導數(shù)練習題-含答案

導數(shù)練習題班級姓名一、選擇題1．當自變量從x0變到x1時函數(shù)值的增量與相應(yīng)自變量的增量之比是函數(shù)()A．在區(qū)間[x0，x1]上的平均變化率B．在x0處的變化率C．在x1處的變化量D．在區(qū)間[x0，x1]上的導數(shù)2．已知函數(shù)y＝f(x)＝x2＋1，則在x＝2，Δx＝0.1時，Δy的值為()A．0.40B．0.41C．0.43 D．0.443．函數(shù)f(x)＝2x2－1在區(qū)間(1,1＋Δx)上的平均變化率eq\f(Δy,Δx)等于()A．4B．4＋2ΔxC．4＋2(Δx)2 D．4x4．如果質(zhì)點M按照規(guī)律s＝3t2運動，則在t＝3時的瞬時速度為()A．6B．18C．54 D．815．已知f(x)＝－x2＋10，則f(x)在x＝eq\f(3,2)處的瞬時變化率是()A．3B．－3C．2 D．－26．設(shè)f′(x0)＝0，則曲線y＝f(x)在點(x0，f(x0))處的切線()A．不存在 B．與x軸平行或重合C．與x軸垂直 D．與x軸相交但不垂直7．曲線y＝－eq\f(1,x)在點(1，－1)處的切線方程為()A．y＝x－2B．y＝xC．y＝x＋2 D．y＝－x－28．已知曲線y＝2x2上一點A(2,8)，則A處的切線斜率為()A．4B．16C．8 D．29．下列點中，在曲線y＝x2上，且在該點處的切線傾斜角為eq\f(π,4)的是()A．(0,0)B．(2,4)C．(eq\f(1,4)，eq\f(1,16)) D．(eq\f(1,2)，eq\f(1,4))10．若曲線y＝x2＋ax＋b在點(0，b)處的切線方程是x－y＋1＝0，則()A．a(chǎn)＝1，b＝1 B．a(chǎn)＝－1，b＝1C．a(chǎn)＝1，b＝－1 D．a(chǎn)＝－1，b＝－111．已知f(x)＝x2，則f′(3)＝()A．0B．2xC．6 D．912．已知函數(shù)f(x)＝eq\f(1,x)，則f′(－3)＝()A．4B.eq\f(1,9)C．－eq\f(1,4) D．－eq\f(1,9)13．函數(shù)y＝eq\f(x2,x＋3)的導數(shù)是()A.eq\f(x2＋6x,?x＋3?2)B.eq\f(x2＋6x,x＋3)C.eq\f(－2x,?x＋3?2) D.eq\f(3x2＋6x,?x＋3?2)14．若函數(shù)f(x)＝eq\f(1,2)f′(－1)x2－2x＋3，則f′(－1)的值為()A．0B．－1C．1 D．215．命題甲：對任意x∈(a，b)，有f′(x)>0；命題乙：f(x)在(a，b)內(nèi)是單調(diào)遞增的．則甲是乙的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件16．函數(shù)f(x)＝(x－3)ex的單調(diào)遞增區(qū)間是()A．(－∞，2)B．(0,3)C．(1,4) D．(2，＋∞)17．函數(shù)y＝ax3－x在R上是減函數(shù)，則()A．a(chǎn)≥eq\f(1,3)B．a(chǎn)＝1C．a(chǎn)＝2 D．a(chǎn)≤018．函數(shù)y＝4x2＋eq\f(1,x)的單調(diào)遞增區(qū)間是()A．(0，＋∞)B．(－∞，1)C．(eq\f(1,2)，＋∞) D．(1，＋∞)19．“函數(shù)y＝f(x)在一點的導數(shù)值為0”是“函數(shù)y＝f(x)在這點取極值”的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件20．設(shè)x0為可導函數(shù)f(x)的極值點，則下列說法正確的是()A．必有f′(x0)＝0B．f′(x0)不存在C．f′(x0)＝0或f′(x0)不存在D．f′(x0)存在但可能不為022．函數(shù)f(x)＝x3＋ax2＋3x－9，已知f(x)在x＝－3時取得極值，則a＝()A．2B．3C．4D．523．函數(shù)f(x)的定義域為開區(qū)間(a，b)，導函數(shù)f′(x)在(a，b)內(nèi)的圖象如圖所示，則函數(shù)f(x)在開區(qū)間(a，b)內(nèi)的極小值點有()A．1個 B．2個C．3個 D．4個24．