上海市交大附中附屬嘉定德富中學(xué)2024-2025學(xué)年九年級(jí)上學(xué)期期中考數(shù)學(xué)卷

2024學(xué)年第一學(xué)期期中檢測九年級(jí)數(shù)學(xué)試卷（考試時(shí)間；100分鐘滿分150分）考生注意；請(qǐng)將所有答案寫在答題卡上，寫在試卷上不計(jì)分一、選擇題；（本大題共6題，每題4分，滿分24分）1．在Rt△ABC中，，∠A、∠B、∠C所對(duì)的邊分別為a、b、c，下列等式立的是（）A． B． C． D．2．已知P是線段AB的黃金分割點(diǎn)，且，那么下列等式不成立的是（）A． B． C． D．．3．在△ABC中，點(diǎn)D、E分別在邊BA、CA的延長線上，下列四個(gè)選項(xiàng)中，能判定DE∥BC的是（）A． B． C． D．4．下列說法中，錯(cuò)誤的是（）A．長度為1的向量叫做單位向量；B．如果，且，那么的方向與的方向相同；C．如果是一個(gè)單位向量，是非零向量，；D．如果，，其中是非零向量，那么5．已知一次函數(shù)和二次函數(shù)部分自變量和對(duì)應(yīng)的函數(shù)值如表；x…－10245……01356……0－1059…當(dāng)時(shí)，自變量x的取值范圍是（）A．－1＜x＜2 B．4＜x＜5 C．x＜－1或x＞5 D．x＜－1或x＞46．如圖，在△ABC中∠A＝60°，BM⊥AC于點(diǎn)M，CN⊥AB于點(diǎn)N，P為BC邊的中點(diǎn)，聯(lián)結(jié)PM、PN、MN．以下是甲、乙兩位同學(xué)得到的研究結(jié)果（甲）當(dāng)M為AC中點(diǎn)時(shí)，△ABC為等邊三角形；（乙）△PMN為等邊三角形．對(duì)于甲、乙兩位同學(xué)的結(jié)論，下列判斷正確的是（）A．甲正確乙錯(cuò)誤 B．甲錯(cuò)誤乙正確 C．甲、乙皆正確 D．甲、乙皆錯(cuò)誤二、填空題；（本大題共12題，每題4分，滿分48分）7．已知線段a＝12cm，b＝6cm，如果b是a、c的比例中項(xiàng)，那么線段c等于______cm．8．如果兩個(gè)相似三角形的周長比為1：2，那么它們的對(duì)應(yīng)中線的比為______9．在銳角△ABC中，銳角A的正切值是，如果將這個(gè)三角形三邊的長都擴(kuò)大為原來的2倍，那么銳角A的余弦值是______10．如圖，AD∥BE∥FC，它們依次交直線、于點(diǎn)A、B、C和點(diǎn)D、E、F．如果AB＝2，AC＝5，那么的值是______11．已知一個(gè)斜坡的坡比為，則坡角的度數(shù)為______12．如果拋物線在對(duì)稱軸的左側(cè)，y的值隨x的增大而增大，那么a的取值范圍是______13．如圖，點(diǎn)D、E、F分別在△ABC邊AB、AC、BC上，AD＝AB，AE＝AC，BF＝BC．若△ABC的面積是，那么△DEF的面積是______．14．如果拋物線向右平移一個(gè)單位后，頂點(diǎn)落在拋物線上，那么a的值等于______15．如圖，△ABC中，點(diǎn)D、點(diǎn)E分別是AB、AC的中點(diǎn)，BE與CD交于點(diǎn)O．若∠ACO＝∠EBC，那么CD：BC的值是______16．如圖，在邊長為1的正方形網(wǎng)格中，四邊形ABCD的頂點(diǎn)都在小正方形頂點(diǎn)的位置上，我們稱這樣的四邊形叫做“格點(diǎn)四邊形”．聯(lián)結(jié)AC、BD相交于點(diǎn)O，那么△AOB的面積等于______17．梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝45°，BC＝12，AC、BD相交于點(diǎn)O，，過點(diǎn)D作DE∥AB，交AC于點(diǎn)E．若△DOE是直角三角形，那么AD＝______18．如圖，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6．把△ABC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)（旋轉(zhuǎn)角小于180°）點(diǎn)A、C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別是A'、C'，射線CC'與AA'交于點(diǎn)E，若BA'∥CC'，則C'E＝______三、解答題；（本大題共7題，滿分78分）19．