最全圓錐曲線知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

高中數(shù)學(xué)橢圓的知識(shí)總結(jié)1.橢圓的定義：平面內(nèi)一個(gè)動(dòng)點(diǎn)P到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之和等于常數(shù)（），這個(gè)動(dòng)點(diǎn)P的軌跡叫做橢圓.這兩個(gè)定點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)的距離叫做橢圓的焦距.注意：若，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為線段；若，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡無(wú)圖形.（1）橢圓：焦點(diǎn)在軸上時(shí)（）（參數(shù)方程，其中為參數(shù)），焦點(diǎn)在軸上時(shí)＝1（）。2.橢圓的幾何性質(zhì)：（1）橢圓（以（）為例）：①范圍：；②焦點(diǎn)：兩個(gè)焦點(diǎn)；③對(duì)稱性：兩條對(duì)稱軸，一個(gè)對(duì)稱中心（0,0），四個(gè)頂點(diǎn)，其中長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2，短軸長(zhǎng)為2；④離心率：，橢圓，越小，橢圓越圓；越大，橢圓越扁。⑥（2）.點(diǎn)與橢圓的位置關(guān)系：①點(diǎn)在橢圓外；②點(diǎn)在橢圓上＝1；③點(diǎn)在橢圓內(nèi)3．直線與圓錐曲線的位置關(guān)系：（1）相交：直線與橢圓相交；（2）相切：直線與橢圓相切；（3）相離：直線與橢圓相離；如:直線y―kx―1=0與橢圓恒有公共點(diǎn)，則m的取值范圍是_______；4.焦點(diǎn)三角形（橢圓上的一點(diǎn)與兩焦點(diǎn)所構(gòu)成的三角形）5.弦長(zhǎng)公式：若直線與圓錐曲線相交于兩點(diǎn)A、B，且分別為A、B的橫坐標(biāo)，則＝，若分別為A、B的縱坐標(biāo)，則＝，若弦AB所在直線方程設(shè)為，則＝。6.圓錐曲線的中點(diǎn)弦問(wèn)題：遇到中點(diǎn)弦問(wèn)題常用“韋達(dá)定理”或“點(diǎn)差法”求解。在橢圓中，以為中點(diǎn)的弦所在直線的斜率k=－；如（1）如果橢圓弦被點(diǎn)A（4，2）平分，那么這條弦所在的直線方程是；（2）已知直線y=－x+1與橢圓相交于A、B兩點(diǎn)，且線段AB的中點(diǎn)在直線L：x－2y=0上，則此橢圓的離心率為_(kāi)______；（3）試確定m的取值范圍，使得橢圓上有不同的兩點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱；特別提醒：因?yàn)槭侵本€與圓錐曲線相交于兩點(diǎn)的必要條件，故在求解有關(guān)弦長(zhǎng)、對(duì)稱問(wèn)題時(shí)，務(wù)必別忘了檢驗(yàn)！橢圓知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用1.如何確定橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程任何橢圓都有一個(gè)對(duì)稱中心，兩條對(duì)稱軸。當(dāng)且僅當(dāng)橢圓的對(duì)稱中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)稱軸是坐標(biāo)軸，橢圓的方程才是標(biāo)準(zhǔn)方程形式。此時(shí)，橢圓焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上。確定一個(gè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程需要三個(gè)條件：兩個(gè)定形條件；一個(gè)定位條件焦點(diǎn)坐標(biāo)，由焦點(diǎn)坐標(biāo)的形式確定標(biāo)準(zhǔn)方程的類型。2.橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程中的三個(gè)量的幾何意義橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程中，三個(gè)量的大小與坐標(biāo)系無(wú)關(guān)，是由橢圓本身的形狀大小所確定的。