎn)生混沌現(xiàn)象的普遍規(guī)律。目前對(duì)混沌現(xiàn)象的研究已經(jīng)成為一個(gè)跨學(xué)科的十分活躍的新方向，有人認(rèn)為混沌理論是繼相對(duì)論、量子論之后，20世紀(jì)物理學(xué)的第三個(gè)重大的革命?；煦缡窃跊Q定性動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)中出現(xiàn)的一種貌似隨機(jī)的運(yùn)動(dòng)。第三頁(yè)，共四十三頁(yè)，2022年，8月28日二、本章的基本要求1、掌握簡(jiǎn)諧振動(dòng)的特征和規(guī)律，并能依據(jù)諧振動(dòng)的動(dòng)力學(xué)特征判斷振動(dòng)是否為簡(jiǎn)諧振動(dòng)；2、掌握描述簡(jiǎn)諧振動(dòng)的三種方法：解析法、位移——時(shí)間圖線法及旋轉(zhuǎn)矢量法；3、學(xué)會(huì)分析同頻率、同方向和相互垂直的兩簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成；4、了解阻尼振動(dòng)、受迫振動(dòng)的特點(diǎn)和共振發(fā)生的條件；5、了解帶星號(hào)的基本內(nèi)容。三、本章的思考題及練習(xí)題思考題：教材294頁(yè)；練習(xí)題：第四頁(yè)，共四十三頁(yè)，2022年，8月28日§2簡(jiǎn)諧振動(dòng)的動(dòng)力學(xué)特征

一個(gè)物體經(jīng)過(guò)其平衡位置來(lái)回往復(fù)地運(yùn)動(dòng)，稱為機(jī)械振動(dòng)。例如鐘擺的振動(dòng)，弦管樂(lè)器中琴弦或空氣柱的振動(dòng)，列車通過(guò)時(shí)橋梁的振動(dòng)、固體內(nèi)晶格離子的振動(dòng)等，最簡(jiǎn)單、最基本的振動(dòng)是簡(jiǎn)諧振動(dòng)（simpleharmonicmotion）。動(dòng)力學(xué)特征：（1）在怎樣的力（或力矩）的作用下物體作簡(jiǎn)諧振動(dòng)；（2）根據(jù)力（或力矩）和運(yùn)動(dòng)的關(guān)系，求出簡(jiǎn)諧振動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程。

質(zhì)點(diǎn)在某位置所受的力（或沿運(yùn)動(dòng)方向受的力）等于零，則此位置稱為平衡位置。

若作用于質(zhì)點(diǎn)的力總與質(zhì)點(diǎn)相對(duì)于平衡位置的位移（線位第五頁(yè)，共四十三頁(yè)，2022年，8月28日移或角位移）成正比，且指向平衡位置，則此作用力稱線性回復(fù)力。

質(zhì)點(diǎn)在線性回復(fù)力作用下圍繞平衡位置的運(yùn)動(dòng)叫簡(jiǎn)諧振動(dòng)。討論的步驟為：（1）先確定振動(dòng)系統(tǒng)的平衡位置，并以平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立坐標(biāo)系；（2）讓振動(dòng)系統(tǒng)偏離平衡位置，然后分析系統(tǒng)的受力情況，求出系統(tǒng)所受的合外力；（3）根據(jù)牛頓運(yùn)動(dòng)定律，導(dǎo)出簡(jiǎn)諧振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)微分方程。一、彈簧振子的振動(dòng)一端固定、質(zhì)量可忽略、勁度系數(shù)為K的彈簧，在另一端固結(jié)一個(gè)質(zhì)量為m的物體，就構(gòu)成一個(gè)彈簧振子。把它平放在光滑水平面上。Ox第六頁(yè)，共四十三頁(yè)，2022年，8月28日式中，是由系統(tǒng)自身性質(zhì)決定的常量。