函數(shù)f(x)＝－eq\f(1,3)x3＋eq\f(1,2)x2＋2x取極小值時，x的值是()A．2 B．2，－1C．－1 D．－325．函數(shù)f(x)＝－x2＋4x＋7，在x∈[3,5]上的最大值和最小值分別是()A．f(2)，f(3) B．f(3)，f(5)C．f(2)，f(5) D．f(5)，f(3)26．f(x)＝x3－3x2＋2在區(qū)間[－1,1]上的最大值是()A．－2B．0C．2 D．427．函數(shù)f(x)＝x3－3x2－9x＋k在區(qū)間[－4,4]上的最大值為10，則其最小值為()A．－10 B．－71C．－15 D．－2228．(2010年高考山東卷)已知某生產(chǎn)廠家的年利潤y(單元：萬元)與年產(chǎn)量x(單位：萬件)的函數(shù)關(guān)系式為y＝－eq\f(1,3)x3＋81x－234，則使該生產(chǎn)廠家獲取最大年利潤的年產(chǎn)量為()A．13萬件B．11萬件C．9萬件 D．7萬件29．一點沿直線運動，如果由始點起經(jīng)過t秒運動的距離為s＝eq\f(1,4)t4－eq\f(5,3)t3＋2t2，那么速度為零的時刻是()A．1秒末B．0秒C．4秒末 D．0,1,4秒末二、填空題1．設(shè)函數(shù)y＝f(x)＝ax2＋2x，若f′(1)＝4，則a＝________.2．若曲線y＝2x2－4x＋a與直線y＝1相切，則a＝________.3．已知函數(shù)y＝ax2＋b在點(1,3)處的切線斜率為2，則eq\f(b,a)＝________.4．令f(x)＝x2·ex，則f′(x)等于________．5．函數(shù)y＝x2＋4x在x＝x0處的切線斜率為2，則x0＝________.6．若y＝10x，則y′|x＝1＝________.7．一物體的運動方程是s(t)＝eq\f(1,t)，當t＝3時的瞬時速度為________．8．設(shè)f(x)＝ax2－bsinx，且f′(0)＝1，f′(eq\f(π,3))＝eq\f(1,2)，則a＝________，b＝________.9．y＝x3－6x＋a的極大值為________．10．函數(shù)y＝xex的最小值為________．11．做一個容積為256dm3的方底無蓋水箱，它的高為______dm時最省料．12．有一長為16m的籬笆，要圍成一個矩形場地，則矩形場地的最大面積是________m2.三、解答題1．求下列函數(shù)的導數(shù)：(1)y＝3x2＋xcosx；(2)y＝eq\f(x,1＋x)；(3)y＝lgx－ex.2．已知拋物線y＝x2＋4與直線y＝x＋10，求：(1)它們的交點；(2)拋物線在交點處的切線方程．3．求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：(1)y＝x－lnx；(2)y＝eq\f(1,2x).4．已知函數(shù)f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，當x＝－1時，取得極大值7；當x＝3時，取得極小值，求這個極小值及a、b、c的值．5．已知函數(shù)f(x)＝eq\f(1,3)x3－4x＋4.(1)求函數(shù)的極值；(2)求函數(shù)在區(qū)間[－3,4]上的最大值和最小值．導數(shù)練習題答案班級姓名一、選擇題1．當自變量從x0變到x1時函數(shù)值的增量與相應(yīng)自變量的增量之比是函數(shù)()A．在區(qū)間[x0，x1]上的平均變化率B．在x0處的變化率C．在x1處的變化量D．在區(qū)間[x0，x1]上的導數(shù)答案：A2．已知函數(shù)y＝f(x)＝x2＋1，則在x＝2，Δx＝0.1時，Δy的值為()A．0.40 B．0.41C．0.43 D．0.44解析：選B.Δy＝f(2.1)－f(2)＝2.12－22＝0.41.3．函數(shù)f(x)＝2x2－1在區(qū)間(1,1＋Δx)上的平均變化率eq\f(Δy,Δx)等于()A．4 B．4＋2ΔxC．4＋2(Δx)2 D．4x解析：選B.因為Δy＝[2(1＋Δx)2－1]－(2×12－1)＝4Δx＋2(Δx)2，所以eq\f(Δy,Δx)＝4＋2Δx，故選B.4．如果質(zhì)點M按照規(guī)律s＝3t2運動，則在t＝3時的瞬時速度為()A．