分別表示橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)、短半軸長(zhǎng)和半焦距長(zhǎng)，均為正數(shù)，且三個(gè)量的大小關(guān)系為：，，且?？山柚覉D理解記憶：恰構(gòu)成一個(gè)直角三角形的三條邊，其中a是斜邊，b、c為兩條直角邊。3．如何由橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程判斷焦點(diǎn)位置橢圓的焦點(diǎn)總在長(zhǎng)軸上，因此已知標(biāo)準(zhǔn)方程，判斷焦點(diǎn)位置的方法是：看，的分母的大小，哪個(gè)分母大，焦點(diǎn)就在哪個(gè)坐標(biāo)軸上。4．方程是表示橢圓的條件方程可化為，即，所以只有A、B、C同號(hào)，且AB時(shí)，方程表示橢圓。當(dāng)時(shí)，橢圓的焦點(diǎn)在軸上；當(dāng)時(shí)，橢圓的焦點(diǎn)在軸上。5．求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的常用方法：①待定系數(shù)法：由已知條件確定焦點(diǎn)的位置，從而確定橢圓方程的類型，設(shè)出標(biāo)準(zhǔn)方程，再由條件確定方程中的參數(shù)的值。其主要步驟是“先定型，再定量”；②定義法：由已知條件判斷出動(dòng)點(diǎn)的軌跡是什么圖形，然后再根據(jù)定義確定方程。6．共焦點(diǎn)的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程形式上的差異共焦點(diǎn)，則c相同。與橢圓共焦點(diǎn)的橢圓方程可設(shè)為，此類問(wèn)題常用待定系數(shù)法求解。7．判斷曲線關(guān)于軸、軸、原點(diǎn)對(duì)稱的依據(jù)：①若把曲線方程中的換成，方程不變，則曲線關(guān)于軸對(duì)稱；②若把曲線方程中的換成，方程不變，則曲線關(guān)于軸對(duì)稱；③若把曲線方程中的、同時(shí)換成、，方程不變，則曲線關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。8．如何求解與焦點(diǎn)三角形△PF1F2（P為橢圓上的點(diǎn)）有關(guān)的計(jì)算問(wèn)題思路分析：與焦點(diǎn)三角形△PF1F2有關(guān)的計(jì)算問(wèn)題時(shí)，常考慮到用橢圓的定義及余弦定理（或勾股定理）、三角形面積公式相結(jié)合的方法進(jìn)行計(jì)算解題。將有關(guān)線段，有關(guān)角()結(jié)合起來(lái)，建立、之間的關(guān)系.9．如何計(jì)算橢圓的扁圓程度與離心率的關(guān)系長(zhǎng)軸與短軸的長(zhǎng)短關(guān)系決定橢圓形狀的變化。離心率，因?yàn)椋?，用表示為。顯然：當(dāng)越小時(shí)，越大，橢圓形狀越扁；當(dāng)越大，越小，橢圓形狀越趨近于圓。題型1:橢圓定義的運(yùn)用例1.已知為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，過(guò)的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)若，則______.例2.如果方程表示焦點(diǎn)在x軸的橢圓，那么實(shí)數(shù)k的取值范圍是____________.例3.已知為橢圓上的一點(diǎn)，分別為圓和圓上的點(diǎn)，則的最小值為題型2：求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程例1、求滿足下列各條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)；(2)經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2，－3)且與橢圓具有共同的焦點(diǎn)；(3)一個(gè)焦點(diǎn)與短軸兩端點(diǎn)的連線互相垂直，且此焦點(diǎn)與長(zhǎng)軸上較近的端點(diǎn)距離為－4.題型3:求橢圓的離心率例1、中，若以為焦點(diǎn)的橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則橢圓的離心率為.例2、過(guò)橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)作橢圓長(zhǎng)軸的垂線交橢圓于P，若為等腰直角三角形，則橢圓的離心率為題型4:橢圓的其他幾何性質(zhì)的運(yùn)用（范圍、對(duì)稱性等）例1.