解排列組合問題的十八種常用策略

解排列組合問題的十八種常用策略第一頁，共四十三頁，2022年，8月28日一.特殊元素和特殊位置優(yōu)先策略例1.由0,1,2,3,4,5可以組成多少個沒有重復(fù)數(shù)字五位奇數(shù).

解:由于末位和首位有特殊要求,應(yīng)該優(yōu)先安排,以免不合要求的元素占了這兩個位置先排末位共有___

然后排首位共有___最后排其它位置共有___由分步計數(shù)原理得=288位置分析法和元素分析法是解決排列組合問題最常用也是最基本的方法,若以元素分析為主,需先安排特殊元素,再處理其它元素.若以位置分析為主,需先滿足特殊位置的要求,再處理其它位置。若有多個約束條件，往往是考慮一個約束條件的同時還要兼顧其它條件第二頁，共四十三頁，2022年，8月28日7種不同的花種在排成一列的花盆里,若兩種葵花不種在中間，也不種在兩端的花盆里，問有多少不同的種法？練習(xí)題第三頁，共四十三頁，2022年，8月28日二.相鄰元素捆綁策略例2.7人站成一排,其中甲乙相鄰且丙丁相鄰,共有多少種不同的排法.甲乙丙丁由分步計數(shù)原理可得共有種不同的排法=480解：可先將甲乙兩元素捆綁成整體并看成一個復(fù)合元素，同時丙丁也看成一個復(fù)合元素，再與其它元素進行排列，同時對相鄰元素內(nèi)部進行自排。要求某幾個元素必須排在一起的問題,可以用捆綁法來解決問題.即將需要相鄰的元素合并為一個元素,再與其它元素一起作排列,同時要注意合并元素內(nèi)部也必須排列.第四頁，共四十三頁，2022年，8月28日三.不相鄰問題插空策略例3.一個晚會的節(jié)目有4個舞蹈,2個相聲,3個獨唱,舞蹈節(jié)目不能連續(xù)出場,則節(jié)目的出場順序有多少種？解:分兩步進行第一步排2個相聲和3個獨唱共有

種，第二步將4舞蹈插入第一步排好的6個元素中間包含首尾兩個空位共有種

不同的方法

由分步計數(shù)原理,節(jié)目的不同順序共有種相相獨獨獨元素相離問題可先把沒有位置要求的元素進行排隊再把不相鄰元素插入中間和兩端第五頁，共四十三頁，2022年，8月28日某班新年聯(lián)歡會原定的5個節(jié)目已排成節(jié)目單，開演前又增加了兩個新節(jié)目.如果將這兩個新節(jié)目插入原節(jié)目單中，且兩個新節(jié)目不相鄰，那么不同插法的種數(shù)為（）

30練習(xí)題第六頁，共四十三頁，2022年，8月28日四.定序問題空位插入策略例4.7人排隊,其中甲乙丙3人順序一定共有多少不同的排法解:(倍縮法)對于某幾個元素順序一定的排列問題,可先把這幾個元素與其他元素一起進行排列,然后用總排列數(shù)除以這幾個元素之間的全排列數(shù),則共有不同排法種數(shù)是：

（空位法）設(shè)想有7把椅子讓除甲乙丙以外的四人就坐共有

種方法，其余的三個位置甲乙丙共有

種坐法，則共有

種方法

1思考:可以先讓甲乙丙就坐嗎?第七頁，共四十三頁，2022年，8月28日（插入法)先排甲乙丙三個人,共有1種排法,再把其余4四人依次插入共有

方法4*5*6*7練習(xí)題10人身高各不相等,排成前后排，每排5人,要求從左至右身高逐漸增加，共有多少排法？第八頁，共四十三頁，2022年，8月28日五.重排問題求冪策略例5.把6名實習(xí)生分配到7個車間實習(xí),共有多少種不同的分法允許重復(fù)的排列問題的特點是以元素為研究對象，元素不受位置的約束，可以逐一安排各個元素的位置，一般地n不同的元素沒有限制地安排在m個位置上的排列數(shù)為種nm第九頁，共四十三頁，2022年，8月28日1.某班新年聯(lián)歡會原定的5個節(jié)目已排成節(jié)目單，開演前又增加了兩個新節(jié)目.如果將這兩個節(jié)目插入原節(jié)目單中，那么不同插法的種數(shù)為（）422.某8層大樓一樓電梯上來8名乘客人,他們到各自的一層下電梯,下電梯的方法（）練習(xí)題第十頁，共四十三頁，2022年，8月28日六.環(huán)排問題線排策略例6.5人圍桌而坐,共有多少種坐法?