6 B．18C．54 D．81解析：選B.eq\f(Δs,Δt)＝eq\f(3?3＋Δt?2－3×32,Δt)，s′＝lieq\o(m,\s\up6(),\s\do4(Δt→0))eq\f(Δs,Δt)＝lieq\o(m,\s\up6(),\s\do4(Δt→0))(18＋3Δt)＝18，故選B.5．已知f(x)＝－x2＋10，則f(x)在x＝eq\f(3,2)處的瞬時變化率是()A．3 B．－3C．2 D．－2解析：選B.6．設(shè)f′(x0)＝0，則曲線y＝f(x)在點(x0，f(x0))處的切線()A．不存在 B．與x軸平行或重合C．與x軸垂直 D．與x軸相交但不垂直解析：選B.函數(shù)在某點處的導數(shù)為零，說明相應(yīng)曲線在該點處的切線的斜率為零．7．曲線y＝－eq\f(1,x)在點(1，－1)處的切線方程為()A．y＝x－2 B．y＝xC．y＝x＋2 D．y＝－x－2解析：選A.f′(1)＝lieq\o(m,\s\up6(),\s\do4(Δx→0))eq\f(－\f(1,1＋Δx)＋\f(1,1),Δx)＝lieq\o(m,\s\up6(),\s\do4(Δx→0))eq\f(1,1＋Δx)＝1，則在(1，－1)處的切線方程為y＋1＝x－1，即y＝x－2.8．已知曲線y＝2x2上一點A(2,8)，則A處的切線斜率為()A．4 B．16C．8 D．2解析：選C.9．下列點中，在曲線y＝x2上，且在該點處的切線傾斜角為eq\f(π,4)的是()A．(0,0) B．(2,4)C．(eq\f(1,4)，eq\f(1,16)) D．(eq\f(1,2)，eq\f(1,4))故選D.10．若曲線y＝x2＋ax＋b在點(0，b)處的切線方程是x－y＋1＝0，則()A．a(chǎn)＝1，b＝1 B．a(chǎn)＝－1，b＝1C．a(chǎn)＝1，b＝－1 D．a(chǎn)＝－1，b＝－1解析：選A.11．已知f(x)＝x2，則f′(3)＝()A．0 B．2xC．6 D．9解析：選C.∵f′(x)＝2x，∴f′(3)＝6.12．已知函數(shù)f(x)＝eq\f(1,x)，則f′(－3)＝()A．4 B.eq\f(1,9)C．－eq\f(1,4) D．－eq\f(1,9)解析：選D.∵f′(x)＝－eq\f(1,x2)，∴f′(－3)＝－eq\f(1,9).13．函數(shù)y＝eq\f(x2,x＋3)的導數(shù)是()A.eq\f(x2＋6x,?x＋3?2) B.eq\f(x2＋6x,x＋3)C.eq\f(－2x,?x＋3?2) D.eq\f(3x2＋6x,?x＋3?2)解析：選A14．若函數(shù)f(x)＝eq\f(1,2)f′(－1)x2－2x＋3，則f′(－1)的值為()A．0 B．－1C．1 D．2解析：選B.∵f(x)＝eq\f(1,2)f′(－1)x2－2x＋3，∴f′(x)＝f′(－1)x－2.∴f′(－1)＝f′(－1)×(－1)－2.∴f′(－1)＝－1.15．命題甲：對任意x∈(a，b)，有f′(x)>0；命題乙：f(x)在(a，b)內(nèi)是單調(diào)遞增的．則甲是乙的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件解析：選A.f(x)＝x3在(－1,1)內(nèi)是單調(diào)遞增的，但f′(x)＝3x2≥0(－1<x<1)，故甲是乙的充分不必要條件，選A.16．函數(shù)f(x)＝(x－3)ex的單調(diào)遞增區(qū)間是()A．(－∞，2) B．(0,3)C．(1,4) D．(2，＋∞)解析：選D.f′(x)＝(x－3)′ex＋(x－3)(ex)′＝(x－2)ex，令f′(x)>0，解得x>2，故選D.17．函數(shù)y＝ax3－x在R上是減函數(shù)，則()A．a(chǎn)≥eq\f(1,3) B．a(chǎn)＝1C．a(chǎn)＝2 D．a(chǎn)≤0解析：選D.因為y′＝3ax2－1，函數(shù)y＝ax3－x在(－∞，＋∞)上是減函數(shù)，所以y′＝3ax2－1≤0恒成立，即3ax2≤1恒成立．當x＝0時，3ax2≤1恒成立，此時a∈R；當x≠0時，若a≤eq\f(1,3x2)恒成立，則a≤0.綜上可得a≤0.18．函數(shù)y＝4x2＋eq\f(1,x)的單調(diào)遞增區(qū)間是()A．