二階線性微分方程即為簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程。二、單擺的擺動(dòng)第七頁(yè)，共四十三頁(yè)，2022年，8月28日三、扭擺的擺動(dòng)具體運(yùn)動(dòng)形式不同，但有完全相同的數(shù)學(xué)方程式。第八頁(yè)，共四十三頁(yè)，2022年，8月28日§3簡(jiǎn)諧振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)簡(jiǎn)諧振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)簡(jiǎn)諧振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)一、簡(jiǎn)諧振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程我們一般用來(lái)作討論。A和是待定常數(shù)，需要根據(jù)初始條件來(lái)決定，它就是簡(jiǎn)諧振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)方程。下面簡(jiǎn)要分析簡(jiǎn)諧振動(dòng)的三個(gè)特征量：周期（頻率）、振振幅和初相，這三個(gè)量完全確定一個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)。第九頁(yè)，共四十三頁(yè)，2022年，8月28日●周期●振幅物體離開平衡位置最大位移的絕對(duì)值。它的大小決定于振動(dòng)的初始狀態(tài)。第十頁(yè)，共四十三頁(yè)，2022年，8月28日●初相在A和已知的前提下，還有一個(gè)量是十分重要的，那就是，這個(gè)量叫相位?！跋唷奔聪嗝驳囊馑?，在英文中是“phase”，意思是運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，也就是它的位置和速度。是

注意：上式不能完全確定，有兩個(gè)可能的值，還需根據(jù)和的正、負(fù)判斷哪個(gè)值正確。二、簡(jiǎn)諧振動(dòng)的圖線和相軌跡時(shí)的相位，叫初相位，簡(jiǎn)稱初相。第十一頁(yè)，共四十三頁(yè)，2022年，8月28日[例題]質(zhì)點(diǎn)作簡(jiǎn)諧振動(dòng)的曲線如圖所示，試根據(jù)圖推出該質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)式。t/s0241x/cm再由，在時(shí)，，從圖判知，v>0，即故在兩值中，只能取。又據(jù)圖有，代入振動(dòng)式得[解]因，從圖得A=4，下面計(jì)算和。據(jù)圖有時(shí)，，代入振動(dòng)式得第十二頁(yè)，共四十三頁(yè)，2022年，8月28日再由時(shí)，，可知。故取于是求得質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)式為本題在計(jì)算過(guò)程中取的單位為rad/s，t的單位為s，的單位為rad，x和A的單位為cm。另一種描述運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的方法是利用相平面——坐標(biāo)和速度構(gòu)成的坐標(biāo)系。其上一點(diǎn)給出質(zhì)點(diǎn)在某時(shí)刻的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，隨時(shí)間推移，質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)在相平面上的代表點(diǎn)移動(dòng)而畫出曲線，稱相軌跡或相圖。