解：圍桌而坐與坐成一排的不同點在于，坐成圓形沒有首尾之分，所以固定一人A并從此位置把圓形展成直線其余4人共有____

種排法即

ABCEDDABCE（5-1)！一般地,n個不同元素作圓形排列,共有(n-1)!種排法.如果從n個不同元素中取出m個元素作圓形排列共有第十一頁，共四十三頁，2022年，8月28日練習(xí)題6顆顏色不同的鉆石，可穿成幾種鉆石圈第十二頁，共四十三頁，2022年，8月28日七.多排問題直排策略例7.8人排成前后兩排,每排4人,其中甲乙在前排,丁在后排,共有多少排法解:8人排前后兩排,相當于8人坐8把椅子,可以把椅子排成一排.先在前4個位置排甲乙兩個特殊元素有____種,再排后4個位置上的特殊元素有_____種,其余的5人在5個位置上任意排列有____種,則共有_________種.前排后排一般地,元素分成多排的排列問題,可歸結(jié)為一排考慮,再分段研究.第十三頁，共四十三頁，2022年，8月28日八.排列組合混合問題先選后排策略例8.有5個不同的小球,裝入4個不同的盒內(nèi),每盒至少裝一個球,共有多少不同的裝法.解:第一步從5個球中選出2個組成復(fù)合元共有__種方法.再把5個元素(包含一個復(fù)合元素)裝入4個不同的盒內(nèi)有_____種方法.根據(jù)分步計數(shù)原理裝球的方法共有_____解決排列組合混合問題,先選后排是最基本的指導(dǎo)思想.此法與相鄰元素捆綁策略相似第十四頁，共四十三頁，2022年，8月28日練習(xí)題一個班有6名戰(zhàn)士,其中正副班長各1人現(xiàn)從中選4人完成四種不同的任務(wù),每人完成一種任務(wù),且正副班長有且只有1人參加,則不同的選法有________種192第十五頁，共四十三頁，2022年，8月28日九.元素相同問題隔板策略例9.有10個運動員名額，在分給7個班，每

班至少一個,有多少種分配方案？

解：因為10個名額沒有差別，把它們排成一排。相鄰名額之間形成９個空隙。在９個空檔中選６個位置插個隔板，可把名額分成７份，對應(yīng)地分給７個班級，每一種插板方法對應(yīng)一種分法共有___________種分法。一班二班三班四班五班六班七班將n個相同的元素分成m份（n，m為正整數(shù)）,每份至少一個元素,可以用m-1塊隔板，插入n個元素排成一排的n-1個空隙中，所有分法數(shù)為第十六頁，共四十三頁，2022年，8月28日

n個相同小球放入m(m≤n)個盒子里,要求每個盒子里至少有一個小球的放法等價于n個相同小球串成一串從間隙里選m-1個結(jié)點剪截成m段.⑸剪截法（隔板法）：2.基本方法變式：

某校準備參加今年高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽,把16個選手名額分配到高三年級的1-4個教學(xué)班,每班的名額不少于該班的序號數(shù),則不同的分配方案共有___種.分析：問題等價于先給2班1個，3班2個，4班3個，再把余下的10個相同小球放入4個盒子里,每個盒子至少有一個小球的放法種數(shù)問題.將10個小球串成一串，截為4段有種截斷法，對應(yīng)放到4個盒子里.因此，不同的分配方案共有84種.第十七頁，共四十三頁，2022年，8月28日編號為1至n的n個小球放入編號為1到n的n個盒子里,每個盒子放一個小球.要求小球與盒子的編號都不同,這種排列稱為錯位排列.⑹錯位法：特別當n=2,3,4,5時的錯位數(shù)各為1,2,9,44.如：編號為1至6的6個小球放入編號為1至6的6個盒子里,每個盒子放一個小球,其中恰有2個小球與盒子的編號相同的放法有___種.解：選取編號相同的兩組球和盒子的方法有種,其余4組球與盒子需錯位排列有9種放法.故所求方法有15×9＝135種.變式：求其中恰有2個小球與盒子的編號相同的概率.2.基本方法第十八頁，共四十三頁，2022年，8月28日練習(xí)題10個相同的球裝5個盒中,每盒至少一