已知實(shí)數(shù)滿足,則的范圍為例2.已知點(diǎn)是橢圓（）上兩點(diǎn),且,則=題型5：焦點(diǎn)三角形問(wèn)題例1.已知為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，p為橢圓上的一點(diǎn)，已知為一個(gè)直角三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，且,求的值.例2.已知為橢圓C:的兩個(gè)焦點(diǎn)，在C上滿足的點(diǎn)的個(gè)數(shù)為.例3.已知橢圓的焦點(diǎn)是,且離心率①求橢圓的方程;②設(shè)點(diǎn)P在橢圓上,且,求cos.題型6:三角代換的應(yīng)用例1.橢圓上的點(diǎn)到直線l:的距離的最小值為_(kāi)__________．例2.橢圓的內(nèi)接矩形的面積的最大值為題型7：直線與橢圓的位置關(guān)系的判斷例1.當(dāng)為何值時(shí)，直線與橢圓相交相切相離例2.若直線與橢圓恒有公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；題型8：弦長(zhǎng)問(wèn)題例1.求直線被橢圓所截得的弦長(zhǎng).例2.已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為F1,F2，若過(guò)點(diǎn)P（0，-2）及F1的直線交橢圓于A,B兩點(diǎn)，求⊿ABF2的面積；題型9：中點(diǎn)弦問(wèn)題求以橢圓內(nèi)的點(diǎn)A（2，-1）為中點(diǎn)的弦所在的直線方程。例2.中心在原點(diǎn)，一個(gè)焦點(diǎn)為的橢圓截直線所得弦的中點(diǎn)橫坐標(biāo)為，求橢圓的方程．例3.橢圓與直線相交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)C是AB的中點(diǎn)．若，OC的斜率為（O為原點(diǎn)），求橢圓的方程．鞏固訓(xùn)練1.如圖,橢圓中心在原點(diǎn),F是左焦點(diǎn),直線與BF交于D,且,則橢圓的離心率為2.設(shè)為橢圓的兩焦點(diǎn)，P在橢圓上，當(dāng)面積為1時(shí)，的值為3.橢圓的一條弦被平分,那么這條弦所在的直線方程是4.若為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn),P為橢圓上一點(diǎn),若,則此橢圓的離心率為5.在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓的焦距為2c，以O(shè)為圓心，為半徑的圓，過(guò)點(diǎn)作圓的兩切線互相垂直，則離心率=．雙曲線基本知識(shí)點(diǎn)雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程（焦點(diǎn)在軸）標(biāo)準(zhǔn)方程（焦點(diǎn)在軸）定義定義：平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)，的距離的差的絕對(duì)值是常數(shù)（小于）的點(diǎn)的軌跡叫雙曲線。這兩個(gè)定點(diǎn)叫做雙曲線的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)的距離叫焦距。PPPP范圍，，對(duì)稱軸軸，軸；實(shí)軸長(zhǎng)為,虛軸長(zhǎng)為對(duì)稱中心原點(diǎn)焦點(diǎn)坐標(biāo)焦點(diǎn)在實(shí)軸上，；焦距：頂點(diǎn)坐標(biāo)（,0）(,0)(0,,)(0，)離心率漸近線方程共漸近線的雙曲線系方程（）（）直線和雙曲線的位置雙曲線與直線的位置關(guān)系：利用轉(zhuǎn)化為一元二次方程用判別式確定。二次方程二次項(xiàng)系數(shù)為零直線與漸近線平行。相交弦AB的弦長(zhǎng)補(bǔ)充知識(shí)點(diǎn)：等軸雙曲線的主要性質(zhì)有：（1）半實(shí)軸長(zhǎng)=半虛軸長(zhǎng)（一般而言是a=b，但有些地區(qū)教材版本不同，不一定用的是a,b這兩個(gè)字母）；（2）其標(biāo)準(zhǔn)方程為，其中；（3）離心率；（4）漸近線：兩條漸近線y=±x互相垂直；例題分析：例1、動(dòng)點(diǎn)與點(diǎn)與點(diǎn)滿足，則點(diǎn)的軌跡方程為（）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．