位置和速度的關(guān)系曲線就是它的相圖第十三頁(yè)，共四十三頁(yè)，2022年，8月28日簡(jiǎn)諧振動(dòng)為vvoxv絕大多數(shù)非線性微分方程的解不可能寫成解析形式，19世紀(jì)末，法國(guó)數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家龐加萊（Poincare，1854~1912）另辟蹊徑,發(fā)明了相圖和拓?fù)鋵W(xué)的方法。在相圖當(dāng)中失去的是和隨時(shí)間變化的信息，得到的是有關(guān)動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的全局信息。相圖的描述方法是非線性動(dòng)力學(xué)里最基本的方法，在不求出解的情況下，通過(guò)直接考查微分方程的系數(shù)及其本身的結(jié)構(gòu)去研究它的解的性質(zhì)。龐加萊所開拓的這一新領(lǐng)域稱為微分方程的定性理論，至今有著深遠(yuǎn)的影響。簡(jiǎn)諧振動(dòng)的相軌跡是橢圓，其形狀大小取決于初始條件。第十四頁(yè)，共四十三頁(yè)，2022年，8月28日三、簡(jiǎn)諧振動(dòng)的矢量表示法現(xiàn)在討論用旋轉(zhuǎn)矢量的投影表示簡(jiǎn)諧振動(dòng)。討論振動(dòng)合成等問(wèn)題時(shí)，用這種方法很方便，如圖所示A為一長(zhǎng)度保持不變的矢量，A的始點(diǎn)在x坐標(biāo)軸的原點(diǎn)處，計(jì)時(shí)起點(diǎn)時(shí)，矢量與坐標(biāo)軸夾角為，矢量A以角速度逆時(shí)針勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，因此，矢量A在任一瞬時(shí)與x軸夾角為，用x表示矢量在坐標(biāo)軸上的投影，有可見，勻速旋轉(zhuǎn)矢量在坐標(biāo)軸上的投影即表示一特定的簡(jiǎn)諧振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程。xxO第十五頁(yè)，共四十三頁(yè)，2022年，8月28日在描述振動(dòng)的物理量中，要數(shù)相位較抽象，但相位的概念又是很重要的。利用了振幅矢量圖，相位就被簡(jiǎn)單表示成A對(duì)x軸的角度，A的方向不同，就代表相位不同，因此，在振幅矢量圖上要比較兩個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)的相位差就很方便。例如，對(duì)于沿x軸振動(dòng)的兩個(gè)同頻率的簡(jiǎn)諧振動(dòng)：兩者的相位差（即初相差）可能有下列四種情況：OAx第十六頁(yè)，共四十三頁(yè)，2022年，8月28日[例題]一質(zhì)量為m，半徑為R的均勻細(xì)圓環(huán)懸掛在光滑支點(diǎn)上，由于某種原因圓環(huán)繞支點(diǎn)發(fā)生一小偏角，然后繞支點(diǎn)作往復(fù)擺動(dòng)。求證細(xì)圓環(huán)作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，并寫出它的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程。OCCWWNyx[解]以細(xì)環(huán)為研究對(duì)象，受力如圖所示。當(dāng)環(huán)心C在x軸上，力矩全為零，即為平衡位置。OC自O(shè)x軸的偏角為，面對(duì)z軸逆時(shí)針為正，，可見環(huán)受到線性回復(fù)力矩的作用作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，其方程為，顯然，當(dāng)環(huán)逆時(shí)針擺至?xí)r，此刻開始計(jì)時(shí)，第十七頁(yè)，共四十三頁(yè)，2022年，8月28日注：1）若沒有指定初始條件，常常選擇使初相的時(shí)刻為計(jì)時(shí)起點(diǎn)；2）寫出某系統(tǒng)的SHM運(yùn)動(dòng)學(xué)方程時(shí)，應(yīng)指明相應(yīng)的坐標(biāo)系及計(jì)時(shí)起點(diǎn)；3）對(duì)于上題切不可認(rèn)為細(xì)圓環(huán)起動(dòng)時(shí)的擺角就是初位相。第十八頁(yè)，共四十三頁(yè)，2022年，8月28日§4簡(jiǎn)諧振動(dòng)的能量轉(zhuǎn)換