（本題滿分10分）計(jì)算：20．（本題滿分10分）如圖，在梯形ABCD中，AB∥CD，E是CD的中點(diǎn)，且EC＝AB，AC與BE交于點(diǎn)F．（1）若，，請(qǐng)用，來表示、（2）在原圖中直接在圖中作出在，方向上的分向量（不要求寫作法，但要寫出所作圖中表示結(jié)論的向量）．21．（本題滿分10分，每小題5分）如圖，已知在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，BD＝CD，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，AD＝2，AB＝3．（1）求AO:CO的值；（2）求∠ACD的正切值．22．（本題滿分10分）如圖是某路燈在鉛垂面內(nèi)的示意圖，燈柱BC的高為11.2米，燈柱BC與燈桿AB的夾角為120°，路燈采用錐形燈罩，在地面上的照射區(qū)域DE的長為14.7米，從D、E兩處測得路燈A的仰角分別為α和45°，且，求燈桿AB的長度．23．（本題滿分12分，每小題6分）如圖，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是斜邊AB上的中點(diǎn)，E是邊BC上的點(diǎn)，AE與CD交于點(diǎn)F，且．（1）求證；AE⊥CD；（2）聯(lián)結(jié)BF，如果點(diǎn)E是BC中點(diǎn)，求證；．24．（本題滿分12分，每小題4分）如圖，拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)（A在B左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C．聯(lián)結(jié)CB交對(duì)稱軸于點(diǎn)E，點(diǎn)D為拋物線的頂點(diǎn)．（1）聯(lián)結(jié)AC、CD，若∠CED＝45°①求拋物線解析式；②線段BC上一點(diǎn)F，∠ACB＝∠FAB，聯(lián)結(jié)FD，求tan∠FDE．（2）平移拋物線，使新拋物線頂點(diǎn)D'在射線CD上，新拋物線與y軸交于點(diǎn)C'．若C'D平分∠CDE，且CD'＝2CC'，求新拋物線解析．25．（本題滿分14分，第（1）小題4分，第（2）小題6分，第（3）小題4分）△ABC中，BC＝12，D、E分別在AB、AC上，∠ACB＝∠ADE，聯(lián)結(jié)DC，作∠MEN＝∠DCB交DC于M，交BC于N，EN交DC于O．（1）如圖1，AB＝AC，BD＝2AD，DC＝10．①求∠DCB的正弦值；②若DM：MO＝7：18，求DM（2）如圖2，∠MEN＝∠ABC＝45°，EC＝DE，聯(lián)結(jié)MN，若四邊形MNCE為梯形，請(qǐng)直接寫出DM的長．圖1圖22024學(xué)年第一學(xué)期九年級(jí)數(shù)學(xué)期中檢測評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)1．C2．B3．A4．C5．D6．C7．3 8． 9． 10．11．30° 12．a(chǎn)＜－2 13．4 14．215． 16． 17．8 18．19．原式＝20．（1） （2）作圖略結(jié)論；每個(gè)方向上的分向量各1分21．（1）過點(diǎn)D作DE⊥BC交BC于E，∵BD＝DC，DE⊥BC，∴∠DEC＝90°，又∵∠ABC＝90°∴∠ABC＝∠DEC，∴AB∥DE，又∵AB∥CD，∴四邊形ABED是平行四邊形，∴AD＝BE∵BD＝DC，DE⊥BC，∴BE＝EC＝BC；∴BC＝2AD，∵AD＝2，∴BC＝4，∵AD∥BC∴AO：OC＝AD：BC，∴AD：BC＝（2）過點(diǎn)D作DF⊥AC交AC于F，過點(diǎn)C作CG⊥AD交AD延長線于G在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，，∴AC＝，又∵CG⊥BC；∴∠GCB＝90°，∴∠ABC＋∠GCB＝180°，∴CG∥AB，∵AG∥BC；∴四邊形ABCG是平行四邊形，∴CG＝AB＝3又∵，∴在Rt△AFD中，∠AFD＝90°，，∴∴，在Rt△DFC中，∠DFC＝90°，22．