(0，＋∞) B．(－∞，1)C．(eq\f(1,2)，＋∞) D．(1，＋∞)解析：選C.∵y′＝8x－eq\f(1,x2)＝eq\f(8x3－1,x2)>0，∴x>eq\f(1,2).即函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為(eq\f(1,2)，＋∞)．19．“函數(shù)y＝f(x)在一點的導數(shù)值為0”是“函數(shù)y＝f(x)在這點取極值”的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件解析：選B.對于f(x)＝x3，f′(x)＝3x2，f′(0)＝0，不能推出f(x)在x＝0處取極值，反之成立．故選B.20．設(shè)x0為可導函數(shù)f(x)的極值點，則下列說法正確的是()A．必有f′(x0)＝0B．f′(x0)不存在C．f′(x0)＝0或f′(x0)不存在D．f′(x0)存在但可能不為0答案：A22．函數(shù)f(x)＝x3＋ax2＋3x－9，已知f(x)在x＝－3時取得極值，則a＝()A．2 B．3C．4 D．5解析：選D.f′(x)＝3x2＋2ax＋3，∵f(x)在x＝－3處取得極值，∴f′(－3)＝0，即27－6a＋3＝0，∴a＝5.23．函數(shù)f(x)的定義域為開區(qū)間(a，b)，導函數(shù)f′(x)在(a，b)內(nèi)的圖象如圖所示，則函數(shù)f(x)在開區(qū)間(a，b)內(nèi)的極小值點有()A．1個 B．2個C．3個 D．4個解析：選A.函數(shù)f(x)的定義域為開區(qū)間(a，b)，導函數(shù)f′(x)在(a，b)內(nèi)的圖象如題圖所示，函數(shù)f(x)在開區(qū)間(a，b)內(nèi)有極小值點即函數(shù)由減函數(shù)變?yōu)樵龊瘮?shù)的點，其導數(shù)值為由負到正的點，只有1個．24．函數(shù)f(x)＝－eq\f(1,3)x3＋eq\f(1,2)x2＋2x取極小值時，x的值是()A．2 B．2，－1C．－1 D．－3解析：選C.f′(x)＝－x2＋x＋2＝－(x－2)(x＋1)．∵在x＝－1的附近左側(cè)f′(x)<0，右側(cè)f′(x)>0，如圖所示：∴x＝－1時取極小值．25．函數(shù)f(x)＝－x2＋4x＋7，在x∈[3,5]上的最大值和最小值分別是()A．f(2)，f(3) B．f(3)，f(5)C．f(2)，f(5) D．f(5)，f(3)解析：選B.∵f′(x)＝－2x＋4，∴當x∈[3,5]時，f′(x)<0，故f(x)在[3,5]上單調(diào)遞減，故f(x)的最大值和最小值分別是f(3)，f(5)．26．f(x)＝x3－3x2＋2在區(qū)間[－1,1]上的最大值是()A．－2 B．0C．2 D．4解析：選C.f′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)，令f′(x)＝0可得x＝0或x＝2(舍去)，當－1≤x<0時，f′(x)>0，當0<x≤1時，f′(x)<0.所以當x＝0時，f(x)取得最大值為2.27．函數(shù)f(x)＝x3－3x2－9x＋k在區(qū)間[－4,4]上的最大值為10，則其最小值為()A．－10 B．－71C．－15 D．－22解析：選B.f′(x)＝3x2－6x－9＝3(x－3)(x＋1)．由f′(x)＝0得x＝3，－1.又f(－4)＝k－76，f(3)＝k－27，f(－1)＝k＋5，f(4)＝k－20.由f(x)max＝k＋5＝10，得k＝5，∴f(x)min＝k－76＝－71.28．(2010年高考山東卷)已知某生產(chǎn)廠家的年利潤y(單元：萬元)與年產(chǎn)量x(單位：萬件)的函數(shù)關(guān)系式為y＝－eq\f(1,3)x3＋81x－234，則使該生產(chǎn)廠家獲取最大年利潤的年產(chǎn)量為()A．13萬件 B．11萬件C．9萬件 D．7萬件解析：選C29．一點沿直線運動，如果由始點起經(jīng)過t秒運動的距離為s＝eq\f(1,4)t4－eq\f(5,3)t3＋2t2，那么速度為零的時刻是()A．1秒末 B．0秒C．4秒末 D．0,1,4秒末解析：選D.