作簡(jiǎn)諧振動(dòng)的彈簧振子系統(tǒng)，在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，物體的速度和彈簧的長(zhǎng)度都不斷變化，因而物體的動(dòng)能和彈簧的彈性勢(shì)能也都在不斷變化。第十九頁(yè)，共四十三頁(yè)，2022年，8月28日

彈簧振子的簡(jiǎn)諧振動(dòng)中的動(dòng)能和勢(shì)能相互轉(zhuǎn)化，而總機(jī)械能守恒。沒有外力對(duì)系統(tǒng)作功，又不計(jì)摩擦和彈簧中發(fā)熱這類機(jī)械能的損耗，這是一個(gè)當(dāng)然的結(jié)果。，振幅的大小反映了振動(dòng)能量的大小即振動(dòng)強(qiáng)度的大小，這就是振幅的物理意義！第二十頁(yè)，共四十三頁(yè)，2022年，8月28日§5簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成

關(guān)于簡(jiǎn)諧振動(dòng)合成的結(jié)論是下一章討論波的疊加的基礎(chǔ)，也是討論光的干涉和衍射時(shí)的依據(jù)，所以本節(jié)內(nèi)容在波動(dòng)現(xiàn)象的研討中具有重要意義。一、方向相同，頻率相同設(shè)兩振動(dòng)互不影響，則由運(yùn)動(dòng)的合成可知，質(zhì)點(diǎn)的合成運(yùn)動(dòng)仍在這一直線上，它離開平衡位置的位移為現(xiàn)在利用旋轉(zhuǎn)矢量法求出這個(gè)合成結(jié)果。第二十一頁(yè)，共四十三頁(yè)，2022年，8月28日即A1、A2兩個(gè)矢量的合矢量在x軸上的投影就是x=x1+x2很容易分析：平行四邊形在旋轉(zhuǎn)中不變形，因而合矢量A的長(zhǎng)度不變且以同樣的勻角速度旋轉(zhuǎn)。所以x可寫為時(shí)刻矢量A與x軸的夾角。xOQ2Q1QA1AA2第二十二頁(yè)，共四十三頁(yè)，2022年，8月28日合振幅的大小不僅和兩個(gè)單獨(dú)簡(jiǎn)諧振動(dòng)（可稱為為分振動(dòng)）的振幅有關(guān)而且和它們的相位差有關(guān)。有關(guān)的這一項(xiàng)稱為干涉項(xiàng)，這是一個(gè)非常重要的結(jié)果。舉兩個(gè)特例：（1）兩分振動(dòng)同相，即（2）兩分振動(dòng)反相，即這是合振幅最小的情形，振動(dòng)減弱了。（3）兩分振動(dòng)的相位差為其它值時(shí)，合振動(dòng)的振幅二、方向相同，頻率不同第二十三頁(yè)，共四十三頁(yè)，2022年，8月28日為了突出頻率不同引起的效果，設(shè)A1=A2=A，由旋轉(zhuǎn)矢量圖可知，A1、A2有不同的角速度，兩矢量間夾角將隨時(shí)間變化，矢量合成的平行四邊形也將不斷地隨時(shí)間變形，所以A的大小和角速度都是隨時(shí)間變化的，在x軸上的投影顯然不是簡(jiǎn)諧振動(dòng)。A1、A2夾角隨時(shí)間而變。每當(dāng)或的整數(shù)倍，合成振幅最大（A1+A2），合成振動(dòng)最強(qiáng)；每當(dāng)?shù)钠鏀?shù)倍，合成振幅最小（|A1-A2|），合成振動(dòng)最弱，這樣，頻率不同的兩個(gè)諧振動(dòng)的合成振動(dòng)時(shí)強(qiáng)時(shí)弱，那末，這種強(qiáng)弱變化是否有節(jié)奏？有這樣一些時(shí)刻，其時(shí)即A1

