經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)泰勒級(jí)數(shù)與冪級(jí)數(shù)

經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)泰勒級(jí)數(shù)與冪級(jí)數(shù)第一頁，共四十頁，2022年，8月28日一、泰勒級(jí)數(shù)的概念由泰勒公式知,如果函數(shù)在點(diǎn)的某領(lǐng)域內(nèi)有階導(dǎo)數(shù),則對于該領(lǐng)域內(nèi)的任意一點(diǎn),有其中介于與之間.第二頁，共四十頁，2022年，8月28日定理1設(shè)在區(qū)間內(nèi)存在任意階的導(dǎo)數(shù),冪級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間為則在區(qū)間內(nèi)成立的充分必要條件是:在該區(qū)間內(nèi)式右邊的級(jí)數(shù)稱為在點(diǎn)處的泰勒級(jí)數(shù).第三頁，共四十頁，2022年，8月28日麥克勞林級(jí)數(shù)時(shí)的泰勒級(jí)數(shù)稱為的麥克勞林級(jí)數(shù).注:由上節(jié)定理可知,如果函數(shù)能在某個(gè)區(qū)間內(nèi)展開成冪級(jí)數(shù),則它必定在這個(gè)區(qū)間內(nèi)的每一點(diǎn)處具有任意階的導(dǎo)數(shù).即沒有任意階導(dǎo)數(shù)的函函數(shù)的麥克勞林級(jí)數(shù)數(shù)是不可能展開成冪級(jí)數(shù)的.是的冪級(jí)數(shù),可以證明,如果能展開成的第四頁，共四十頁，2022年，8月28日是的冪級(jí)數(shù),可以證明,如果能展開成的冪級(jí)數(shù),則這種展開式是唯一的,的麥克勞林級(jí)數(shù).它一定等于由函數(shù)的展開式的唯一性可知,展開成的冪級(jí)數(shù),克勞林級(jí)數(shù).但是,反過來如果的麥克勞林級(jí)它卻不一定收斂于數(shù)在點(diǎn)的某領(lǐng)域內(nèi)收斂,如果能則這個(gè)冪級(jí)數(shù)就是的麥第五頁，共四十頁，2022年，8月28日例如,函數(shù)在點(diǎn)任意階可導(dǎo),所以的麥克勞林級(jí)數(shù)為該級(jí)數(shù)在內(nèi)和函數(shù)顯然,的麥?zhǔn)霞?jí)數(shù)處處不收斂于且除外,第六頁，共四十頁，2022年，8月28日因此,雖然當(dāng)在處具有各階導(dǎo)數(shù)時(shí),的麥克勞林級(jí)數(shù)能被作出來,是否能在某個(gè)區(qū)間內(nèi)收斂,卻需要進(jìn)一步考慮.但這個(gè)級(jí)數(shù)以及是否收斂于第七頁，共四十頁，2022年，8月28日二、將函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)的方法步驟:(一)直接法第八頁，共四十頁，2022年，8月28日既：把函數(shù)展開成泰勒級(jí)數(shù),可按下列步驟進(jìn)行:計(jì)算寫出對應(yīng)的泰勒級(jí)數(shù)并求出該級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間驗(yàn)證在內(nèi),寫出所求函數(shù)的泰勒級(jí)數(shù)及其收斂區(qū)間.完第九頁，共四十頁，2022年，8月28日例1解（麥克勞林級(jí)數(shù)）

第十頁，共四十頁，2022年，8月28日第十一頁，共四十頁，2022年，8月28日例2解第十二頁，共四十頁，2022年，8月28日第十三頁，共四十頁，2022年，8月28日例3級(jí)數(shù).解所以于是的麥克勞林級(jí)數(shù)為將函數(shù)展開成的冪第十四頁，共四十頁，2022年，8月28日該級(jí)數(shù)相鄰兩項(xiàng)的系數(shù)之比的絕對值因此,該級(jí)數(shù)的收斂半徑收域區(qū)間為第十五頁，共四十頁，2022年，8月28日——牛頓二項(xiàng)展開式注意:第十六頁，共四十頁，2022年，8月28日雙階乘第十七頁，共四十頁，2022年，8月28日（二）間接法根據(jù)唯一性,利用常見展開式,通過變量代換,四則運(yùn)算,恒等變形,逐項(xiàng)求導(dǎo),逐項(xiàng)積分等方法,求展開式.例如第十八頁，共四十頁，2022年，8月28日例1解而在上式兩端從

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到逐項(xiàng)積分,得因?yàn)樯鲜接叶说膬缂?jí)數(shù)當(dāng)將函數(shù)展成的冪級(jí)數(shù).因?yàn)樯鲜綄σ渤闪?時(shí)收斂,在而上式左端的函數(shù)處有定義且連續(xù).第十九頁，共四十頁，2022年，8月28日例2解所以將函數(shù)展開成的冪級(jí)數(shù).當(dāng)時(shí),級(jí)數(shù)收斂;當(dāng)時(shí),級(jí)數(shù)收斂.且當(dāng)時(shí),函數(shù)連續(xù),第二十頁，共四十頁，2022年，8月28日第二十一頁，共四十頁，2022年，8月28日例3解由于所以將函數(shù)且成的冪級(jí)數(shù).展開第二十二頁，共四十頁，2022年，8月28日例4解將函數(shù)展開成的冪級(jí)數(shù).而第二十三頁，共四十頁，2022年，8月28日所以第二十四頁，共四十頁，2022年，8月28日掌握了函數(shù)展開成麥克勞林級(jí)數(shù)的方法后,轉(zhuǎn)化成的表達(dá)式,把看成變量要把函數(shù)展開成的冪級(jí)數(shù)時(shí),即得的冪級(jí)數(shù).對于較復(fù)雜的可作變量替換于是當(dāng)只需把展開的冪級(jí)數(shù),成函數(shù),第二十五頁，共四十頁，2022年，8月28日第二十六頁，共四十頁，2022年，8月28日例5解第二十七頁，共四十頁，2022年，8月28日第二十八頁，共四十頁，2022年，8月28日例6解第二十九頁，共四十頁，2022年，8月28日第三十頁，共四十頁，2022年，8月28日例7解第三十一頁，共四十頁，2022年，8月28日第三十二頁，共四十頁，2022年，8月28日注：常用函數(shù)的麥克勞林級(jí)數(shù)第三十三頁，共四十頁，2022年，8月28日第三十四頁，共四十頁，2022年，8月28日二、小結(jié)函數(shù)展開成泰勒級(jí)數(shù)的方法.1.將函數(shù)展開成的冪級(jí)數(shù)2.將函數(shù)展開成的冪級(jí)數(shù)3.常用函數(shù)的麥克勞林級(jí)數(shù)第三十五頁，共四十頁，2022年，8月28日思考題什么叫冪級(jí)數(shù)的間接展開法？第三十六頁，共四十頁，2022年，8月28日思考題解答從已知的展開式出發(fā),通過變量代換、四則運(yùn)算或逐項(xiàng)求導(dǎo)、逐項(xiàng)積分等辦法,