∵s′＝t3－5t2＋4t，令s′＝0，得t1＝0，t2＝1，t3＝4，此時的函數(shù)值最大，故選D.二、填空題1．設(shè)函數(shù)y＝f(x)＝ax2＋2x，若f′(1)＝4，則a＝________.答案：1 2．若曲線y＝2x2－4x＋a與直線y＝1相切，則a＝________.答案：33．已知函數(shù)y＝ax2＋b在點(1,3)處的切線斜率為2，則eq\f(b,a)＝________.答案：24．令f(x)＝x2·ex，則f′(x)等于________．解析：f′(x)＝(x2)′·ex＋x2·(ex)′＝2x·ex＋x2·ex＝ex(2x＋x2)．答案：ex(2x＋x2)5．函數(shù)y＝x2＋4x在x＝x0處的切線斜率為2，則x0＝________.解析：2＝lieq\o(m,\s\up6(),\s\do4(Δx→0))eq\f(?x0＋Δx?2＋4?x0＋Δx?－x\o\al(2,0)－4x0,Δx)＝2x0＋4，∴x0＝－1.答案：－16．若y＝10x，則y′|x＝1＝________.解析：∵y′＝10xln10，∴y′|x＝1＝10ln10.答案：10ln107．一物體的運動方程是s(t)＝eq\f(1,t)，當t＝3時的瞬時速度為________．解析：∵s′(t)＝－eq\f(1,t2)，∴s′(3)＝－eq\f(1,32)＝－eq\f(1,9).答案：－eq\f(1,9)8．設(shè)f(x)＝ax2－bsinx，且f′(0)＝1，f′(eq\f(π,3))＝eq\f(1,2)，則a＝________，b＝________.解析：∵f′(x)＝2ax－bcosx，f′(0)＝－b＝1得b＝－1，f′(eq\f(π,3))＝eq\f(2,3)πa＋eq\f(1,2)＝eq\f(1,2)，得a＝0.答案：0－19．y＝x3－6x＋a的極大值為________．解析：y′＝3x2－6＝0，得x＝±eq\r(2).當x<－eq\r(2)或x>eq\r(2)時，y′>0；當－eq\r(2)<x<eq\r(2)時，y′<0.∴函數(shù)在x＝－eq\r(2)時，取得極大值a＋4eq\r(2).答案：a＋4eq\r(2)10．函數(shù)y＝xex的最小值為________．解析：令y′＝(x＋1)ex＝0，得x＝－1.當x<－1時，y′<0；當x>－1時，y′>0.∴ymin＝f(－1)＝－eq\f(1,e).答案：－eq\f(1,e)11．做一個容積為256dm3的方底無蓋水箱，它的高為______dm時最省料．解析：設(shè)底面邊長為x，則高為h＝eq\f(256,x2)，其表面積為S＝x2＋4×eq\f(256,x2)×x＝x2＋eq\f(256×4,x)，S′＝2x－eq\f(256×4,x2)，令S′＝0，則x＝8，則高h＝eq\f(256,64)＝4(dm)．答案：412．有一長為16m的籬笆，要圍成一個矩形場地，則矩形場地的最大面積是________m2.解析：設(shè)矩形的長為xm，則寬為eq\f(16－2x,2)＝(8－x)m(0<x<8)，∴S(x)＝x(8－x)＝－x2＋8x∴S′(x)＝－2x＋8，令S′(x)＝0，則x＝4，又在(0,8)上只有一個極值點，且x∈(0,4)時，S(x)單調(diào)遞增，x∈(4,8)時，S(x)單調(diào)遞減，故S(x)max＝S(4)＝16.答案：16三、解答題1．求下列函數(shù)的導數(shù)：(1)y＝3x2＋xcosx；(2)y＝eq\f(x,1＋x)；(3)y＝lgx－ex.解：(1)y′＝6x＋cosx－xsinx.(2)y′＝eq\f(1＋x－x,?1＋x?2)＝eq\f(1,?1＋x?2).(3)y′＝(lgx)′－(ex)′＝eq\f(1,xln10)－ex.2．已知拋物線y＝x2＋4與直線y＝x＋10，求：(1)它們的交點；(2)拋物線在交點處的切線方程．解：(1)由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝x2＋4，,y＝x＋10，))得x2＋4＝10＋x，即x2－x－6＝0，∴x＝－2或x＝3.代入直線的方程得y＝8或13.∴拋物線與直線的交點坐標為(－2,8)或(3,13)．(2)∵y＝x2＋4，∴y′＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))