和A2重疊，上式就是取A1和A2重疊的時(shí)刻作為初始時(shí)刻，并把它們?cè)谶@時(shí)刻同x軸夾角記作，在這時(shí)刻，合成振幅最大，為確定起見，設(shè)，于是A2將趕到A1前面去，A2領(lǐng)先的角度越來(lái)越大，經(jīng)過(guò)時(shí)間A2領(lǐng)先半圈，這時(shí)，合成振幅最小，又經(jīng)過(guò)A2領(lǐng)先一圈，再次和A1重疊，這時(shí)，合成振幅最大。然后就重復(fù)以上過(guò)程。第二十四頁(yè)，共四十三頁(yè)，2022年，8月28日

振動(dòng)強(qiáng)度有節(jié)奏地時(shí)強(qiáng)時(shí)弱，這種現(xiàn)象叫作拍（beat）。一次強(qiáng)弱變化叫作一拍，每秒鐘的拍數(shù)叫作拍頻。每一拍的時(shí)間是即兩個(gè)分振動(dòng)頻率之差。一種實(shí)際意義的情形：很接近，第二十五頁(yè)，共四十三頁(yè)，2022年，8月28日隨時(shí)間變化緩慢得多，在經(jīng)一段較短的時(shí)間內(nèi)看，后者經(jīng)歷了多次周期變化，而前者則幾乎沒有變，可看作“準(zhǔn)簡(jiǎn)諧振動(dòng)”（quasi-SHM）。這是一種振幅有周期性變化的簡(jiǎn)諧振動(dòng)，振幅的平方正比于振動(dòng)能量，所以，這種振動(dòng)具有周期性的強(qiáng)弱變化——拍，單位時(shí)間內(nèi)振動(dòng)加強(qiáng)或減弱的次數(shù)稱為拍頻，同前面所得結(jié)果完全一樣！校正樂(lè)器，例如說(shuō)校正鋼琴，往往拿待校的鋼琴同已校好的鋼琴作比較，彈奏兩架鋼琴的同一個(gè)音鍵，細(xì)聽有無(wú)拍的現(xiàn)象，如果聽得出有拍的現(xiàn)象，說(shuō)明尚未校準(zhǔn)，必須再校，使得拍頻越來(lái)越小直到拍完全消失為止，這一音鍵才算校準(zhǔn)。三、方向垂直，頻率相同當(dāng)一個(gè)質(zhì)點(diǎn)同時(shí)參與相互垂直的兩個(gè)SHM時(shí)，一般說(shuō)來(lái)第二十六頁(yè)，共四十三頁(yè)，2022年，8月28日合成振動(dòng)十分復(fù)雜，且軌跡是不穩(wěn)定的，但是當(dāng)兩分振動(dòng)頻率（或周期）成整數(shù)比時(shí)，其合振動(dòng)才是穩(wěn)定的。有規(guī)則的李薩如圖形?，F(xiàn)在考慮。物體同時(shí)參與互相垂直的x向和y向的兩個(gè)同頻率的諧振動(dòng)試求合成振動(dòng)。這里說(shuō)的合成振動(dòng)并不是指x+y，因?yàn)閤和y是互相垂直的兩方向上的偏離，它們是不能作代數(shù)相加的。事實(shí)上，物體既有x方向的偏離又有y方向的偏離，合成運(yùn)動(dòng)是在xy平面上進(jìn)行的。說(shuō)到合成振動(dòng)，我們所關(guān)心的是xy平面上的軌跡，以及沿著軌跡怎樣運(yùn)動(dòng)。其實(shí)，上式可說(shuō)是軌跡的參數(shù)方程式，消去參數(shù)t很容易得到軌跡方程式。不過(guò)，這里將采用另一方法即參考圓的方法第二十七頁(yè)，共四十三頁(yè)，2022年，8月28日來(lái)研究合成振動(dòng)。適當(dāng)?shù)剡x定初始時(shí)刻可使上式里的。選取的情況為例，此時(shí)上式成為如圖，諧振動(dòng)x可用參考圓C1上的勻速運(yùn)動(dòng)描寫，為了畫面的清晰，參考圓的圓心沒有放在坐標(biāo)原點(diǎn)O，而是分別移到y(tǒng)軸上某個(gè)O1點(diǎn)和x軸上的某個(gè)O2點(diǎn)。xx參考圓C1參考圓C21234567812345678第二十八頁(yè)，共四十三頁(yè)，2022年，8月28日周相差為其他數(shù)值的情況完全可以仿照上面的辦法求得合成振動(dòng)，下圖給出某些結(jié)果。