同步練習(xí)一:如果雙曲線的漸近線方程為，則離心率為（）Ａ． Ｂ． Ｃ．或 Ｄ．例2、已知雙曲線的離心率為，則的范圍為（）Ａ． Ｂ．Ｃ． Ｄ．同步練習(xí)二:雙曲線的兩條漸近線互相垂直，則雙曲線的離心率為．例3、設(shè)是雙曲線上一點(diǎn)，雙曲線的一條漸近線方程為，分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，若，則的值為．同步練習(xí)三:若雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為。例4、下列各對(duì)曲線中，即有相同的離心率又有相同漸近線的是（）(A)-y2=1和-=1(B)-y2=1和y2-=1(C)y2-=1和x2-=1(D)-y2=1和-=1同步練習(xí)四:已知雙曲線的中心在原點(diǎn)，兩個(gè)焦點(diǎn)分別為和，點(diǎn)在雙曲線上且，且的面積為1，則雙曲線的方程為（）Ａ． Ｂ．Ｃ． Ｄ．例5、與雙曲線有共同的漸近線，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)A的雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)到一條漸近線的距離是（）（A）8（B）4（C）2（D）1同步練習(xí)五:以為漸近線，一個(gè)焦點(diǎn)是F（0，2）的雙曲線方程為_(kāi)________.例6、下列方程中，以x±2y=0為漸近線的雙曲線方程是(A)同步練習(xí)六:雙曲線8kx2-ky2=8的一個(gè)焦點(diǎn)是(0，3)，那么k的值是例7、經(jīng)過(guò)雙曲線的右焦點(diǎn)F2作傾斜角為30°的弦AB，（1）求|AB|.（2）F1是雙曲線的左焦點(diǎn)，求△F1AB的周長(zhǎng)．同步練習(xí)七過(guò)點(diǎn)（0，3）的直線l與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)，求直線l的方程。高考真題分析1.【2012高考新課標(biāo)文10】等軸雙曲線的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，與拋物線的準(zhǔn)線交于兩點(diǎn)，；則的實(shí)軸長(zhǎng)為（） 2.【2012高考山東文11】已知雙曲線：的離心率為2.若拋物線的焦點(diǎn)到雙曲線的漸近線的距離為2，則拋物線的方程為(A)(B)(C)(D)3.【2012高考全國(guó)文10】已知、為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)在上，，則（A）（B）（C）（D）4.（2011年高考湖南卷文科6)設(shè)雙曲線的漸近線方程為則的值為（）A．4B．3C．2D．15.【2012高考江蘇8】（5分）在平面直角坐標(biāo)系中，若雙曲線的離心率為，則的值為．拋物線拋物線xxyOlFxxyOlFllFxyOxyxyOlF定義平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)和一條定直線的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線，點(diǎn)叫做拋物線的焦點(diǎn)，直線叫做拋物線的準(zhǔn)線。{=點(diǎn)M到直線的距離}范圍對(duì)稱性關(guān)于軸對(duì)稱關(guān)于軸對(duì)稱焦點(diǎn)(,0)(,0)(0,)(0,)焦點(diǎn)在對(duì)稱軸上頂點(diǎn)離心率=1準(zhǔn)線方程準(zhǔn)線與焦點(diǎn)位于頂點(diǎn)兩側(cè)且到頂點(diǎn)的距離相等。頂點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離焦半徑焦點(diǎn)弦長(zhǎng)焦點(diǎn)弦的幾條性質(zhì)oxoxFy以為直徑的圓必與準(zhǔn)線相切若的傾斜角為，則若的傾斜角為，則切線方程1、直線與拋物線的位置關(guān)系

直線，拋物線，由，消y得：（1）當(dāng)k=0時(shí)，直線與拋物線的對(duì)稱軸平行，有一個(gè)交點(diǎn)；（2）當(dāng)k≠0時(shí)，Δ＞0，直線與拋物線相交，兩個(gè)不同交點(diǎn)；Δ=0，直線與拋物線相切，一個(gè)切點(diǎn)；Δ＜0，直線與拋物線相離，無(wú)公共點(diǎn)。若直線與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn),則直線與拋物線必相切嗎（不一定）關(guān)于直線與拋