有多少裝法？2.x+y+z+w=100求這個方程組的自然數(shù)解的組數(shù)第十九頁，共四十三頁，2022年，8月28日我們班里有53位同學(xué),從中任抽5人,正班長、副班長、團支部書記至少有一人在內(nèi)的抽法有多少種?十.正難則反總體淘汰策略有些排列組合問題,正面直接考慮比較復(fù)雜,而它的反面往往比較簡捷,可以先求出它的反面,再從整體中淘汰.第二十頁，共四十三頁，2022年，8月28日十一.平均分組問題除法策略例11.6本不同的書平均分成3堆,每堆2本共有多少分法？解:分三步取書得種方法,但這里出現(xiàn)重復(fù)計數(shù)的現(xiàn)象,不妨記6本書為ABCDEF

若第一步取AB,第二步取CD,第三步取EF

該分法記為(AB,CD,EF),則中還有(AB,EF,CD),(CD,AB,EF),(CD,EF,AB)(EF,CD,AB),(EF,AB,CD)共有種取法,而這些分法僅是(AB,CD,EF)一種分法,故共

有種分法。平均分成的組,不管它們的順序如何,都是一種情況,所以分組后要一定要除以(n為均分的組數(shù))避免重復(fù)計數(shù)。第二十一頁，共四十三頁，2022年，8月28日1將13個球隊分成3組,一組5個隊,其它兩組4

個隊,有多少分法？2.某校高二年級共有六個班級，現(xiàn)從外地轉(zhuǎn)入4名學(xué)生，要安排到該年級的兩個班級且每班安排2名，則不同的安排方案種數(shù)為______

第二十二頁，共四十三頁，2022年，8月28日十二.構(gòu)造模型策略例12.馬路上有編號為1,2,3,4,5,6,7,8,9的九只路燈,現(xiàn)要關(guān)掉其中的3盞,但不能關(guān)

掉相鄰的2盞或3盞,也不能關(guān)掉兩端的2盞,求滿足條件的關(guān)燈方法有多少種？解：把此問題當作一個排隊模型在6盞亮燈的5個空隙中插入3個不亮的燈有________種一些不易理解的排列組合題如果能轉(zhuǎn)化為非常熟悉的模型，如占位填空模型，排隊模型，裝盒模型等，可使問題直觀解決第二十三頁，共四十三頁，2022年，8月28日練習(xí)題某排共有10個座位，若4人就坐，每人左右兩邊都有空位，那么不同的坐法有多少種？120第二十四頁，共四十三頁，2022年，8月28日十三.合理分類與分步策略例13.在一次演唱會上共10名演員,其中8人能能唱歌,5人會跳舞,現(xiàn)要演出一個2人唱歌2人伴舞的節(jié)目,有多少選派方法?解：10演員中有5人只會唱歌，2人只會跳舞3人為全能演員。以只會唱歌的5人是否選上唱歌人員為標準進行研究.只會唱的5人中沒有人選上唱歌人員共有____種,只會唱的5人中只有1人選上唱歌人員________種,只會唱的5人中只有2人選上唱歌人員有____種，由分類計數(shù)原理共有______________________種。++第二十五頁，共四十三頁，2022年，8月28日本題還有如下分類標準：*以3個全能演員是否選上唱歌人員為標準*以3個全能演員是否選上跳舞人員為標準*以只會跳舞的2人是否選上跳舞人員為標準都可經(jīng)得到正確結(jié)果解含有約束條件的排列組合問題，可按元素的性質(zhì)進行分類，按事件發(fā)生的連續(xù)過程分步，做到標準明確。分步層次清楚，不重不漏，分類標準一旦確定要貫穿于解題過程的始終。第二十六頁，共四十三頁，2022年，8月28日1.從4名男生和3名女生中選出4人參加某個座談會，若這4人中必須既有男生又有女生，則不同的選法共有_______34