光是一種電磁波，如果光波里的電場(chǎng)強(qiáng)度作橢圓振動(dòng)，就叫作橢圓偏振光，根據(jù)以上討論，橢圓偏振光可以分解為電場(chǎng)強(qiáng)度沿x方向作諧振動(dòng)和沿y方向作諧振動(dòng)的兩個(gè)成分，這兩個(gè)成分各叫作平面偏振光。第二十九頁(yè)，共四十三頁(yè)，2022年，8月28日四、方向垂直，頻率不同在水平橫桿的A和B兩點(diǎn)各系一輕線，兩線在C點(diǎn)合并，下掛一小球。小球的x向擺動(dòng)是以l1為擺長(zhǎng)，y向的擺動(dòng)則是以l2為擺長(zhǎng)，這樣，小球在x向和y向的擺動(dòng)頻率不相同。物體同時(shí)參與互相垂直的x向和y向的頻率不同的兩個(gè)諧振動(dòng)這里也用參考圓的方法來(lái)研究合成振動(dòng)。合成的軌跡與頻率之比和兩者的相位都有關(guān)系，圖形一般較為復(fù)雜，很難用數(shù)學(xué)式子表達(dá)，當(dāng)兩者ABCDxyl1l2第三十頁(yè)，共四十三頁(yè)，2022年，8月28日的頻率成整數(shù)比時(shí)，軌跡是閉合的，運(yùn)動(dòng)是周期性的。這種圖形叫李薩如圖形（Lissajou’sfigures）?！?振動(dòng)的分解

一般說(shuō)來(lái)，實(shí)際振動(dòng)不一定是簡(jiǎn)諧振動(dòng)，而是比較復(fù)雜的振動(dòng)。與振動(dòng)的合成相反，任一復(fù)雜振動(dòng)都可分解為許多簡(jiǎn)諧振動(dòng)的疊加。確定任一振動(dòng)所包含的各種簡(jiǎn)諧振動(dòng)的頻率和振幅稱為頻譜分析。對(duì)振動(dòng)的頻譜分析是研究機(jī)械振動(dòng)和電磁振動(dòng)的重要手段之一。一方面我們可以在實(shí)驗(yàn)室中利用示波器、分光計(jì)、攝譜儀等分析振動(dòng)的頻譜，另一方面人們也在數(shù)學(xué)上建立了傅里葉變換，能從理論上提供計(jì)算一個(gè)復(fù)雜振動(dòng)頻譜的方法，而且可借助計(jì)算機(jī)來(lái)完成。第三十一頁(yè)，共四十三頁(yè)，2022年，8月28日例如，任何一個(gè)具有周期性的振動(dòng)都可以分解為一系列簡(jiǎn)諧振動(dòng)的疊加，這些簡(jiǎn)諧振動(dòng)的頻率等于該周期振動(dòng)頻率的整數(shù)倍。其中v0稱為基頻，2v0，3v0，…稱2倍頻、3倍頻等等。由于所包含的頻率取分立值，這類頻譜稱為離散譜。圖（a）是一個(gè)具體例子，圖中實(shí)線所代表的周期性振動(dòng)可分解為基頻和3倍頻的兩個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)的疊加。而圖（b）則是一種“方波”振動(dòng)信號(hào)，它所包含的簡(jiǎn)諧振動(dòng)成分就多了，這里用豎直線段在橫坐標(biāo)上的位置代表所包含簡(jiǎn)諧振動(dòng)的頻率，豎直線高度代表所對(duì)應(yīng)振幅，該圖稱為振動(dòng)頻譜圖。v/v0OOOyyttA135圖（a）圖（b）圖（c）第三十二頁(yè)，共四十三頁(yè)，2022年，8月28日對(duì)于非周期性振動(dòng)，一般可分解為頻率在某一區(qū)域內(nèi)取連續(xù)值的簡(jiǎn)諧振動(dòng)疊加。其頻譜呈連續(xù)譜，并以某一頻率為中心，且有最大振幅，大于或小于此頻率的振幅則相對(duì)較弱。通常將振幅減半在頻率軸上所對(duì)應(yīng)的區(qū)間稱為振動(dòng)的頻寬。圖（a）代表一個(gè)在時(shí)間上很短暫的振動(dòng)，顯然這是非周期性振動(dòng)，而圖（b）則是它的頻譜響應(yīng)的大致情形。圖（a）圖（b）第三十三頁(yè)，共四十三頁(yè)，2022年，8月28日§7阻尼振動(dòng)

