第八周習(xí)題課微分的應(yīng)用

例 設(shè)x0，證明不等

xx22x

arctan(x1 x xf(x(x22x2arctan(x1(x22x2xf(0)4f(x)(2x2)arctan(x1)(2x4(2x2)[arctan(x1)]4x0時(shí)f(x)0令(x)arctan(x14

x,

(0)0(x)

1(x

12

(x)例

f(x)(1x)ln2(1x)xf(x)ln2(1x)2ln(1x)f(x)2ln(1x)1顯然ln(1xx

x0,1f(x

f(0)0，f(x x0,1，f(xf(00，f(x0x例

eababbaF(x)xlnaalnxeaxF(x)

F(a)F(x) xF(b)abba例 設(shè)f(x)是以2為周期的連續(xù)函數(shù)，則在任何一個(gè)周期內(nèi)，存在 ，使f()F(x)

f(xf(xF(xF(a)

f(a)f(a)F(a)

f(a2)f(a)

f(a)f(aF(aF(a0，當(dāng)?shù)忍?hào)成立時(shí)，取a定理可得存在(a,a) 使得F()0，即f()f()例 證明：若fC(,)，f(f(x))x，則存在(,)，使得f()F(x)f(xxF(xF(f(x))f(f(x))f(x)xfF(x)F(f(x))有連續(xù)函數(shù)零點(diǎn)存在性可得，則存在(,F(0f(例 設(shè)f:[0,1][0,1]為連續(xù)函數(shù)，f(0)0,f(1)1,f(f(x))x。證f(xf(x)（2）唯一性：若存在兩點(diǎn)1,2f(1)1f(2)2Lagrange在1,2（假設(shè)12，使與條件f(x)1

f(1)f(2)1，12例

f(x在0,1連續(xù)，在0,1可微f(1)0，則0,1f()f(F(xxf(xF(0)F(10，存在0,1Fff例

fC[0,)，在(0,)可導(dǎo)，

f(0)0,

f(x)0，求證：存在0,f(0（1）

f(x0,f()0f(0由連續(xù)函數(shù)的介值定理得在(0,)中存在一點(diǎn)1

f

f2

f(x)0，存在,，使得ff。由連續(xù)函數(shù)的介值定理得在,2中，存在一點(diǎn)ff。由Rolle定理得，存在

0,) f()例.8設(shè)函數(shù)f(xg(x)在[ab上連續(xù)，在(abf(a)g(a),f(b)g(b，證明：存在ab，使得f()g(證明：F(x)f(xg(x，則F(a)0，F(xiàn)(b)0f(xg(x)在(a,bM分別在(a,b(a,b)取得。當(dāng)時(shí)，取(a,b)f()g(。當(dāng)F()

f()g()Mg()f()g()g()M由介值定理，存在(a,bF(0f()Rolle

1(a,)，F(xiàn)(1)0，2(,b)，F(xiàn)(1)Rolle(1,2)(a,bh()0f()g(.（I）存在0,1),f(1（II）存在兩個(gè)不同的點(diǎn),0,1f(f(【分析【詳解（I）F(xf(x1xF(x)在[0，1]F(0)=-1<0于是由介值定理知，存在存在0,1),F(0f(1（II）在[0,]和[,1]上對(duì)f(x)分別應(yīng)用日中值定理，知存在兩個(gè)不同的0,),,1f(f(f(0)f(f(1f( 1于 f()f()f()1f()1 1 1例.10f(xg(x在[ab連續(xù)，在(abg(x)0f(a)f(b)g(a)g(b)0（1）g(x)0，x(a,b)（2）cab

f(c)

f(c)g（1）用反證法，若在(a,b內(nèi)存在c(a,bg(c0Rollec1acc2cbg(c1)g(c2)0。再由Rolle定理可知，c0(c1,c2)，使得g(c0)0。此與題設(shè)。（2）F(x)f(x)g(xf(x)g(xF(x在[ab連續(xù)，在(abF(a)F(b)0RollecabF(c)0也即F

f

g

fcg

（2例.11對(duì)任意正整數(shù)n，證明方程exxn0證明：顯然方程exxn0和方程e-xxn-10f(xe-xxn-1f(x)e-xxn1(nx有且僅有兩個(gè)不同的零點(diǎn)（實(shí)根Rollef(x至多有三個(gè)不同的零點(diǎn)。從而方程exxn0至多有三個(gè)情。對(duì)于本題而言，首先想到的輔助函數(shù)自然是g(x):exxn。但是估計(jì)導(dǎo)數(shù)g(x)exnxn1的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，并不比估計(jì)函數(shù)g(x)本身的零點(diǎn)個(gè)數(shù)來得更容易。例 設(shè)f(x)[0,)內(nèi)可導(dǎo)，且在0

f(x)

x[0)2x112x11

121證明：因?yàn)?

f(x) 2x

x[0) 11 2x12x11 lim 0

11

2x

f(x)

f(0) F(x)

f(x limF(x)

F(0)

Rolle

11(0 F(0

121例 設(shè)f(x)x2cosx，則f(30)(0)= 。【答案】Taylorfxx2cosxx21x4

x30o(x30

x0f(30)(0)

例 若f(x)導(dǎo)數(shù)連續(xù)且f(1)1

f(cosx)f

2

x0f(cosxf(1cosx1f(1f(1)(cosx1O(x4f 2

)f(1

2

)f(1)

2

)O(x4)

xf(cosx)f

2

2

)

)，x例 設(shè)f(x)在,上具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且f(0)0，對(duì)函f(x)

xg(x)

x確定a值使gx在上連續(xù)對(duì)（1）中確定的a值，證明g(x)在上的一階導(dǎo)數(shù)連（1）limg(x)

f(x)

f(xf(0)f(0

a

f(0)gx在上連續(xù)（2）x0gxfx

xf(x)f(， g(0)

g(x)

f(x)flim

f(x)

x2

f(x)f(0)

f2limg(x)limxf(x)f(x)cf(x)xf(x)f(x)

f，

g(x在上的一階導(dǎo)數(shù)連例

yxx（x0 【答案】(0

fxlnylnxxx(0,e),f(x)

f(x)1lnxx(e,),fx0x2x例 函數(shù)f(x)ex的單調(diào)下降區(qū)間 【答案】

(x)

2xex例

k

f(x)lnxxke

【答案】fxex,

f(x),

f(x),f(e)k0

fx在(0e),(e,例

f(x)

x2

1處帶Peano的Taylor

1(x1)2(x1)4(x1)2no(x1)2n【解析】(xf)

2

4

2n

xx1例 求函數(shù)f(x)x2ln(1x)在x0處的n階導(dǎo)數(shù)f(n)(0)(n3)由 uvnunv0C1un1v'C2un2v'' k 1k1k

1

（k為正整數(shù) fnx

1n1n1

1n2n1

nn

1n3n1

f

0

n1n3!

1n1n!n2fxf0f'0x

fnfnxn及 2

11n1nxln1x

x 1n1n比較xn的系數(shù)

x 4fn 所 fn0

n1n1n!n2例 確定a,b