練習(xí)題2.3成人2小孩乘船游玩,1號船最多乘3人,2號船最多乘2人,3號船只能乘1人,他們?nèi)芜x2只船或3只船,但小孩不能單獨乘一只船,這3人共有多少乘船方法.第二十七頁，共四十三頁，2022年，8月28日十四.實際操作窮舉策略例14.設(shè)有編號1,2,3,4,5的五個球和編號1,2

3,4,5的五個盒子,現(xiàn)將5個球投入這五個盒子內(nèi),要求每個盒子放一個球，并且恰好有兩個球的編號與盒子的編號相同,.有多少投法

解：從5個球中取出2個與盒子對號有_____種

還剩下3球3盒序號不能對應(yīng)，利用實際操作法，如果剩下3,4,5號球,3,4,5號盒3號球裝4號盒時，則4,5號球有只有1種裝法3號盒4號盒5號盒345第二十八頁，共四十三頁，2022年，8月28日十五.實際操作窮舉策略例15.設(shè)有編號1,2,3,4,5的五個球和編號1,2

3,4,5的五個盒子,現(xiàn)將5個球投入這五個盒子內(nèi),要求每個盒子放一個球，并且恰好有兩個球的編號與盒子的編號相同,.有多少投法

解：從5個球中取出2個與盒子對號有_____種

還剩下3球3盒序號不能對應(yīng)，利用實際操作法，如果剩下3,4,5號球,3,4,5號盒3號球裝4號盒時，則4,5號球有只有1種裝法,同理3號球裝5號盒時,4,5號球有也只有1種裝法,由分步計數(shù)原理有2種第二十九頁，共四十三頁，2022年，8月28日對于條件比較復(fù)雜的排列組合問題，不易用公式進行運算，往往利用窮舉法或畫出樹狀圖會收到意想不到的結(jié)果練習(xí)題同一寢室4人,每人寫一張賀年卡集中起來,然后每人各拿一張別人的賀年卡，則四張賀年卡不同的分配方式有多少種？(9)2.給圖中區(qū)域涂色,要求相鄰區(qū)域不同色,現(xiàn)有4種可選顏色,則不同的著色方法有____種2134572第三十頁，共四十三頁，2022年，8月28日十六.分解與合成策略例16.30030能被多少個不同的偶數(shù)整除分析：先把30030分解成質(zhì)因數(shù)的乘積形式30030=2×3×5×7×11×13依題

意可知偶因數(shù)必先取2,再從其余5個因數(shù)中任取若干個組成乘積，所有的偶因數(shù)為：例17.正方體的8個頂點可連成多少對異面直線第三十一頁，共四十三頁，2022年，8月28日解：我們先從8個頂點中任取4個頂點構(gòu)成四面體共有__________每個四面體有___對異面直線,正方體中的8個頂點可連成____________對異面直線33×58=174分解與合成策略是排列組合問題的一種最基本的解題策略,把一個復(fù)雜問題分解成幾個小問題逐一解決,然后依據(jù)問題分解后的結(jié)構(gòu),用分類計數(shù)原理和分步計數(shù)原理將問題合成,從而得到問題的答案,每個比較復(fù)雜的問題都要用到這種解題策略第三十二頁，共四十三頁，2022年，8月28日十七.小集團問題先整體局部策略例17.用1,2,3,4,5組成沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)

其中恰有兩個偶數(shù)夾1,５在兩個奇數(shù)之間,這樣的五位數(shù)有多少個？解：把１,５,２,４當作一個小集團與３排隊共有____種排法，再排小集團內(nèi)部共有_______種排法，由分步計數(shù)原理共有_______種排法.31524小集團小集團排列問題中，先整體后局部，再結(jié)合其它策略進行處理。第三十三頁，共四十三頁，2022年，8月28日１.計劃展出10幅不同的畫,其中1幅水彩畫,４幅油畫,５幅國畫,排成一行陳列,要求同一

品種的必須連在一起，并且水彩畫不在兩端，那么共有陳列方式的種數(shù)為_______2.5男生和５女生站成一排照像,男生相鄰,女

生