簡(jiǎn)諧振動(dòng)是一種等幅振動(dòng)，它是不計(jì)阻力作用的理想情況。實(shí)際上，振動(dòng)系統(tǒng)總要受到各種阻力，系統(tǒng)在振動(dòng)中要克服阻力做功并消耗自身能量。因此，如果沒有能量補(bǔ)充，振動(dòng)的振幅就要衰減。系統(tǒng)在回復(fù)力和阻力作用下發(fā)生的減幅振動(dòng)稱為阻尼振動(dòng)。從數(shù)學(xué)上講，任何形式的周期振動(dòng)都可通過(guò)傅里葉級(jí)數(shù)分解成一系列不同頻率、不同振幅的諧振動(dòng)之和；而非周期振動(dòng)可通過(guò)傅里葉積分把它展成無(wú)數(shù)個(gè)頻率連續(xù)分布的諧振動(dòng)。第三十四頁(yè)，共四十三頁(yè)，2022年，8月28日系統(tǒng)能量的消耗，一方面是由于系統(tǒng)與外界或系統(tǒng)內(nèi)部的摩擦使振動(dòng)能量轉(zhuǎn)變?yōu)闊崮?，另一方面也由于振?dòng)向外傳播，以波的形式向周圍輻射能量。這兩種情況分別稱摩擦阻尼和輻射阻尼，通常為簡(jiǎn)單起見，可把輻射阻尼當(dāng)作摩擦阻尼處理，即認(rèn)為振動(dòng)物體受到一個(gè)較大的阻力。在物體振動(dòng)速度不大時(shí)，它所受到的阻力大小通常與速率成正比。是對(duì)應(yīng)無(wú)阻尼時(shí)系統(tǒng)振動(dòng)的固有圓頻率，稱為阻尼系數(shù)?？捎迷囂椒ㄇ蟮媒鉃椋旱谌屙?yè)，共四十三頁(yè)，2022年，8月28日初始振幅A與初始相位是兩個(gè)積分常數(shù)。一、欠阻尼狀態(tài)條件：，上解有意義，它描寫一種振動(dòng)，振幅隨時(shí)間而衰減，其“圓頻率”從降到，其“周期”相應(yīng)地拉長(zhǎng)，因振幅不斷減小，已經(jīng)不是嚴(yán)格意義下的周期運(yùn)動(dòng)，所以“圓頻率”、“周期”等詞加上引號(hào)。為量度振幅衰減的快慢，通過(guò)引用某個(gè)時(shí)刻的x值與一個(gè)“周期”T之后的x值之比的對(duì)數(shù)表示，稱為對(duì)數(shù)減縮。越大，T也較大，即越大，振動(dòng)衰減得越快。二、臨界阻尼狀態(tài)條件：，“周期”即振第三十六頁(yè)，共四十三頁(yè)，2022年，8月28日動(dòng)的特點(diǎn)完全消失。事實(shí)上，雖然回復(fù)力使物體向平衡位置移動(dòng)，但由于阻尼太強(qiáng)，向平衡位置移動(dòng)并不能加速，反而減速，所以只能逐漸逼近平衡位置，不可能越過(guò)平衡位置，也就不能振動(dòng)。三、過(guò)阻尼狀態(tài)條件：“圓頻率”為虛數(shù)，“周期”T也為虛數(shù)，即根本不發(fā)生振動(dòng)，而且逼近平衡位置比臨界阻尼來(lái)得更慢。臨界阻尼過(guò)阻尼欠阻尼Oxt第三十七頁(yè)，共四十三頁(yè)，2022年，8月28日如果希望系統(tǒng)在較長(zhǎng)的一段時(shí)間內(nèi)保持振動(dòng)，那就應(yīng)使阻尼因子小，例如，傅科擺必須維持較長(zhǎng)時(shí)間的擺動(dòng)，才能夠顯示出地球的自轉(zhuǎn)，為此應(yīng)使小。因?yàn)閿[球橫截面（擺球半徑）2，而擺球體積（擺球半徑）3，所以擺球半徑，這是說(shuō)，傅科擺的擺球要做得大一些，并且最好用密度比較大的材料制做。如果并不希望系統(tǒng)長(zhǎng)時(shí)間振動(dòng)，那就應(yīng)使阻尼因子適當(dāng)大一些，最好是臨界阻尼。例如，天平的指針老是擺動(dòng)不停，或者萬(wàn)用電表的指針老是擺動(dòng)不停，讀取讀數(shù)就太花時(shí)間了。這就應(yīng)加進(jìn)適當(dāng)?shù)淖枘帷Ｔ谂R界阻尼的情況下，指針較快地逼近正確的讀數(shù)。在過(guò)阻尼的情況下，指針也逼近正確的讀數(shù)，