過點(diǎn)A作AQ⊥EC交EC于點(diǎn)Q，過點(diǎn)B作BP⊥AQ交AQ于P設(shè)DQ＝x米，在Rt△AQD中，∠AGD＝90°，，米在Rt△AQB中，∠AQB＝90°，，∴BQ＝AQ＝6x米，∵DE＝DQ＋QE，∴x＋6x＝14.7米；∴x＝2.1米，∴AQ＝12.6米，∵AQ⊥CE，BC⊥CE，∴∠BCE＝∠AQE＝90°，∴BC⊥AQ∵BP⊥AQ，CE⊥AQ，；∴∠APB＝∠AQC＝90°，∴BP∥CE，∴四邊形BCQP是平行四邊形∴PQ＝BC＝11.2米，∠CBP＝∠BPA＝90°，∴AP＝AQ－PQ＝12.6－11.2＝1.4米，在Rt△BPA中，∠BPA＝90°，∠ABP＝∠ABC－∠PBC＝120°－90°＝30°，∴，∴AB＝2AP＝2.8米答：燈桿AB的長度的是2.8米．23．證明；（1）∵，∴，又∵∠ACB＝∠ECA＝90°，∴∴∠ABC＝∠EAC，∵點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，∠ACB＝90°；∴CD＝AB＝AD，∴∠ACD＝∠CAD∵∠CAD＋∠ABC=90°，∴∠ACD＋∠EAC=90°，∴∠AFC＝90°，∴AE⊥CD，（2）∵AE⊥CD，∴∠EFC＝90°，∴∠ACE＝∠EFC，又∵∠AEC＝∠CEF，∴，∴∵點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，∴CE＝BE，∴，∵∠BEF＝∠AEB，∴∴，∴，∵CD＝AB，∴AB＝2CD，∴24．解：①對(duì)于拋物線，令x＝0，則y＝3∴C的坐標(biāo)為（0，3），∵∠CED＝∠BEF，∠CED＝45°，∴∠BEF＝45°在Rt△BCO中，∠BOC＝90°，∴，∴，∴BO＝3∴B的坐標(biāo)為（3，0）將B的坐標(biāo)代入拋物線的解析式中；，解得：m＝2，所以拋物線的解析式為②∵拋物線的解析式為，可得A（－1，0），B（3，0），D（1，4），∴AB＝4，BC＝∵∠AFB＝∠CAB，∠FBA＝∠ABC，∴，∴，∴FB＝設(shè)F（x，－x＋3），則FB＝，∴，解得：x＝∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為，過點(diǎn)F作DE的垂線，垂足為H，則H的坐標(biāo)為，所以FH＝．DH＝在Rt△FHD，∠FHD＝90°，∴，（2）如圖所示∵C'D平分∠CDE，∴∠CDC'＝∠EDC'，∵CC'∥DE，∴∠CC'D＝∠C'DE，∴∠C'DC＝∠CC'D∴C'C＝CD，∵CD＝2CC'，∴CD'＝2CD，∴D是CD'的中點(diǎn)，∵原拋物線的解析式為∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，3），點(diǎn)D的坐標(biāo)為，∴點(diǎn)D'的坐標(biāo)為．∴CD＝，∴新拋物線的解析式為，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為∴CC'＝，∵CC'＝CD，∴，解得；m＝（舍去負(fù)值）所以新拋物線的解析式為25．解（1）①分別過點(diǎn)D、E作BC的垂線，垂足為H、P∴∠DHP＝∠DHB＝90°，∠EPH＝∠EPC＝90°，∴∠A＝∠A，∠ACB＝∠ADE∴，∴∠AED＝∠ABC，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∴∠ADE＝∠AED∴AD＝AE，∵DB＝AB－AD，EC＝AC－AE，∴BD＝CE，∴，∴DE∥BC∴∠HDE＝∠DHB＝90°，在四邊形DEHP中，∠DHP＝∠EPH＝∠HDE＝90°∴四邊形DEHP為矩形；∴DE＝HP，DH＝EP，∴DE∥BC，∴∵BD＝2AD，∴，∴，∵BC＝12，∴DE＝4；∴HP＝4在Rt△BHD與Rt△CPE中；∵BD＝CE，DH＝EP，所以（H.L）∴BH＝CP，∵BH＋HP＋CP＝BC，∴CP＋4＋CP＝12，∴CP＝4，∴CH＝CP＋PH＝4＋4＝8在Rt△DHC中，∵∠DHC＝90°，∴，∵CH＝8，CD＝10，∴DH＝6在Rt△DHC中，∵∠DHC＝90°，∴②過點(diǎn)O作DE的垂線，垂足為點(diǎn)F∴∠DFO＝∠EFO＝90°，設(shè)DM＝7k，OM＝18k，∴DO＝DM＋OM＝25k，∵DE∥BC，∴∠DCB＝